《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

11. (新视角·新定义题)定义运算：$ a☆b = 2a^{2}-ab $,等式右侧为通常的混合运算. 若 $ a = x - 1,b = x,a☆b = 6 $,则 $ x $ 的值为$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查因式分解法解一元二次方程以及新定义运算的理解和应用。
首先，根据题目中给出的新定义运算规则 $a☆b = 2a^{2} - ab$，将 $a = x - 1$ 和 $b = x$ 代入该规则中，得到：
$2(x - 1)^{2} - x(x - 1) = 6$，
展开并整理得：
$2(x^{2} - 2x + 1) - x^{2} + x = 6$，
$2x^{2} - 4x + 2 - x^{2} + x = 6$，
$x^{2} - 3x - 4 = 0$，
这是一个一元二次方程，接下来使用因式分解法来解这个方程。
因式分解得：
$(x - 4)(x + 1) = 0$，
由此可得：
$x - 4 = 0 \quad \text{或} \quad x + 1 = 0$，
解得：
$x_{1} = 4, \quad x_{2} = -1$。
【答案】：
$x_{1} = 4$，$x_{2} = -1$。

12. (整体思想)若实数 $ a,b $ 满足 $ (a + b)(2a + 2b - 1)= 1 $,则 $ a + b = $$1$或$-\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察整体思想和因式分解法的应用。
首先，我们将原方程$(a + b)(2a + 2b - 1) = 1$进行整理，
把$2a + 2b$提取公因数2，得到：
$(a + b)[2(a + b) - 1] = 1$
展开得：
$2(a + b)^{2} - (a + b) - 1 = 0$
这是一个关于$a + b$的二次方程，我们可以进一步因式分解这个二次方程，得到：
$[2(a + b) + 1](a + b - 1) = 0$
由此，我们可以得到两个方程：
$2(a + b) + 1 = 0$
$a + b - 1 = 0$
分别解这两个方程，我们可以得到：
$a + b = -\frac{1}{2}$或$a + b = 1$。
【答案】：
$1$或$-\frac{1}{2}$。

13. (易错题)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (x - 3)(mx - n)= 0 $ 有两个实数根,且其中一个实数根是另一个实数根的 3 倍,则 $ \frac{2n}{m} $ 的值为______2或18。

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的因式分解法以及根与系数的关系。
首先，我们将方程$(x - 3)(mx - n) = 0$展开，得到：
$mx^2 - (3m + n)x + 3n = 0$，
根据因式分解法，我们知道方程的两个根分别为$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{n}{m}$，
根据题目条件，方程的两个根之间存在3倍的关系，所以有两种可能的情况：
情况一：$x_1 = 3$是$x_2 = \frac{n}{m}$的3倍，
即$3 = 3 × \frac{n}{m}$，
化简得$\frac{n}{m} = 1$，
所以，$\frac{2n}{m} = 2 × 1 = 2$；
情况二：$x_2 = \frac{n}{m}$是$x_1 = 3$的3倍，
即$\frac{n}{m} = 3 × 3$，
化简得$\frac{n}{m} = 9$，
所以，$\frac{2n}{m} = 2 × 9 = 18$。
所以，$\frac{2n}{m}$的值可以为2或18。
【答案】：
2或18。

14. 解下列方程：
(1)$ 2(x - 3)^{2}= x^{2}-9 $； (2)$ 3x(x - 1)= 2 - 2x $；
(3)$ (3x - 1)^{2}= (2 - x)^{2} $； (4) (2024·南通期末)$ (y + 2)^{2}+2 = 3(y + 2) $.

答案： 【解析】：
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识点。
对于每个子问题，我们都需要先将方程化为标准形式，然后通过因式分解找出解。
(1) $2(x - 3)^{2} = x^{2} - 9$
首先展开并整理方程：
$2(x^2 - 6x + 9) = x^2 - 9$
$2x^2 - 12x + 18 = x^2 - 9$
$x^2 - 12x + 27 = 0$
然后因式分解：
$(x - 3)(x - 9) = 0$
解得 $x_1 = 3, x_2 = 9$
(2) $3x(x - 1) = 2 - 2x$
整理方程：
$3x^2 - 3x = 2 - 2x$
$3x^2 - x - 2 = 0$
因式分解：
$(x - 1)(3x + 2) = 0$
解得 $x_1 = 1, x_2 = -\frac{2}{3}$
(3) $(3x - 1)^{2} = (2 - x)^{2}$
开方并整理：
$(3x - 1) = \pm (2 - x)$
分两种情况：
$3x - 1 = 2 - x \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{4}$
$3x - 1 = -(2 - x) \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2}$
(4) $(y + 2)^{2} + 2 = 3(y + 2)$
整理方程：
$(y + 2)^2 - 3(y + 2) + 2 = 0$
令 $z = y + 2$，则方程变为：
$z^2 - 3z + 2 = 0$
因式分解：
$(z - 1)(z - 2) = 0$
解得 $z_1 = 1, z_2 = 2$
回代 $z = y + 2$，得 $y_1 = -1, y_2 = 0$
【答案】：
(1) $x_1 = 3, x_2 = 9$
(2) $x_1 = 1, x_2 = -\frac{2}{3}$
(3) $x_1 = \frac{3}{4}, x_2 = -\frac{1}{2}$
(4) $y_1 = -1, y_2 = 0$

15. 阅读材料并解答问题：
为解方程 $ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0 $,我们可以将 $ x^{2}-1 $ 看成一个整体,然后设 $ x^{2}-1 = y $,则原方程可化为 $ y^{2}-5y + 4 = 0 $①,解得 $ y_{1}= 1,y_{2}= 4 $. 当 $ y = 1 $ 时,$ x^{2}-1 = 1 $. $ \therefore x^{2}= 2 $,解得 $ x = \pm\sqrt{2} $. 当 $ y = 4 $ 时,$ x^{2}-1 = 4 $. $ \therefore x^{2}= 5 $,解得 $ x = \pm\sqrt{5} $. $ \therefore $ 原方程的根为 $ x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2},x_{3}= \sqrt{5},x_{4}= -\sqrt{5} $.
(1) 在由原方程得到方程①的解题过程中,利用换元法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想.
(2) 请利用以上方法解方程：
① $ x^{4}-x^{2}-6 = 0 $；
② $ (x^{2}+3)^{2}-9(x^{2}+3)+20 = 0 $.
①设$x^{2} = y$，则原方程可化为$y^{2} - y - 6 = 0$，因式分解得$(y - 3)(y + 2) = 0$，解得$y_{1} = 3,y_{2} = - 2$（舍去），当$y = 3$时，$x^{2} = 3$，解得$x = \pm \sqrt{3}$，$\therefore$原方程的解为$x_{1} = \sqrt{3},x_{2} = - \sqrt{3}$；
②设$x^{2} + 3 = y$，则原方程可化为$y^{2} - 9y + 20 = 0$，因式分解得$(y - 4)(y - 5) = 0$，解得$y_{1} = 4,y_{2} = 5$，当$y = 4$时，$x^{2} + 3 = 4$，解得$x = \pm 1$，当$y = 5$时，$x^{2} + 3 = 5$，解得$x = \pm \sqrt{2}$，$\therefore$原方程的解为$x_{1} = 1,x_{2} = - 1,x_{3} = \sqrt{2},x_{4} = - \sqrt{2}$。

答案： 【解析】：
本题主要考察了利用换元法解高次方程，通过整体代换，将高次方程转化为一元二次方程进行求解，体现了转化的数学思想。
(1)在由原方程得到方程①的过程中，通过设$x^{2} - 1 = y$，将原方程中的$x^{2} - 1$整体替换为$y$，从而将原方程转化为一元二次方程$y^{2} - 5y + 4 = 0$，这是利用了换元法。
(2)①对于方程$x^{4} - x^{2} - 6 = 0$，可以设$x^{2} = y$，则原方程可化为$y^{2} - y - 6 = 0$，这是一个一元二次方程，通过求解这个方程，可以得到$y$的值，然后再将$y$的值代入$x^{2} = y$，求解出$x$的值。
②对于方程$(x^{2} + 3)^{2} - 9(x^{2} + 3) + 20 = 0$，可以设$x^{2} + 3 = y$，则原方程可化为$y^{2} - 9y + 20 = 0$，同样是一个一元二次方程，通过求解这个方程，可以得到$y$的值，然后再将$y$的值代入$x^{2} + 3 = y$，求解出$x$的值。
【答案】：
(1)换元
(2)①设$x^{2} = y$，则原方程可化为$y^{2} - y - 6 = 0$，
因式分解得$(y - 3)(y + 2) = 0$，
解得$y_{1} = 3,y_{2} = - 2$（舍去），
当$y = 3$时，$x^{2} = 3$，
解得$x = \pm \sqrt{3}$，
$\therefore$原方程的解为$x_{1} = \sqrt{3},x_{2} = - \sqrt{3}$；
②设$x^{2} + 3 = y$，则原方程可化为$y^{2} - 9y + 20 = 0$，
因式分解得$(y - 4)(y - 5) = 0$，
解得$y_{1} = 4,y_{2} = 5$，
当$y = 4$时，$x^{2} + 3 = 4$，
解得$x = \pm 1$，
当$y = 5$时，$x^{2} + 3 = 5$，
解得$x = \pm \sqrt{2}$，
$\therefore$原方程的解为$x_{1} = 1,x_{2} = - 1,x_{3} = \sqrt{2},x_{4} = - \sqrt{2}$。