《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程的根为 $ x_{1}= -5,x_{2}= 7 $,则该方程可以为(A)
A.$ (x + 5)(x - 7)= 0 $
B.$ (x - 5)(x + 7)= 0 $
C.$ (x + 5)(x + 7)= 0 $
D.$ (x - 5)(x - 7)= 0 $

答案： 【解析】：
题目考察了一元二次方程的因式分解法。
已知方程的两个根为$x_1 = -5$和$x_2 = 7$，根据因式分解法的原理，一个一元二次方程的根与其对应因式的关系是：如果$x=a$是方程的根，则$(x-a)$是方程的一个因式。
因此，对于根$x_1 = -5$，对应的因式是$(x+5)$；对于根$x_2 = 7$，对应的因式是$(x-7)$。
所以，该一元二次方程可以表示为这两个因式的乘积，即$(x+5)(x-7)=0$。
对比选项，发现只有选项A符合这一形式。
【答案】：
A. $(x + 5)(x - 7)= 0$

2. (2024·贵州)一元二次方程 $ x^{2}-2x = 0 $ 的解是(B)
A.$ x_{1}= 3,x_{2}= 1 $
B.$ x_{1}= 2,x_{2}= 0 $
C.$ x_{1}= 3,x_{2}= -2 $
D.$ x_{1}= -2,x_{2}= -1 $

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的解法，特别是因式分解法的应用。
首先，我们将原方程$x^{2} - 2x = 0$进行因式分解，
提取公因式$x$，得到$x(x - 2) = 0$，
由此，可以得到两个一元一次方程：
$x = 0$，
$x - 2 = 0$，
解这两个一元一次方程，我们得到：
$x_{1} = 0$，
$x_{2} = 2$，
所以，原一元二次方程的解为$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$。
【答案】：B

3. (教材 P14 练习第 1 题变式)一元二次方程 $ x^{2}+4x + 3 = 0 $ 的根为(D)
A.$ x_{1}= 1,x_{2}= 3 $
B.$ x_{1}= -1,x_{2}= 3 $
C.$ x_{1}= 1,x_{2}= -3 $
D.$ x_{1}= -1,x_{2}= -3 $

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的解法，特别是因式分解法。
首先，我们需要将方程 $x^{2} + 4x + 3 = 0$ 进行因式分解。
考虑二次项和一次项的系数，寻找两个数，它们的和为4，乘积为3。这两个数分别是1和3。
因此，方程可以分解为：
$(x + 1)(x + 3) = 0$
接下来，我们解这个方程。
根据“零因子定理”，如果两个数的乘积为0，那么至少有一个数为0。
所以，我们有：
$x + 1 = 0 \quad \text{或} \quad x + 3 = 0$
解得：
$x_{1} = -1, \quad x_{2} = -3$
【答案】：
D. $x_{1} = -1, x_{2} = -3$

4. 一元二次方程 $ x(x - 3)+x - 3 = 0 $ 的根为(C)
A.$ x_{1}= x_{2}= -1 $
B.$ x_{1}= x_{2}= 1 $
C.$ x_{1}= 3,x_{2}= -1 $
D.$ x_{1}= 3,x_{2}= 1 $

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的解法，特别是通过因式分解法来求解。
首先，我们将原方程 $x(x - 3) + x - 3 = 0$ 进行因式分解。
观察方程，发现 $x - 3$ 是一个公因式，提取出来后得到：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
接下来，我们解这个因式分解后的方程。
根据“两数相乘积为0，则两因式至少有一个为0”的原则，我们得到两个方程：
$x - 3 = 0 \quad \text{或} \quad x + 1 = 0$
解这两个方程，我们得到：
$x_1 = 3, \quad x_2 = -1$
【答案】：
C. $x_1 = 3, x_2 = -1$

5. 方程 $ 9(x + 1)^{2}-4(x - 1)^{2}= 0 $ 的正确解法是(C)
A.根据平方根的意义,得 $ 3(x + 1)= 2(x - 1) $
B.化为一般形式,得 $ 13x^{2}+5 = 0 $
C.因式分解,得 $ [3(x + 1)+2(x - 1)][3(x + 1)-2(x - 1)]= 0 $
D.直接得 $ x + 1 = 0 $ 或 $ x - 1 = 0 $

答案： 【解析】：
首先，我们观察方程$9(x + 1)^{2} - 4(x - 1)^{2} = 0$，这是一个平方差的形式，可以考虑使用平方差公式进行因式分解。
平方差公式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
将原方程重写为$[3(x + 1)]^{2} - [2(x - 1)]^{2} = 0$，此时可以看出$a = 3(x + 1)$，$b = 2(x - 1)$。
应用平方差公式，得到$[3(x + 1) + 2(x - 1)][3(x + 1) - 2(x - 1)] = 0$。
这就是选项C所给出的因式分解结果。
接下来，我们可以分别解这两个因式等于0的方程，得到方程的解。
但题目只要求我们判断正确的解法，所以不需要进一步求解。
对比选项，可以看出选项C是正确的解法。
选项A错误，因为它没有正确地应用平方根的意义；
选项B错误，因为它没有将方程化为一般形式；
选项D错误，因为它没有正确地识别出方程的因式分解形式。
【答案】：
C

6. (教材 P14 例 3 变式)一元二次方程 $ (x + 3)^{2}-(x + 3)= 0 $ 的根为$x_1 = -3$，$x_2 = -2$.

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的求解，具体是通过因式分解法来求解。
首先，我们将原方程 $(x + 3)^{2}-(x + 3)= 0$ 进行因式分解。
提取公因式 $(x + 3)$，得到：
$(x + 3)[(x + 3) - 1] = 0$
即：
$(x + 3)(x + 2) = 0$
由此，我们可以得到两个方程：
$x + 3 = 0$
$x + 2 = 0$
分别解这两个方程，得到：
$x_1 = -3$
$x_2 = -2$
【答案】：
$x_1 = -3$，$x_2 = -2$

7. 一元二次方程 $ 2x(x + 1)= 3(x + 1) $ 的根是$x_1 = - 1$，$x_2 = \frac{3}{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的解法，特别是因式分解法的应用。
首先，将原方程 $2x(x + 1) = 3(x + 1)$ 展开，得到 $2x^2 + 2x = 3x + 3$。
然后，将所有项移到方程的一侧，得到 $2x^2 + 2x - 3x - 3 = 0$。
接着，进行因式分解，得到 $(x + 1)(2x - 3) = 0$。
由此，可以解出 $x + 1 = 0$ 或 $2x - 3 = 0$。
解得 $x_1 = -1$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
【答案】：
$x_1 = - 1$，$x_2 = \frac{3}{2}$。

8. 解下列方程：
(1) (2024·海安期末)$ x^{2}-2x = 24 $； (2) (2024·海门期末)$ x(2x - 5)= 4x - 10 $；
(3) (2024·启东期末)$ (2x - 1)^{2}= 3(2x - 1) $； (4)$ (2x + 3)^{2}= 4(2x + 1)+8 $.

答案： 【解析】：
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识点。
对于每个方程，首先将其转化为等于0的形式，然后通过因式分解法将其分解为两个一次方程的乘积，最后解这两个一次方程得到原方程的解。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $x^{2} - 2x = 24$，
移项得 $x^{2} - 2x - 24 = 0$，
因式分解得 $(x - 6)(x + 4) = 0$，
解得 $x_{1} = 6$，$x_{2} = -4$。
(2) 解：
原方程为 $x(2x - 5) = 4x - 10$，
整理得 $x(2x - 5) - 2(2x - 5) = 0$，
因式分解得 $(2x - 5)(x - 2) = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{5}{2}$，$x_{2} = 2$。
(3) 解：
原方程为 $(2x - 1)^{2} = 3(2x - 1)$，
移项得 $(2x - 1)^{2} - 3(2x - 1) = 0$，
因式分解得 $(2x - 1)(2x - 4) = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{1}{2}$，$x_{2} = 2$。
(4) 解：
原方程为 $(2x + 3)^{2} = 4(2x + 1) + 8$，
整理得 $(2x + 3)^{2} - 4(2x + 1) - 8 = 0$，
进一步整理得 $(2x + 3)^{2} - 4(2x + 3) + 4 - 4 = 8 - 4$，
即 $(2x + 3 - 2)^{2} = 4$，
化简得 $(2x + 1)^{2} = 4$，
开方得 $2x + 1 = \pm 2$，
解得 $x_{1} = \frac{1}{2}$，$x_{2} = -\frac{3}{2}$。

9. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 $ x^{2}-10x + 21 = 0 $ 的两个根,则这个等腰三角形的周长为(C)
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13

答案： 【解析】：
本题主要考察因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质。
首先，我们需要解方程$x^{2} - 10x + 21 = 0$。
这是一个一元二次方程，可以通过因式分解法来解。
因式分解得：$(x - 3)(x - 7) = 0$，
由此得到两个解：$x_1 = 3$ 和 $x_2 = 7$。
接下来，我们需要考虑这两个解作为等腰三角形的两边长的情况。
当腰长为$3$，底边长为$7$时，我们需要验证这三条边能否构成一个三角形。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，但在这里$3 + 3 ＜ 7$，所以这三条边不能构成三角形。
当腰长为$7$，底边长为$3$时，同样验证三边关系。
这里$7 + 7 ＞ 3$ 且 $7 + 3 ＞ 7$ 且 $3 + 7 ＞ 7$，满足三角形的三边关系。
因此，这三条边能构成一个等腰三角形，其周长为$7 + 7 + 3 = 17$。
当三边长分别为$3,3,3$时，可以构成等边三角形，同时满足等腰三角形的性质（至少有两边相等），此时周长为$3+3+3=9$，但此情况并不在选项中，因此只需考虑前一种等腰三角形的情况。
当三边长分别为$7,7,7$时，同样可以构成等边三角形，同时满足等腰三角形的定义，但题目要求的是等腰三角形且给出的选项中只有周长为17的情况，由于我们已经找到了一个满足条件的等腰三角形（周长为17），且题目为单选题，因此这种情况虽然存在，但不是本题的答案。
综上所述，答案选C。
【答案】：
C

10. 若某三角形的两边长分别为方程 $ x(x - 9)+4(9 - x)= 0 $ 的两个实数根,则这个三角形的第三条边的长 $ a $ 的取值范围是$5 \lt a \lt 13$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的因式分解法及三角形三边关系的知识点。
首先，我们需要解方程$x(x - 9) + 4(9 - x) = 0$以找出三角形的两边长。
观察方程，发现可以通过因式分解法将其简化为两个一次方程的乘积等于0的形式，从而方便求解。
接下来，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）来确定第三边的取值范围。
解方程$x(x - 9) + 4(9 - x) = 0$。
对方程进行因式分解，得到$(x - 9)(x - 4) = 0$。
解得$x_1 = 9, x_2 = 4$。
这两个解即为三角形的两边长。
根据三角形三边关系，第三边的长度$a$应满足：
$9 - 4 \lt a \lt 9 + 4$
即：
$5 \lt a \lt 13$
【答案】：
$5 \lt a \lt 13$