《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材P33探究变式)关于抛物线$y = 2(x + 3)^2$,下列说法正确的是 (B)
A.开口向下
B.对称轴是直线$x = - 3$
C.顶点坐标是$(0,0)$
D.当$x ＞ - 3$时,$y随x$的增大而减小

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y = a(x - h)^{2}$的图象和性质。
对于选项A，由于二次函数$y = 2(x + 3)^{2}$的系数$a = 2 ＞ 0$，根据二次函数的性质，当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上。所以选项A错误。
对于选项B，二次函数$y = a(x - h)^{2}$的对称轴是直线$x = h$。在本题中，$h = -3$，所以对称轴是直线$x = -3$。因此，选项B正确。
对于选项C，二次函数$y = a(x - h)^{2}$的顶点坐标是$(h, 0)$。在本题中，$h = -3$，所以顶点坐标是$(-3, 0)$，而不是$(0, 0)$。因此，选项C错误。
对于选项D，由于抛物线开口向上，且对称轴是$x = -3$，当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而增大，而不是减小。所以选项D错误。
综上所述，只有选项B是正确的。
【答案】：
B

2. 在平面直角坐标系中,二次函数$y = a(x - 2)^2(a \neq 0)$的图象可能是 (D)

答案： 解：二次函数$y=a(x-2)^2(a\neq0)$的顶点坐标为$(2,0)$，对称轴为直线$x=2$。
选项A、B、C的抛物线顶点均不在$(2,0)$，选项D的抛物线顶点在$(2,0)$，且对称轴为直线$x=2$。
答案：D

3. (2024·海安期中)已知某二次函数,当$x ＜ 1$时,$y随x$的增大而减小；当$x ＞ 1$时,$y随x$的增大而增大. 该二次函数的解析式可以为 (B)
A.$y = 2(x + 1)^2$
B.$y = 2(x - 1)^2$
C.$y = - 2(x + 1)^2$
D.$y = - 2(x - 1)^2$

答案： 【解析】：
首先，根据二次函数的性质，我们知道二次函数$y = a(x - h)^2$的对称轴是$x = h$。
对于选项A，$y = 2(x + 1)^2$，其对称轴为$x = -1$，且由于$a = 2 ＞ 0$，函数开口向上。这意味着当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而增大。这与题目要求不符。
对于选项B，$y = 2(x - 1)^2$，其对称轴为$x = 1$，且由于$a = 2 ＞ 0$，函数开口向上。这意味着当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而增大。这符合题目要求。
对于选项C，$y = -2(x + 1)^2$，其对称轴为$x = -1$，且由于$a = -2 ＜ 0$，函数开口向下。这意味着当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而减小。这与题目要求不符。
对于选项D，$y = -2(x - 1)^2$，其对称轴为$x = 1$，且由于$a = -2 ＜ 0$，函数开口向下。这意味着当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而减小。这与题目要求不符。
综上所述，只有选项B符合题目要求。
【答案】：
B

4. 已知$A(- 2,y_1)$,$B(1,y_2)$,$C(2,y_3)是抛物线y = - (x + 1)^2$上的三点,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系是 (A)
A.$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
C.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
D.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$

答案： 【解析】：
本题考察的是二次函数$y = a(x - h)^2$的图象和性质。
首先，给定的抛物线方程是$y = -(x + 1)^2$，可以看作是$y = ax^2$形式的变形，其中$a = -1$，$h = -1$。
由于$a = -1 ＜ 0$，所以抛物线开口向下。
对于开口向下的抛物线，其顶点为$(h, 0)$，即$(-1, 0)$，也是抛物线的最高点。
接下来，分析$A, B, C$三点的$x$坐标与对称轴$x = -1$的距离：
点$A(-2, y_1)$的$x$坐标与对称轴的距离为$|-2 - (-1)| = 1$，
点$B(1, y_2)$的$x$坐标与对称轴的距离为$|1 - (-1)| = 2$，
点$C(2, y_3)$的$x$坐标与对称轴的距离为$|2 - (-1)| = 3$。
由于抛物线开口向下，距离对称轴越近的点，其$y$值越大。
因此，可以得出$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。
【答案】：
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。

5. (2023·海安期末)将抛物线$y = \frac{1}{2}x^2$向左平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式为$y = \frac{1}{2}(x + 1)^{2}$.

答案： 【解析】：
题目要求将给定的抛物线$y = \frac{1}{2}x^2$向左平移1个单位长度。
根据二次函数平移的性质，向左平移1个单位长度相当于将$x$替换为$x+1$。
因此，原函数$y = \frac{1}{2}x^2$变为$y = \frac{1}{2}(x+1)^2$。
【答案】：
$y = \frac{1}{2}(x + 1)^{2}$

6. 顶点坐标为$(6,0)$、开口向下、开口大小与函数$y = \frac{1}{3}x^2$的图象相同的抛物线所对应的函数解析式为$y = - \frac{1}{3}(x - 6)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查二次函数的顶点式$y=a(x-h)²+k$。
要求出抛物线的函数解析式，首先需要知道二次函数的一般顶点式为$y = a(x - h)^{2} + k$，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标。
根据题目，顶点坐标为(6,0)，所以h = 6，k = 0。
又因为抛物线开口向下，且开口大小与函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图象相同，所以a的值应该与$y = \frac{1}{3}x^{2}$中的a值相同但符号相反。在$y = \frac{1}{3}x^{2}$中，a = $\frac{1}{3}$，所以所求抛物线的a值应为-$\frac{1}{3}$。
代入顶点式的公式，得到抛物线的函数解析式为：$y = - \frac{1}{3}(x - 6)^{2}$。
【答案】：
$y = - \frac{1}{3}(x - 6)^{2}$

7. (教材P35练习变式)已知函数$y = \frac{1}{3}x^2$,$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2和y = \frac{1}{3}(x - 3)^2$.
(1) 在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2) 分别写出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案：
【解析】：
本题主要考查二次函数$y=a(x-h)^2$的图象和性质，包括开口方向、对称轴和顶点坐标的确定。
对于函数$y = \frac{1}{3}x^2$，它是一个标准的二次函数形式，其中$a=\frac{1}{3}$，$h=0$。
开口方向：由于$a＞0$，所以开口方向是向上。
对称轴：对于函数$y=a(x-h)^2$，对称轴是$x=h$，所以对称轴是$x=0$。
顶点坐标：顶点坐标为$(h, 0)$，所以顶点坐标是$(0, 0)$。
对于函数$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2$，它可以看作是函数$y = \frac{1}{3}x^2$向左平移3个单位得到的。
开口方向：由于$a＞0$，所以开口方向是向上。
对称轴：对称轴是$x=-3$。
顶点坐标：顶点坐标是$(-3, 0)$。
对于函数$y = \frac{1}{3}(x - 3)^2$，它可以看作是函数$y = \frac{1}{3}x^2$向右平移3个单位得到的。
开口方向：由于$a＞0$，所以开口方向是向上。
对称轴：对称轴是$x=3$。
顶点坐标：顶点坐标是$(3, 0)$。
由于题目要求画出函数图象，这部分需要手动在平面直角坐标系中绘制，但在这里我们可以通过描述来理解：三个函数图象都是开口向上的抛物线，只是位置不同，分别位于原点、向左平移3个单位和向右平移3个单位的位置。
【答案】：
(1)
(2)
函数$y = \frac{1}{3}x^2$的图象开口方向向上，对称轴是$x=0$，顶点坐标是$(0, 0)$；
函数$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2$的图象开口方向向上，对称轴是$x=-3$，顶点坐标是$(-3, 0)$；
函数$y = \frac{1}{3}(x - 3)^2$的图象开口方向向上，对称轴是$x=3$，顶点坐标是$(3, 0)$。