《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 如图,学校准备修建一个面积为$48m^{2}$的矩形花园.它的一边靠墙,其余三边利用长为 20 m 的围栏围成.若墙的长度为 9 m,则围成的矩形花园的长为(A)
A.8 m
B.6 m
C.4 m
D.2 m
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答案： 【解析】：本题可先设出矩形花园的长和宽，再根据矩形面积公式以及围栏长度列出方程，最后结合墙的长度求解方程，进而得到矩形花园的长。
设垂直于墙的一边长为$x$米，因为围栏总长为$20$米，且一边靠墙，所以平行于墙的一边长为$(20 - 2x)$米。
已知矩形花园面积为$48$平方米，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$x(20 - 2x) = 48$。
化简该方程：
$\begin{align}x(20 - 2x) &= 48\\20x - 2x^2 &= 48\\x^2 - 10x + 24 &= 0\end{align}$
分解因式可得$(x - 4)(x - 6) = 0$，则$x - 4 = 0$或$x - 6 = 0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
当$x = 4$时，平行于墙的一边长为$20 - 2×4 = 20 - 8 = 12$米，而墙的长度为$9$米，$12\gt 9$，不符合题意，舍去。
当$x = 6$时，平行于墙的一边长为$20 - 2×6 = 20 - 12 = 8$米，$8\lt 9$，符合题意。
所以围成的矩形花园的长为$8$米。
【答案】：A。

2. (易错题)某杂技团用 68 m 长的幕布围成一个面积为$300m^{2}$的矩形临时场地,并留出 2 m 作为入口,则矩形场地的长为(A)
A.20 m
B.15 m
C.25 m
D.30 m

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的应用，特别是在几何图形面积问题中的应用。
设矩形与幕布平行的一边长为$x$米，那么与幕布垂直的两边总长则为$(68+2-2x)$米（因为总长68米，减去用于入口的2米，再减去与$x$相邻的两边总长$2x$米），单边长为$\frac{70-2x}{2}=(35-x)$米。
根据矩形面积公式：$长 × 宽 = 面积$，我们可以得到方程：
$x(35 - x) = 300$，
展开方程得：
$35x - x^{2} = 300$，
移项并整理得：
$x^{2} - 35x + 300 = 0$，
因式分解该方程：
$(x - 15)(x - 20) = 0$，
由此得到两个
$x_{1} = 15$，
$x_{2} = 20$，
当$x=15$时，另一边长为$35-15=20$米，满足矩形条件；
当$x=20$时，另一边长为$35-20=15$米，由于$15＜20$，与题目中“矩形场地的长”这一描述不冲突（长可以大于或等于宽），但也需验证其合理性。在此情况下，两边均合法且满足面积为$300m^2$，但通常我们取较长的边作为长，即$x=20$为长。但考虑到题目只问长，且两个解在矩形中均可作为长，我们需结合选项来看。
检查选项，发现只有20米和与20米相关的计算（如加上或减去某个值后仍与选项有关的）可能是正确答案。由于题目问的是长，且给出了具体选项，我们直接选取与解匹配的选项。
【答案】：
A. $20$ m。

3. 取一张长与宽之比为$5:2$的矩形纸板,剪去四个边长为 5 cm 的小正方形(如图),并用它制成一个无盖的长方体包装盒.要使包装盒的体积为$200cm^{3}$(纸板的厚度忽略不计),则这张矩形纸板的长为(B)
A.24 cm
B.30 cm
C.32 cm
D.36 cm
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答案： 解：设矩形纸板的长为$5x$cm，宽为$2x$cm。
由题意，剪去四个边长为5cm的小正方形后，长方体包装盒的长为$(5x - 2×5)$cm，宽为$(2x - 2×5)$cm，高为5cm。
根据长方体体积公式，得：$5(5x - 10)(2x - 10) = 200$
化简得：$(5x - 10)(2x - 10) = 40$
展开得：$10x² - 50x - 20x + 100 = 40$
整理得：$10x² - 70x + 60 = 0$
即：$x² - 7x + 6 = 0$
因式分解得：$(x - 1)(x - 6) = 0$
解得：$x₁ = 1$（不合题意，舍去），$x₂ = 6$
则矩形纸板的长为$5x = 5×6 = 30$cm。
答案：B

4. 小强用一根 10 m 长的铁丝围成了一个矩形.如果这个矩形的面积为$6m^{2}$,那么这个矩形的长为3m.

答案： 解：设矩形的长为 $ x $ m，因为铁丝长10 m，所以矩形的宽为 $ \frac{10}{2} - x = (5 - x) $ m。
根据矩形面积公式，得 $ x(5 - x) = 6 $。
整理得 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $。
因式分解得 $ (x - 2)(x - 3) = 0 $。
解得 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 3 $。
因为长大于宽，当 $ x = 2 $ 时，宽为 $ 5 - 2 = 3 $ m，此时长小于宽，不符合题意，舍去；当 $ x = 3 $ 时，宽为 $ 5 - 3 = 2 $ m，符合题意。
故这个矩形的长为 $ 3 $ m。
答案：3

5. (教材 P21 习题 21.3 第 3 题变式)一个直角三角形的两条直角边的长相差 7 cm,且直角三角形的面积为$30cm^{2}$,则该直角三角形的斜边长为13cm.

答案： 【解析】：
本题主要考查直角三角形的面积公式和勾股定理的应用。
首先，设较短的直角边长为 $x \, \text{cm}$，则较长的直角边长为 $(x + 7) \, \text{cm}$。
根据直角三角形的面积公式，面积 $S = \frac{1}{2} × \text{直角边1} × \text{直角边2}$，
我们有：$\frac{1}{2} × x × (x + 7) = 30$，
解这个方程，我们得到：$x(x + 7) = 60$，
$x^2 + 7x - 60 = 0$，
通过因式分解或使用求根公式，我们得到 $x = 5$ 或 $x = -12$（舍去负值，因为边长不能为负）。
所以，较短的直角边长为 $5 \, \text{cm}$，较长的直角边长为 $12 \, \text{cm}$。
接下来，利用勾股定理求斜边长。勾股定理公式为 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，其中 $c$ 是斜边，$a$ 和 $b$ 是直角边。
$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}$。
【答案】：
$13$。

6. (2024·海门期末)如图,有一块矩形铁皮,长 100 cm,宽 50 cm,在它的四个角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制成一个无盖方盒.如果制成的无盖方盒的底面积为$3600cm^{2}$,那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少?
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答案： 解：设铁皮各角应该切去的正方形的边长是$x$cm。
根据题意，方盒底面的长为$(100 - 2x)$cm，宽为$(50 - 2x)$cm，底面积为$3600cm^2$，则可列方程：
$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}5000 - 200x - 100x + 4x^2 &= 3600\\4x^2 - 300x + 5000 - 3600 &= 0\\4x^2 - 300x + 1400 &= 0\\x^2 - 75x + 350 &= 0\end{aligned}$
因式分解：
$(x - 5)(x - 70) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 70$。
因为矩形铁皮宽为$50$cm，切去正方形边长不能超过$25$cm（$50 - 2x ＞ 0$，即$x ＜ 25$），所以$x = 70$不合题意，舍去。
答：铁皮各角应该切去的正方形的边长是$5$cm。

7. (教材 P22 习题 21.3 第 9 题变式)某小区计划在一个长为 16 m、宽为 9 m 的矩形场地 ABCD 上修建若干条同样宽的小路,竖直的与 AB 平行,水平的与 AD 平行,其余部分种草,草坪部分的总面积为$112m^{2}$.设小路的宽为 x m.若 x 满足方程$x^{2}-17x+16= 0$,则修建的示意图可能是(D)

答案： 【解析】：本题可先根据矩形面积公式以及小路的布局，分别分析各个选项中草坪部分面积的表达式，再结合已知方程$x^{2}-17x + 16 = 0$来判断。
已知矩形场地$ABCD$长为$16m$、宽为$9m$，设小路的宽为$x m$。
选项A：
水平方向的小路长为$16m$，宽为$x m$；竖直方向的小路长为$9m$，宽为$x m$，但是两条小路交叉部分多算了一次，交叉部分是边长为$x m$的正方形。
那么草坪部分的长为$16m$，宽为$(9 - x)m$，其面积表达式为$16×(9 - x)=144 - 16x$，不符合方程$x^{2}-17x + 16 = 0$所对应的面积关系，所以该选项错误。
选项B：
水平方向有$2$条小路，竖直方向有$2$条小路。
将小路平移到矩形场地边缘，则草坪部分可看作一个新的矩形，其长为$(16 - 2x)m$，宽为$(9 - 2x)m$，那么草坪部分面积为$(16 - 2x)(9 - 2x)=144-32x-18x + 4x^{2}=4x^{2}-50x + 144$，不符合方程$x^{2}-17x + 16 = 0$所对应的面积关系，所以该选项错误。
选项C：
把小路平移到矩形场地边缘，草坪部分可看作一个新的矩形，其长为$(16 - x)m$，宽为$(9 - x)m$。
根据矩形面积公式，草坪部分面积为$(16 - x)(9 - x)$，展开可得：
$(16 - x)(9 - x)$
$=16×9-16x-9x+x^{2}$
$=144 - 25x + x^{2}$
已知草坪部分的总面积为$112m^{2}$，则可列方程$x^{2}-25x + 144 = 112$，即$x^{2}-25x + 32 = 0$，不符合方程$x^{2}-17x + 16 = 0$，所以该选项错误。
选项D：
同样把小路平移到矩形场地边缘，草坪部分可看作一个新的矩形，其长为$(16 - x)m$，宽为$(9 - x)m$。
那么草坪部分面积为$(16 - x)(9 - x)$，展开得到$(16 - x)(9 - x)=144-16x-9x+x^{2}=x^{2}-17x + 144$。
已知草坪部分的总面积为$112m^{2}$，所以可列方程$x^{2}-17x + 144 = 112$，移项可得$x^{2}-17x + 144-112 = 0$，即$x^{2}-17x + 16 = 0$，符合已知条件，所以该选项正确。
【答案】：D