《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材P22习题21.3第6题变式)一次围棋比赛,要求参赛的每两名棋手之间都要比赛一场,根据赛程计划共安排45场比赛.设本次比赛共有x名参赛棋手,则可列方程为 (A)
A.$\frac{1}{2}x(x - 1) = 45$
B.$\frac{1}{2}x(x + 1) = 45$
C.$x(x - 1) = 45$
D.$x(x + 1) = 45$

答案： 解：因为每两名棋手之间都要比赛一场，所以每名棋手要和其他$(x - 1)$名棋手比赛，$x$名棋手共比赛$x(x - 1)$场，但每一场比赛被重复计算了两次，所以实际比赛场数为$\frac{1}{2}x(x - 1)$。已知共安排45场比赛，所以可列方程为$\frac{1}{2}x(x - 1) = 45$。
A

2. 九年级(1)班学生毕业时,每名学生都要给其他学生写一份毕业留言作为纪念,全班学生共写了812份留言.设全班有x名学生,根据题意,可列方程为 (C)
A.$\frac{x(x - 1)}{2} = 812$
B.$\frac{x(x + 1)}{2} = 812$
C.$x(x - 1) = 812$
D.$x(x + 1) = 812$

答案： 【解析】：
本题主要考查的是一元二次方程的应用，特别是在传播与握手等问题中的实际应用。
设全班有$x$名学生，由于每名学生都要给其他学生写一份毕业留言作为纪念，所以每名学生需要写$x-1$份留言（因为不需要给自己写）。
因此，全班学生共写的留言总数为$x(x-1)$。
根据题意，这个总数应该等于812，所以我们有方程：
$x(x-1) = 812$
对比选项，我们发现这与选项C一致。
【答案】：
C

3. (教材P19探究1变式)(2024·海门期末)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑,根据题意,可列方程为 (C)
A.$1 + 2x = 100$
B.$x(1 + x) = 100$
C.$(1 + x)^2 = 100$
D.$1 + x + x^2 = 100$

答案： 【解析】：
本题主要考查传播问题，特别是病毒在电脑之间的传播。
设每轮感染中，平均每一台电脑会感染$x$台其他电脑。
1. 第一轮感染：
初始有1台电脑被感染。
这台电脑在第一轮感染中，会感染$x$台其他电脑。
因此，第一轮感染结束后，总共有$1 + x$台电脑被感染。
2. 第二轮感染：
这$1 + x$台电脑，每台都会感染$x$台其他电脑。
因此，第二轮感染的新增被感染电脑数为$(1 + x) × x$。
第二轮感染结束后，总共被感染的电脑数为$1 + x + (1 + x) × x$。
根据题意，两轮感染后总共有100台电脑被感染，即：
$1 + x + (1 + x) × x = 100$，
化简得：
$(1 + x)^2 = 100$，
这与选项C相符。
【答案】：
C

4. (新视角·过程性学习)一名同学经过培训后会做某项实验,回到班级后第一节课他教会了若干名同学,第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学,这样全班共有36名同学会做这项实验.若设一名同学每次能教会x名同学,则可列方程为 (B)
A.$x + (x + 1)x = 36$
B.$(x + 1)^2 = 36$
C.$1 + x + x^2 = 36$
D.$x + (x + 1)^2 = 36$

答案： 【解析】：
首先，我们考虑实验的传播过程：
1. 初始时，有1名同学会做实验。
2. 第一节课结束后，这名同学教会了$x$名同学，所以第一节课结束后，共有$1+x$名同学会做实验。
3. 第二节课结束后，这$1+x$名同学每人又教会了$x$名同学。
所以第二节课新增的会做实验的同学数量是$(1+x) × x$。
加上第一节课结束时就会的$1+x$名同学，第二节课结束后，共有$(1+x) + (1+x) × x$名同学会做实验。
根据题意，这个总数应该等于36。
所以我们可以列出方程：
$(1+x) + (1+x) × x = 36$，
进一步整理，得到：
$(1+x)(1+x) = 36$，
即$(x + 1)^{2} = 36$。
从选项中，我们可以看到这与选项B相匹配。
【答案】：B。

5. 一个群里每人都分别给其他人发了一条消息,这样一共发了132条消息.设这个群里有x人,则可列方程为$x(x - 1) = 132$.

答案： 【解析】：
这个问题是一个典型的传播与握手问题，考察的是如何通过给定的消息数量来推算出群里的人数。
设这个群里有$x$人，每个人都需要给其他$x-1$人发送一条消息。
因此，群里总共发送的消息数就是每人发送的消息数乘以人数，即$x(x-1)$。
根据题目，这个总消息数是132，所以我们可以列出方程：
$x(x - 1) = 132$。
【答案】：
$x(x - 1) = 132$。

6. (教材P21习题21.3第2题变式)若两个连续整数的积为42,则这两个数的和是13或-13.

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的求解及连续整数的性质。
设两个连续整数为$x$和$x+1$。
根据题意，有方程：
$x(x + 1) = 42$，
展开得：
$x^2 + x - 42 = 0$，
因式分解该方程，得到：
$(x - 6)(x + 7) = 0$，
由此，解得两个$x_1 = 6$，$x_2 = -7$。
当$x = 6$时，另一个整数为$x + 1 = 7$，两数之和为$6 + 7 = 13$；
当$x = -7$时，另一个整数为$x + 1 = -6$，两数之和为$-7 + (-6) = -13$。
【答案】：
$13$或$-13$。

7. 某生物实验室需培养一群有益菌,现有90个活体样本,经过两轮培养后,活体样本总和达36 000个,其中每个有益菌每轮可分裂出若干个有益菌.
(1) 在每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
(2) 按照这样的分裂速度,经过三轮培养后共有多少个有益菌?

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。
首先，我们设每轮分裂中，每个有益菌可以分裂出$x$个新的有益菌。
那么，在第一轮培养后，90个有益菌会分裂成$90x$个有益菌（原来的90个加上新分裂的$90(x-1)$个，但总数我们简化为$90x$，因为$90(x-1)$表示的是新增的菌数）。
但考虑到实际计数时，我们是从原始的90个开始加，所以第一轮后的总数应为$90(x+1)$中的$x+1$表示每个菌都保留并分裂出$x$个新菌，但此处我们为了与题目中的“每轮分裂出若干个”相符，采用$90x$表示第一轮结束时的总菌数（包含原始的90个），而在建立方程时考虑的是新增和原有的关系。
到了第二轮，这$90x$个有益菌每个都会再次分裂出$x$个，所以第二轮结束时的总数为$90x × x = 90x^{2}$，但同样地，我们需要考虑原始的$90x$个菌，所以实际的增长是基于每一轮结束时的总数进行的。但在这个特定问题中，由于我们是从90个开始，并且关注的是两轮后的总数，所以可以直接表示为：第一轮后$90x$，第二轮后$90x \cdot x = 90x^{2}$（但这里的$90x^{2}$是两轮分裂后的总数，已经隐含了原始的90个和两轮分裂的所有新菌）。不过，为了与题目描述相符，我们建立方程时，考虑两轮后的总数是原始数量经过两次分裂得到的，即$90(1 + x)^{2}$。
根据题意，两轮培养后总数为36000，所以我们有方程：
$90(1 + x)^{2} = 36000$
展开并整理得：
$(1+x)^{2} = 400$
进一步解得：
$x_{1} = 19, \quad x_{2} = -21$
由于细菌数量不能为负，所以$x_{2} = -21$是不合逻辑的，我们舍去这个解。
所以，每轮分裂中，每个有益菌可以分裂出19个新的有益菌（包括它自身在内，但在此问题中，我们更关心新增的数量，即19-1=18个新菌，但题目问的是总数，所以答案是19，因为每个菌都保留并产生了19个（包括自身）在下一轮中）。但按照题目的直接询问，我们回答分裂出的总数（包括原始菌），即19。
接下来，我们计算三轮培养后的总数：
第三轮培养后的总数为第二轮结束时的总数乘以每个菌分裂出的新菌数（包括原始菌），即：
$36000 × (1 + 19) = 720000$（个），
但同样地，这里的20（$1+19$）表示的是每个菌都保留并产生了19个新菌（共20个），所以总数就是$36000 × 20 ÷ (用于说明的，实际不写入答案) = 720000$（因为每个菌都变成了20个）。
【答案】：
(1) 每轮分裂中，平均每个有益菌可以分裂出19个新的有益菌（包括自身）；
(2) 经过三轮培养后，总共有720000个有益菌。