《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

9. (易错题)(2024·绥化)小影与小冬一起写作业.在解一个一元二次方程时,小影在计算过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1;小冬在计算过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是 -2 和 -5.这个一元二次方程可能为 (B)
A.$ x^2 + 6x + 5 = 0 $
B.$ x^2 - 7x + 10 = 0 $
C.$ x^2 - 5x + 2 = 0 $
D.$ x^2 - 6x - 10 = 0 $

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。根据一元二次方程的根与系数的关系，若一个一元二次方程的两个根为$x_1$和$x_2$，则这个方程可以表示为$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$。
根据题意，小影得到的方程的两个根是6和1，所以她得到的方程形式应为$x^2 - (6+1)x + 6 \cdot 1 = 0$，即$x^2 - 7x + 6 = 0$，但常数项写错了，所以常数项不是6。
小冬得到的方程的两个根是-2和-5，所以他得到的方程形式应为$x^2 - (-2-5)x + (-2) \cdot (-5) = 0$，即$x^2 + 7x + 10 = 0$，但一次项的系数写错了，所以一次项系数不是7。
对比选项，我们可以发现，只有选项B的方程$x^2 - 7x + 10 = 0$的一次项系数是-7（符合小冬写错一次项系数的情况），且常数项是10（如果小影的常数项没写错，那她得到的方程常数项应为6，但实际应比6大，因为小影写错了，而10是大于6的整数，符合题意）。同时，我们可以验证这个方程的两个根应该是满足题目条件的，即可以通过调整一次项系数和常数项得到这个方程。
实际上，根据小影和小冬的结果，我们可以推断出原方程的一次项系数应为$-(6+1) = -7$（小影的一次项系数没写错），常数项应为$(-2) \cdot (-5) = 10$（小冬的常数项没写错）。所以原方程应为$x^2 - 7x + 10 = 0$。
【答案】：
B

10. (易错题)(2024·南通期末)已知 $ m,n $ 是不为 0 的实数,且 $ m \neq n $.若 $ m + \frac{2}{m} = 3\sqrt{2},n + \frac{2}{n} = 3\sqrt{2} $,则 $ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $ 的值为 (B)
A.14
B.7
C.$ 2\sqrt{2} $
D.1

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简。
首先，我们根据题目条件，可以构造一个一元二次方程，其两个根分别为$m$和$n$。
由$m + \frac{2}{m} = 3\sqrt{2}$，$n + \frac{2}{n} = 3\sqrt{2}$，
我们可以得到：
$m^2 - 3\sqrt{2}m + 2 = 0$
$n^2 - 3\sqrt{2}n + 2 = 0$
由于$m \neq n$，且$m,n$都不为0，所以$m$和$n$是方程$x^2 - 3\sqrt{2}x + 2 = 0$的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$m + n = 3\sqrt{2}$
$mn = 2$
接下来，我们需要求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值。为此，我们先求$m^2 + n^2$：
$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = (3\sqrt{2})^2 - 2 × 2 = 18 - 4 = 14$
最后，我们利用$m^2 + n^2$和$mn$的值来求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$：
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{14}{2} = 7$
【答案】：B

11. (2024·如皋期末)若方程 $ x^2 - 4x + 2 = 0 $ 的两个实数根为 $ x_1,x_2 $,则 $ x_1x_2 + 2x_1^2 - 8x_1 $ 的值为-2.

答案： 解：由根与系数的关系得：$x_1x_2=2$。
因为$x_1$是方程$x^2 - 4x + 2 = 0$的根，所以$x_1^2 - 4x_1 + 2 = 0$，即$x_1^2 - 4x_1=-2$。
则$2x_1^2 - 8x_1=2(x_1^2 - 4x_1)=2×(-2)=-4$。
所以$x_1x_2 + 2x_1^2 - 8x_1=2 + (-4)=-2$。
答案：$-2$

12. 若 $ m,n $ 是方程 $ x^2 - 2x - 1 = 0 $ 的两个实数根,则 $ 2m^2 + 4n^2 - 4n + 2022 $ 的值为______2036.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简与求值。
首先，由于$m$和$n$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$m + n = 2$ （因为方程的系数$a=1$，$b=-2$，所以$m+n=-b/a=2$）
$mn = -1$ （因为方程的常数项$c=-1$，所以$mn=c/a=-1$）
同时，由于$m$是方程的根，所以$m^2 - 2m - 1 = 0$，即$m^2 = 2m + 1$。
同理，$n^2 = 2n + 1$。
接下来，我们将这些关系代入到$2m^2 + 4n^2 - 4n + 2022$中：
$2m^2 + 4n^2 - 4n + 2022 = 2(2m + 1) + 4(2n + 1) - 4n + 2022$
$= 4m + 2 + 8n + 4 - 4n + 2022$
$= 4m + 4n + 2028$
$= 4(m + n) + 2028$
$= 4 × 2 + 2028$
$= 2036$
【答案】：
$2036$

13. 若实数 $ a,b $ 分别满足 $ a^2 - 4a + 3 = 0,b^2 - 4b + 3 = 0 $,且 $ a \neq b $,则 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ 的值为$\frac{4}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
给定方程 $a^2 - 4a + 3 = 0$ 和 $b^2 - 4b + 3 = 0$，且 $a \neq b$，我们可以推断 $a$ 和 $b$ 是方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $Ax^2 + Bx + C = 0$，其两个根的和为 $-\frac{B}{A}$，两个根的积为 $\frac{C}{A}$。
对于方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，其系数 $A = 1, B = -4, C = 3$。
所以，两个根 $a$ 和 $b$ 的和 $a + b = -\frac{-4}{1} = 4$，两个根 $a$ 和 $b$ 的积 $ab = \frac{3}{1} = 3$。
接下来，我们需要求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值。
根据分数的加法运算法则，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$。
将 $a + b = 4$ 和 $ab = 3$ 代入上式，得到 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{3}$。
【答案】：
$\frac{4}{3}$

14. (2024·遂宁)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0 $.
(1) 求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不等的实数根;
(2) 如果方程的两个实数根为 $ x_1,x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求 $ m $ 的值.

答案： 【解析】：
(1) 要证明无论$m$取何值，一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$都有两个不等的实数根，我们需要验证其判别式$\Delta$始终大于0。
根据一元二次方程的判别式公式，我们有$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a = 1$，$b = -(m + 2)$，$c = m - 1$。
代入公式，我们得到$\Delta = (m + 2)^2 - 4(m - 1)$。
进一步化简，$\Delta = m^2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m^2 + 8$。
由于$m^2$始终非负，所以$m^2 + 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
因此，无论$m$取何值，方程都有两个不等的实数根。
(2) 已知方程的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$，我们需要求$m$的值。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有$x_1 + x_2 = m + 2$和$x_1x_2 = m - 1$。
由给定条件，我们可以得到$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 9$。
代入$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值，我们得到$(m + 2)^2 - 3(m - 1) = 9$。
进一步化简，$m^2 + 4m + 4 - 3m + 3 = 9$，即$m^2 + m - 2 = 0$。
解这个一元二次方程，我们得到$m_1 = -2$和$m_2 = 1$。
【答案】：
(1) 证明见解析，无论$m$取何值，方程都有两个不等的实数根。
(2) $m$的值为$-2$或$1$。

15. (分类讨论思想)已知 $ \triangle ABC $ 的两边 $ AB,AC $ 的长是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0 $ 的两个实数根,边 $ BC $ 的长为 5.
(1) 当 $ k $ 为何值时, $ \triangle ABC $ 是等腰三角形? 请求出此时 $ \triangle ABC $ 的周长.
(2) 当 $ k $ 为何值时, $ \triangle ABC $ 是以 $ BC $ 为斜边的直角三角形?

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及等腰三角形和直角三角形的性质。
(1) 对于等腰三角形的情况，需要分两种子情况讨论：
当 $AB = AC$ 时，方程 $x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0$ 有两个相等的实数根，即判别式 $\Delta = 0$。
当 $AB = BC = 5$ 或 $AC = BC = 5$ 时，方程 $x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0$ 有一个根为 5，代入得 $k$ 的值，并检验是否符合题意。
(2) 对于直角三角形的情况，利用勾股定理 $AB^2 + AC^2 = BC^2$，并结合一元二次方程的根与系数的关系来求解。
【答案】：
(1)
当 $AB = AC$ 时，
$\Delta = (2k + 3)^2 - 4(k^2 + 3k + 2) = 0$
$4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 - 12k - 8 = 1$
$k = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 × 4 × 9}}{2 × 4} =\frac{-12 \pm 0}{8}=-\frac{1}{2}$
此时，原方程为 $x^2 - 2 × (-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{2})^2 + 3 × (-\frac{1}{2}) + 2 = 0$，
即$x^2 +x +\frac{7}{4}=0$，
而$\Delta = 1^2 - 4 × 1 × \frac{7}{4} = -6 ＜ 0$，
此方程无实数根，故舍去 $k = -\frac{1}{2}$。
当 $AB = 5$ 或 $AC = 5$ 时，
代入 $x = 5$ 到原方程 $x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0$，
得 $25 - 5(2k + 3) + k^2 + 3k + 2 = 0$，
即$25 - 10k - 15 + k^2 + 3k + 2 = 0$，
$k^2 - 7k + 12 = 0$
$(k - 3)(k - 4) = 0$
解得 $k = 3$ 或 $k = 4$。
当 $k = 3$ 时，原方程为 $x^2 - 9x + 20 = 0$，
解得 $x_1 = 4, x_2 = 5$，
此时 $AB = 4, AC = 5$，周长为 $4 + 5 + 5 = 14$。
当 $k = 4$ 时，原方程为 $x^2 - 11x + 30 = 0$，
解得 $x_1 = 5, x_2 = 6$，
此时 $AB = 5, AC = 6$，周长为 $5 + 5 + 6 = 16$。
综上，当 $k = 3$ 时，周长为 14；当 $k = 4$ 时，周长为 16。
(2)
对于直角三角形，利用勾股定理 $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
即 $AB^2 + AC^2 = 25$。
由一元二次方程的根与系数的关系，
有 $AB + AC = 2k + 3$ 和 $AB \cdot AC = k^2 + 3k + 2$。
利用 $(AB + AC)^2 - 2AB \cdot AC = AB^2 + AC^2$，
代入得 $(2k + 3)^2 - 2(k^2 + 3k + 2) = 25$，
即$4k^2 + 12k + 9 - 2k^2 - 6k - 4 = 25$，
$2k^2 + 6k - 20 = 0$，
$k^2 + 3k - 10 = 0$，
$(k - 2)(k + 5) = 0$，
解得 $k = 2$ 或 $k = -5$。
当 $k = 2$ 时，原方程为 $x^2 - 7x + 12 = 0$，
解得 $x_1 = 3, x_2 = 4$，
此时 $AB = 3, AC = 4$，满足题意。
当 $k = -5$ 时，原方程为 $x^2 + 7x + 2 = 0$，
此时，$\Delta = 7^2 - 4 × 1 × 2 = 41 ＞ 0$，
$x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7 \pm \sqrt{41}}{2}$，
解得 $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{41}}{2}, x_2 = \frac{-7 - \sqrt{41}}{2}$，
由于边长不能为负，所以 $x_2$ 不符合题意，舍去。
而 $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{41}}{2} ＜ 0$ 显然也不符合题意，因为边长不能为负，但由于我们只关心 $k$ 的值是否符合题意，而此处 $k = -5$ 导致的解是不符合三角形边长实际的（虽然数学上方程有解，但解不代表实际的边长），所以 $k = -5$ 应被舍去。
综上，当 $k = 2$ 时，$\triangle ABC$ 是以 $BC$ 为斜边的直角三角形。