《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材P19探究2变式)(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设生产1千克甲种药品成本的年平均下降率为x,则可列方程为 (B)
A.$80(1 - x^{2}) = 60$
B.$80(1 - x)^{2} = 60$
C.$80(1 - x) = 60$
D.$80(1 - 2x) = 60$

答案： 【解析】：
这是一个关于平均变化率的问题，需要用到平均变化率的公式来建立方程。
首先，题目告诉我们两年前生产1千克甲种药品的成本是80元，现在生产1千克甲种药品的成本是60元。
设生产1千克甲种药品成本的年平均下降率为$x$。
根据平均变化率的定义，如果某个量每年以固定的比例下降，那么经过一年后，这个量将变为原来的$(1-x)$倍，经过两年后，这个量将变为原来的$(1-x)^{2}$倍。
因此，两年前生产1千克甲种药品的成本80元，经过两年后，成本应该变为$80(1-x)^{2}$元。
题目告诉我们这个成本现在变成了60元，所以我们可以建立方程：
$80(1-x)^{2} = 60$。
这是一个一元二次方程，可以通过求解这个方程来找到年平均下降率$x$。
对比选项，我们发现只有选项B符合我们建立的方程。
所以，答案是B。
【答案】：B。

2. (教材P22习题21.3第7题变式)(2023·启东期末)劳动教育已纳入人才培养全过程,某校加大投入,建设校园农场.两年内,该农场一种农作物的年产量从300千克增加到363千克.设该种农作物的年产量平均每年增长的百分率为x,则可列方程为 (D)
A.$363(1 - x)^{2} = 300$
B.$363(1 - 2x) = 300$
C.$300(1 + x^{2}) = 363$
D.$300(1 + x)^{2} = 363$

答案： 【解析】：
这个问题主要考查的是平均变化率与一元二次方程的建立。
首先，理解题目中的关键信息：农作物的年产量在两年内从300千克增加到363千克，设该种农作物的年产量平均每年增长的百分率为$x$。
根据平均增长率的定义，如果某量以固定比例$x$增长，那么经过一年后，这个量将变为原量乘以$(1+x)$。
因此，经过两年后，这个量将变为原量乘以$(1+x)^{2}$。
将题目中的信息代入，得到方程：
$300(1 + x)^{2} = 363$。
这是一个关于$x$的一元二次方程，解这个方程可以得到$x$的值，即平均每年增长的百分率。
对比选项，发现只有选项D符合这个方程。
【答案】：
D

3. (2023·海安期中)为了美化环境,某市2021年的绿化投资额为20万元,2023年的绿化投资额为45万元,则该市这两年绿化投资额的年平均增长率为 (B)
A.$40\%$
B.$50\%$
C.$60\%$
D.$70\%$

答案： 【解析】：
本题主要考察平均变化率的计算。
设该市这两年绿化投资额的年平均增长率为 $x$，则根据平均增长率的定义，2022年的绿化投资额为 $20(1+x)$ 万元，2023年的绿化投资额为 $20(1+x)^{2}$ 万元。
根据题意，2023年的绿化投资额为45万元，因此我们可以建立方程：
$20(1+x)^{2} = 45$，
展开方程得：
$(1+x)^{2} = 2.25$，
对方程两边开平方得：
$1+x = \pm 1.5$，
解得两个可能的 $x$ 值：
$x_{1} = 0.5$，
$x_{2} = -2.5$（由于增长率不能为负，所以舍去这个解）。
因此，该市这两年绿化投资额的年平均增长率为 $50\%$。
【答案】：B. $50\%$。

4. 某网络学习平台2022年的新注册用户数为100万,2024年的新注册用户数为169万,设新注册用户数的年平均增长率为x,则x=30%(用百分数表示).

答案： 【解析】：
这是一个平均变化率问题，需要用到平均变化率的公式来求解。
设新注册用户数的年平均增长率为$x$，则2023年的新注册用户数为$100(1+x)$万，2024年的新注册用户数为$100(1+x)^{2}$万。
根据题意，可以列出方程：
$100(1 + x)^{2} = 169$。
接下来，需要解这个方程来求解$x$。
首先，将方程两边同时除以100，得到：
$(1 + x)^{2} = 1.69$。
然后，对方程两边同时开平方，得到：
$1 + x = \pm 1.3$。
最后，解出$x$，得到两个解，
$x_1 = 1.3 - 1 = 0.3 = 30\%$，
$x_2 = -1.3 - 1 = -2.3$（由于增长率不能为负，所以舍去这个解）。
【答案】：
$x = 30\%$

5. (2024·通州期末)某商场今年1月盈利12 000元,3月盈利14 520元,则从1月到3月,该商场每月盈利的平均增长率是10%(用百分数表示).

答案： 【解析】：
本题考查平均变化率问题。
设该商场每月盈利的平均增长率为 $x$，则2月盈利为 $12000(1+x)$ 元，3月盈利为 $12000(1+x)^{2}$ 元。
根据题意，3月盈利为14520元，因此我们可以建立方程：
$12000(1+x)^{2} = 14520$，
展开方程得：
$12000 + 24000x + 12000x^{2} = 14520$，
整理得：
$12000x^{2} + 24000x - 2520 = 0$，
除以120得：
$100x^{2} + 200x - 21 = 0$，
解这个一元二次方程，我们将得到两个解，其中一个解通常是负数或大于1的数（在这个问题的背景下，负增长率或超过100%的增长率通常是不合逻辑的，除非有特别说明），所以我们需要选择符合实际情况的解，即正数解，并且需要将其转换为百分数形式。
解得$x_{1} = 0.1 = 10\%$，$x_{2} = -2.1$（舍去）。
所以，该商场每月盈利的平均增长率为 $10\%$。
【答案】：
$10\%$

6. (2024·海门模拟)某商品每件的进价为25元,当每件的售价为50元时,每天能售出100件,经市场调查发现,每件的售价每降低1元,则每天可多售出5件,店里销售该商品每天的利润要达到1 500元.若设店主把该商品每件的售价降低x元,则可列方程为(25 - x)(100 + 5x) = 1500.

答案： 【解析】：
这是一个市场营销问题，涉及到售价、销售量和利润之间的关系。
首先，确定原始的单件利润和销售量：
原始单件利润为：$50 - 25 = 25$（元），
原始销售量为：100（件），
当售价降低$x$元时，新的售价为：$50 - x$（元），
新的单件利润为：$(50 - x) - 25 = 25 - x$（元），
同时，每降低1元售价，销售量增加5件。
因此，新的销售量为：$100 + 5x$（件），
根据题意，每天的利润要达到1500元，因此可以列出方程：
$(25 - x)(100 + 5x) = 1500$。
【答案】：
$(25 - x)(100 + 5x) = 1500$。

7. 为满足师生阅读需求,某校图书馆的藏书量不断增加,2022年年底的藏书量为5万册,2024年年底的藏书量为7.2万册.
(1)求该校图书馆这两年藏书量的年平均增长率;
(2)按照这样的增长速度,请你预测到2025年年底该校图书馆的藏书量.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用，特别是平均变化率问题。
(1) 设该校图书馆这两年藏书量的年平均增长率为 $x$。
根据年平均增长率的定义，2023年年底的藏书量将是 $5(1+x)$ 万册，2024年年底的藏书量将是 $5(1+x)^{2}$ 万册。
根据题目条件，2024年年底的藏书量为7.2万册，因此我们可以建立方程：
$5(1+x)^{2} = 7.2$，
展开方程得：
$5x^{2} + 10x + 5 = 7.2$，
$5x^{2} + 10x - 2.2 = 0$，
解这个一元二次方程，我们得到两个解，其中一个解为 $x_{1} = 0.2 = 20\%$，另一个解为 $x_{2} = -2.2$（由于增长率不能为负，所以舍去这个解）。
所以，该校图书馆这两年藏书量的年平均增长率为 $20\%$。
(2) 根据第一问求得的年平均增长率 $x = 0.2$，我们可以预测2025年年底的藏书量。
2025年年底的藏书量将是 $7.2 × (1 + 0.2) = 7.2 × 1.2 = 8.64$ 万册。
【答案】：
(1) 该校图书馆这两年藏书量的年平均增长率为 $20\%$；
(2) 预测到2025年年底该校图书馆的藏书量为8.64万册。

8. (新考向·数学文化)我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”的问题:“六贯二百一十钱,请人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意如下:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (A)
A.$3(x - 1)x = 6210$
B.$3(x - 1) = 6210$
C.$(3x - 1)x = 6210$
D.$3x = 6210$

答案： 【解析】：
首先，我们需要明确题目的意思：少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。
设这批椽的数量为$x$株，那么如果少拿一株，剩下的椽的数量就是$x-1$株。
每株椽的运费是3文，所以剩下的椽的运费是$3(x - 1)$文。
题目中说剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，而整批椽的价钱是6210文。
由于剩下的椽的运费等于一株椽的价钱，那么我们可以得出整批椽的价钱也等于一株椽的价钱乘以椽的数量，即$3(x - 1)x = 6210$。
这是一个关于$x$的一元二次方程，解这个方程可以得出椽的数量。
【答案】：
A. $3(x - 1)x = 6210$