《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

10. (2024·启东二模)若关于$x的一元二次方程mx^{2}+nx - 2024 = 0的一个解是x = 1$,则$m + n + 1$的值是(A)
A.$2025$
B.$2024$
C.$2023$
D.$2022$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解的定义。
根据一元二次方程的解的定义，如果$x=1$是方程$mx^{2}+nx - 2024 = 0$的一个解，那么将$x=1$代入方程，方程应该成立。
即：
$m×1^{2}+n×1 - 2024 = 0$，
$m+n-2024=0$，
从上式可以解出：
$m+n=2024$，
接下来，我们需要求$m+n+1$的值，将$m+n=2024$代入得：
$m+n+1=2024+1=2025$。
【答案】：
A.$2025$。

11. (易错题)(2024·海安期末)若$a + b + c = 0$,则关于$x的一元二次方程ax^{2}-bx + c = 0$必有一个根是(C)
A.$x = 0$
B.$x = 1$
C.$x = - 1$
D.$x = a$

答案： 解：当$x = -1$时，代入方程$ax^{2}-bx + c = 0$，得：
$a×(-1)^{2}-b×(-1)+c = a + b + c$
因为$a + b + c = 0$，所以$a×(-1)^{2}-b×(-1)+c = 0$
即$x = -1$是方程$ax^{2}-bx + c = 0$的一个根。
答案：C

12. (新考向·数学文化)(2023·通州、如东期末)读一读下面的诗词：“大江东去浪淘尽,千古风流数人物；而立之年督东吴,早逝英年两位数；十位恰小个位三,个位平方与寿符.”诗词大意是周瑜三十岁时当上了东吴都督,去世时年龄是两位数,十位数比个位数小 3,个位数的平方等于他去世时的年龄. 若设他去世时年龄的个位数为$x$,则根据题意可列方程为$x^2 = 10(x - 3) + x$（或$x^2 - 11x + 30 = 0$）.

答案： 【解析】：
首先，我们设周瑜去世时的年龄的个位数为$x$。
根据题意，十位数比个位数小3，所以十位数为$x-3$。
一个两位数可以表示为：$10 ×$ (十位数) + (个位数)。
所以，周瑜去世时的年龄可以表示为：$10(x-3) + x$。
再根据题意，个位数的平方等于他去世时的年龄，所以我们有方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
简化后得到：
$x^2 = 11x - 30$
或者整理为标准形式：
$x^2 - 11x + 30 = 0$
但题目只要求列出关于$x$的方程，所以我们只需写出：
$x^2 = 10(x - 3) + x$（或$x^2 - 11x + 30 = 0$，两者等价）
【答案】：
$x^2 = 10(x - 3) + x$（或$x^2 - 11x + 30 = 0$）

13. (易错题)(2024·通州、如东二模)若$m是方程x^{2}+x - 4 = 0$的一个实数根,则代数式$m^{3}-5m + 2024$的值为______2020.

答案： 解：
∵m是方程$x^{2}+x - 4 = 0$的一个实数根，
∴$m^{2}+m - 4 = 0$，即$m^{2}=4 - m$，$m^{2}+m=4$。
$m^{3}-5m + 2024$
$=m\cdot m^{2}-5m + 2024$
$=m(4 - m)-5m + 2024$
$=4m - m^{2}-5m + 2024$
$=-m^{2}-m + 2024$
$=-(m^{2}+m)+2024$
$=-4 + 2024$
$=2020$
故答案为2020。

14. 已知$m是方程x^{2}+3x - 2022 = 0$的一个根,求$m^{3}+2m^{2}-2025m + 2022$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的性质以及代数式的化简和求值。
首先，由于$m$是方程$x^{2} + 3x - 2022 = 0$的一个根，根据一元二次方程的定义，我们有$m^{2} + 3m - 2022 = 0$，即$m^{2} + 3m = 2022$，同时我们可以得到$m^{2} = 2022 - 3m$。
然后，我们将$m^{2} + 3m = 2022$代入$m^{3} + 2m^{2} - 2025m + 2022$中进行化简。
$m^{3} + 2m^{2} - 2025m + 2022$
$= m \cdot m^{2} + 2m^{2} - 2025m + 2022$
$= m(2022 - 3m) + 2m^{2} - 2025m + 2022$ （代入$m^{2} = 2022 - 3m$）
$= 2022m - 3m^{2} + 2m^{2} - 2025m + 2022$
$= - m^{2} - 3m + 2022$
$= - (m^{2} + 3m) + 2022$
$= - 2022 + 2022$ （代入$m^{2} + 3m = 2022$）
$= 0$
【答案】：
$m^{3} + 2m^{2} - 2025m + 2022 = 0$。

15. (新视角·新定义题)阅读下面的材料,并回答问题.
定义：如果关于$x的方程a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1}= 0(a_{1}\neq0,a_{1},b_{1},c_{1}$是常数)与$a_{2}x^{2}+b_{2}x + c_{2}= 0(a_{2}\neq0,a_{2},b_{2},c_{2}$是常数)的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_{1}+a_{2}= 0,b_{1}= b_{2},c_{1}+c_{2}= 0$,那么这两个方程互为“对称方程”. 例如：求方程$2x^{2}-3x + 1 = 0$的“对称方程”. 这样思考：由方程$2x^{2}-3x + 1 = 0$可知,$a_{1}= 2,b_{1}= -3,c_{1}= 1$,根据$a_{1}+a_{2}= 0,b_{1}= b_{2},c_{1}+c_{2}= 0$,求出$a_{2},b_{2},c_{2}$的值就能确定这个方程的“对称方程”.
(1) 方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的“对称方程”是______$-x^{2}-4x - 3 = 0$；
(2) 若关于$x的方程5x^{2}+(m - 1)x - n = 0与-5x^{2}-x = 1$互为“对称方程”,求$(m + n)^{2}$的值.1

答案：
(1) 对于方程$x^{2}-4x + 3 = 0$，$a_{1}=1$，$b_{1}=-4$，$c_{1}=3$。
由“对称方程”定义：$a_{1}+a_{2}=0$，得$a_{2}=-1$；$b_{1}=b_{2}$，得$b_{2}=-4$；$c_{1}+c_{2}=0$，得$c_{2}=-3$。
所以“对称方程”是$-x^{2}-4x - 3 = 0$。
(2) 方程$-5x^{2}-x = 1$整理为$-5x^{2}-x - 1 = 0$，则$a_{2}=-5$，$b_{2}=-1$，$c_{2}=-1$。
已知方程$5x^{2}+(m - 1)x - n = 0$与它互为“对称方程”，$a_{1}=5$，$b_{1}=m - 1$，$c_{1}=-n$。
由定义：$a_{1}+a_{2}=0$（$5 + (-5)=0$成立）；$b_{1}=b_{2}$，即$m - 1=-1$，解得$m=0$；$c_{1}+c_{2}=0$，即$-n + (-1)=0$，解得$n=-1$。
所以$(m + n)^{2}=(0 + (-1))^{2}=1$。
答案：
(1)$-x^{2}-4x - 3 = 0$；
(2)$1$