《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

16. (2023·启东期中)在二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$中,$x与y$的部分对应值如下表:
| $x$ | …$$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $-2.5$ | $0$ | $1.5$ | $2$ | $1.5$ | …$$ |
则下列判断不正确的是 ( B )
A.当$x＜0$时,$y随x$的增大而增大
B.当$x= 4$时,$y= -2$
C.图象的顶点坐标为$(1,2)$
D.$x= -1是方程ax^{2}+bx+c= 0$的一个根

答案： 解：由表格数据得：
当$x=0$时，$y=1.5$，则$c=1.5$；
当$x=-1$时，$y=0$，即$a - b + 1.5 = 0$；
当$x=1$时，$y=2$，即$a + b + 1.5 = 2$；
联立解得$a=-0.5$，$b=1$，$c=1.5$，
二次函数解析式为$y=-0.5x^{2}+x + 1.5$。
A. 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，$a=-0.5\lt0$，当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，正确。
B. 当$x=4$时，$y=-0.5×16 + 4 + 1.5=-8 + 4 + 1.5=-2.5\neq -2$，错误。
C. 顶点坐标为$(1,2)$，正确。
D. 当$x=-1$时，$y=0$，所以$x=-1$是方程$ax^{2}+bx + c=0$的一个根，正确。
答案：B

17. (2024·海安一模)设函数$y= a(x+m)^{2}+n(a≠0,m,n$是实数),当$x= 1$时,$y= 1$;当$x= 6$时,$y= 6$.下列说法正确的是 (C)
A.若$m= -3$,则$a＜0$
B.若$m= -4$,则$a＞0$
C.若$m= -5$,则$a＜0$
D.若$m= -6$,则$a＞0$

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质和图像。
给定函数形式为 $y = a(x + m)^{2} + n$，并且给出了两个点 $(1, 1)$ 和 $(6, 6)$。
当 $x = 1$ 时，$y = 1$，代入函数得：
$1 = a(1 + m)^{2} + n \quad \text{(1)}$
当 $x = 6$ 时，$y = 6$，代入函数得：
$6 = a(6 + m)^{2} + n \quad \text{(2)}$
从
(1)和
(2)中消去 $n$，得到：
$6 - 1 = a(6 + m)^{2} - a(1 + m)^{2}$
$5 = a[(6 + m)^{2} - (1 + m)^{2}]$
$5 = a(36 + 12m + m^{2} - 1 - 2m - m^{2})$
$5 = a(35 + 10m)$
$a = \frac{5}{35 + 10m} = \frac{1}{7 + 2m} \quad \text{(3)}$
现在，根据选项来检验 $m$ 的不同取值：
A. 若 $m = -3$，则 $a = \frac{1}{7 + 2(-3)} = \frac{1}{1} ＞ 0$，与选项A中的 $a ＜ 0$ 不符，故A错误。
B. 若 $m = -4$，则 $a = \frac{1}{7 + 2(-4)} = \frac{1}{-1} ＜ 0$，与选项B中的 $a ＞ 0$ 不符，故B错误。
C. 若 $m = -5$，则 $a = \frac{1}{7 + 2(-5)} = \frac{1}{-3} ＜ 0$，与选项C中的 $a ＜ 0$ 符合，故C正确，但由于是选择题需继续验证D选项。
D. 若 $m = -6$，则 $a = \frac{1}{7 + 2(-6)} = \frac{1}{-5} ＜ 0$，与选项D中的 $a ＞ 0$ 不符，故D错误。
由于题目要求选择正确的一项，且C选项已经验证为正确，故最终答案为C。
【答案】：
C

18. (2023·如皋期末)定义:在平面直角坐标系中,若点$P$的横坐标与纵坐标的和为零,则称$P$为“零和点”.已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a＞0)$的图象上有2个“零和点”,且都在第二象限,则二次函数$y= ax^{2}-(1+b)x+c$的图象不经过 (C)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1. 首先，设“零和点”$P(x,y)$：
因为$x + y = 0$，所以$y=-x$。
又因为点$P(x,y)$在$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)$的图象上，所以$-x=ax^{2}+bx + c$，即$ax^{2}+(b + 1)x + c = 0$。
已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)$的图象上有$2$个“零和点”，且都在第二象限，设这两个“零和点”的横坐标为$x_1$，$x_2$，根据韦达定理$x_{1}+x_{2}=-\frac{b + 1}{a}\lt0$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\gt0$。
因为$a\gt0$，由$x_{1}+x_{2}=-\frac{b + 1}{a}\lt0$可得$b + 1\gt0$；由$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\gt0$可得$c\gt0$。
2. 然后，对于二次函数$y = ax^{2}-(1 + b)x + c(a\gt0)$：
二次函数的对称轴为$x =-\frac{-(1 + b)}{2a}=\frac{1 + b}{2a}\gt0$。
当$x = 0$时，$y = c\gt0$。
二次函数的二次项系数$a\gt0$，所以抛物线开口向上。
再求判别式$\Delta=(1 + b)^{2}-4ac$，因为$ax^{2}+(b + 1)x + c = 0$有两个不同的根（两个“零和点”），所以$(b + 1)^{2}-4ac\gt0$。
设$y = ax^{2}-(1 + b)x + c$与$x$轴的交点为$(x_3,0)$，$(x_4,0)$，根据韦达定理$x_{3}+x_{4}=\frac{1 + b}{a}\gt0$，$x_{3}x_{4}=\frac{c}{a}\gt0$。
3. 最后，分析二次函数$y = ax^{2}-(1 + b)x + c$的图象：
二次函数$y = ax^{2}-(1 + b)x + c(a\gt0)$，开口向上（$a\gt0$），与$y$轴交点$(0,c)$在$y$轴正半轴（$c\gt0$），对称轴$x=\frac{1 + b}{2a}\gt0$，且与$x$轴有两个正根（$x_{3}+x_{4}\gt0$，$x_{3}x_{4}\gt0$）。
所以二次函数$y = ax^{2}-(1 + b)x + c$的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
综上，答案是C。

19. 已知点$P(x,y)在二次函数y= 2(x+1)^{2}-3$的图象上,则当$-2＜x≤1$时,$y$的取值范围是$-3 \leq y \leq 5$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的开口方向、顶点坐标以及对称轴等。
首先，二次函数$y = 2(x + 1)^{2} - 3$可以明确其顶点坐标为$(-1, -3)$，对称轴为$x = -1$，并且由于二次项系数为正，所以函数开口向上。
接下来，我们需要考虑在区间$-2 ＜ x \leq 1$内，函数值$y$的取值范围。
当$x = -1$时，由于是对称轴且函数开口向上，所以$y$取得最小值，即$y = -3$。
当$x = 1$时，代入函数表达式计算得$y = 2(1 + 1)^{2} - 3 = 5$，这是在给定区间内$y$的最大值。
同时，我们还需要考虑区间的左端点$x = -2$，但由于$x$的取值是大于-2的，所以$x = -2$并不在取值范围内，我们只需要知道在$x$接近-2时，$y$的值会大于-3但小于5。
综上，当$-2 ＜ x \leq 1$时，$y$的取值范围是$-3 \leq y \leq 5$。
【答案】：
$-3 \leq y \leq 5$。

20. 已知二次函数$y= -x^{2}-2x+3$,且当$a≤x≤\frac {1}{2}$时,$y的最小值为1$,则$a$的值为$-1-\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的性质，特别是二次函数的开口方向、顶点坐标以及函数在不同区间的单调性。
首先，我们将二次函数$y = -x^{2} - 2x + 3$进行配方，得到其顶点式：
$y = - (x^{2} + 2x) + 3 = - (x^{2} + 2x + 1 - 1) + 3 = - (x + 1)^{2} + 4$，
由此，我们可以知道该二次函数的开口方向是向下（因为二次项系数为负），顶点坐标为$(-1, 4)$。
接下来，我们分析函数在区间$[a, \frac{1}{2}]$上的单调性。
由于函数开口向下，所以在顶点左侧，函数是单调递增的；在顶点右侧，函数是单调递减的。
又因为$\frac{1}{2} \lt 1$，且顶点横坐标为-1，所以区间$[a, \frac{1}{2}]$一定在顶点右侧，函数在此区间上是单调递减的。
根据题意，当$x = \frac{1}{2}$时，$y$取得最小值1，我们可以将这个点代入原函数进行验证：
$1 = - (\frac{1}{2})^{2} - 2 × \frac{1}{2} + 3$，
这个等式是成立的，说明我们的推断是正确的。
然后，我们设$y=1$，得到方程：
$-x^{2} - 2x + 3 = 1$，
即$x^{2} + 2x - 2 = 0$，
通过求解这个一元二次方程，我们可以得到两个解，分别为：
$x_{1} = -1 - \sqrt{3}$，
$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$，
由于$a≤x≤\frac {1}{2}$时，$y$的最小值为1，且函数在此区间上是单调递减的，
所以我们可以确定$a$的取值应该使得在区间$[a, \frac{1}{2}]$上，函数的最小值能够取到1。
结合我们之前求得的$x_{1}$和$x_{2}$，以及函数的单调性，我们可以得出：
$a = - 1 - \sqrt{3}$（因为$x_{1} = -1 - \sqrt{3}$是使得$y=1$的一个解，且由于函数是单调递减的，所以$a$必须取这个解才能保证在区间$[a, \frac{1}{2}]$上函数的最小值为1）。
【答案】：
$a = - 1 - \sqrt{3}$。

21. (2023·启东期中)对于一个函数:当自变量$x取a$时,其函数值$y也等于a$,我们称$a$为这个函数的“不动点”.若二次函数$y= x^{2}+2x+c$($c$为常数)有两个不相等且都小于$1$的“不动点”,则$c$的取值范围是$-2 ＜ c ＜ \frac{1}{4}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及解不等式组。
首先，根据“不动点”的定义，将$y$替换为$x$，得到方程：
$x^{2} + 2x + c = x$，
整理后得到：
$x^{2} + x + c = 0$，
设此方程的两个根为$x_{1}$和$x_{2}$，根据题意，这两个根都小于1且不相等。
根据二次方程的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$，我们有：
$\Delta = 1^{2} - 4 × 1 × c = 1 - 4c ＞ 0$，
这是确保方程有两个不相等的实根的条件。
接下来，考虑根的范围。由于两个根都小于1，我们可以将$x=1$代入方程，并确保结果大于0（因为如果$x=1$是方程的根或大于方程的根，那么方程在$x＜1$的范围内就不可能有两个根）。即：
$1^{2} + 1 + c ＞ 0$，
同时，由于二次函数的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，我们有：
$-\frac{1}{2} ＜ 1$，（本题对称轴为$x=-\frac{1}{2}$，已经满足小于1，该条件恒成立，但为了与一般解题步骤保持一致，仍然写出）。
综合以上三个条件，我们得到不等式组：
$\begin{cases}1 - 4c ＞ 0 ,\\1 + 1 + c ＞ 0 .\end{cases}$
解这个不等式组，我们得到：
$-2 ＜ c ＜ \frac{1}{4}$。
【答案】：
$-2 ＜ c ＜ \frac{1}{4}$。

22. 把抛物线$C_{1}:y= x^{2}+2x+3先向右平移4$个单位长度,再向下平移$5个单位长度得到抛物线C_{2}$.
(1) 直接写出抛物线$C_{2}$对应的函数解析式.
(2) 动点$P(a,-6)是否在抛物线C_{2}$上? 请说明理由.
(3) 若点$A(m,y_{1}),B(n,y_{2})都在抛物线C_{2}$上,且$m＜n＜0$,比较$y_{1},y_{2}$的大小,并说明理由.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数平移的性质、二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的增减性。
(1) 首先，我们需要将给定的抛物线$y = x^{2} + 2x + 3$进行配方，得到其顶点式：
$y = (x + 1)^{2} + 2$，
然后，根据平移规律，向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到新的抛物线解析式：
$y = (x + 1 - 4)^{2} + 2 - 5 = (x - 3)^{2} - 3$，
所以，抛物线$C_{2}$对应的函数解析式为：$y = (x - 3)^{2} - 3$。
(2) 对于动点$P(a, -6)$是否在抛物线$C_{2}$上，我们可以将$-6$代入解析式进行验证：
当$y = -6$时，
$(x - 3)^{2} - 3 = -6$，
移项得：
$(x - 3)^{2} = -3$，
由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解，
因此，动点$P(a, -6)$不在抛物线$C_{2}$上。
(3) 对于点$A(m,y_{1}),B(n,y_{2})$都在抛物线$C_{2}$上，且$m ＜ n ＜ 0$，我们需要比较$y_{1},y_{2}$的大小。
由于抛物线$C_{2}$的开口方向是向上，且对称轴为$x = 3$，
所以当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此，当$m ＜ n ＜ 0$时，有$y_{1} ＞ y_{2}$。
【答案】：
(1) 抛物线$C_{2}$对应的函数解析式为$y = (x - 3)^{2} - 3$；
(2) 动点$P(a, -6)$不在抛物线$C_{2}$上，因为方程$(x - 3)^{2} - 3 = -6$无实数解；
(3) 当$m ＜ n ＜ 0$时，$y_{1} ＞ y_{2}$，因为抛物线$C_{2}$在$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而减小。