《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

11. 学校准备将一块长为$ 20 \mathrm { m } $、宽为$ 14 \mathrm { m } $的矩形绿地进行扩建,设长和宽都增加$ x \mathrm { m } $,增加的面积是$ y \mathrm { m } ^ { 2 } $.
(1) 求$ y 与 x $之间的函数解析式;
(2) 若要使绿地面积增加$ 72 \mathrm { m } ^ { 2 } $,则长与宽都要增加多少米?

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的实际应用以及一元二次方程的求解。
(1)首先，需要找出增加的面积$y$与增加的长度$x$之间的函数关系。
原矩形的长为$20m$，宽为$14m$，所以原面积为$20 × 14 = 280（\mathrm{m}^2）$。
增加长度和宽度后，新的长为$(20+x)m$，新的宽为$(14+x)m$，所以新的面积为$(20+x)(14+x) \mathrm{m}^2$。
根据增加的面积=新的面积-原面积，可得：
$y = (20+x)(14+x) - 280$，
展开得：
$y = 20x + 14x + x^2 - 280 +280$，
$y = x^2 + 34x$。
所以，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = x^2 + 34x$。
(2)接下来，需要找出使绿地面积增加$72\mathrm{m}^2$的$x$的值。
根据题意，当绿地面积增加$72\mathrm{m}^2$时，有：
$x^2 + 34x = 72$，
移项得：
$x^2 + 34x - 72 = 0$，
因式分解该一元二次方程得：
$(x+36)(x-2)=0$，
解得：
$x_1 = 2, \quad x_2 = -36$，
由于长度和宽度不能减少，所以$x$不能为负，故$x_2 = -36$不符合题意，舍去。
所以，长与宽都要增加$2m$。
【答案】：
(1)$y = x^2 + 34x$；
(2)$2m$。

12. (新情境·日常生活)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长$ 15 \mathrm { m } $)的空地上修建一个矩形花园$ A B C D $,花园的一边靠墙,另三边用总长为$ 40 \mathrm { m } $的栅栏围成. 如图,设花园的一边$ A B = x \mathrm { m } $,花园的面积为$ y \mathrm { m } ^ { 2 } $.
(1) 求$ y 与 x $之间的函数解析式,并求出自变量$ x $的取值范围.
(2) 这个花园的面积能达到$ 200 \mathrm { m } ^ { 2 } $吗? 若能,求出此时的$ x $的值;若不能,请说明理由.
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答案：
(1) 解：因为花园为矩形，AB=x m，栅栏总长40 m，所以BC=(40-2x)m。
面积y=AB×BC=x(40-2x)=-2x²+40x。
由墙长15 m，得0＜40-2x≤15，解得12.5≤x＜20。
所以y=-2x²+40x（12.5≤x＜20）。
(2) 解：令y=200，即-2x²+40x=200，整理得x²-20x+100=0，(x-10)²=0，x=10。
因为10不在12.5≤x＜20范围内，所以不能达到200 m²。

13. (教材 P41 习题 22.1 第 8 题变式)如图,等腰直角三角形$ A B C 的直角边长与正方形 M N P Q 的边长均为 20 \mathrm { cm } $,$ A C 与 M N $在同一条直线上,开始时点$ A 与点 N $重合,然后$ \triangle A B C 以 2 \mathrm { cm } / \mathrm { s } $的速度向左运动,最终点$ A 与点 M $重合.
(1) 求重叠部分的面积$ y $(单位:$ \mathrm { cm } ^ { 2 } $)与运动时间$ t $(单位:$ \mathrm { s } $)之间的函数解析式,并写出$ t $的取值范围;
(2) 若运动时间为$ 5 \mathrm { s } $,求重叠部分的面积;
(3) 若重叠部分的面积为$ 128 \mathrm { cm } ^ { 2 } $,求运动时间.
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答案：
(1) 解：由题意得，AN = 2t cm，
∵ 正方形边长为20 cm，
∴ NA' = MN - AN = 20 - 2t cm（设运动t秒后点A移动到A'），
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ 重叠部分是等腰直角三角形，其直角边长为NA' = 20 - 2t，
则 y = $\frac{1}{2}(20 - 2t)^2$ = 2t² - 40t + 200，
t的取值范围是0 ≤ t ≤ 10。
(2) 解：当t = 5时，
y = 2×5² - 40×5 + 200 = 2×25 - 200 + 200 = 50，
答：重叠部分的面积为50 cm²。
(3) 解：当y = 128时，
2t² - 40t + 200 = 128，
2t² - 40t + 72 = 0，
t² - 20t + 36 = 0，
(t - 2)(t - 18) = 0，
t₁ = 2，t₂ = 18（舍去，
∵ t ≤ 10），
答：运动时间为2 s。