《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·云南)如图,CD是$\odot O$的直径,点A,B在$\odot O$上.若$\widehat {AC}= \widehat {BC},∠AOC= 36^{\circ }$,则$∠D$的度数为 (B)

A.$9^{\circ }$
B.$18^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

答案： 【解析】：根据题目条件，已知$\widehat {AC} = \widehat {BC}$，以及$\angle AOC = 36^\circ$。
由于$\widehat {AC} = \widehat {BC}$，根据圆的性质，我们知道$\angle BOC = \angle AOC = 36^\circ$。
因为$CD$是直径，所以$\angle BOD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$（这是圆心角）。
我们需要求的是$\angle D$，根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半，即$\angle D = \frac{1}{2} × \angle BOC=\frac{1}{2} × 36^\circ = 18^\circ$。
【答案】：B. $18^\circ$。

2. (2024·临夏)如图,AB是$\odot O$的直径,$∠E= 35^{\circ }$,则$∠BOD$的度数为 (D)

A.$80^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$110^{\circ }$

答案： 【解析】：根据题意，$AB$是$\odot O$的直径，且$\angle E=35^\circ$。
利用圆周角定理，我们知道在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，
即$\angle DOA=2\angle E=2×35^\circ=70^\circ$，
由于$AB$是直径，$\angle DOB$和$\angle DOA$是补角关系，
所以$\angle DOB=180^\circ-\angle DOA=180^\circ-70^\circ=110^\circ$。
【答案】：D.$110^\circ$。

3. 如图,两条平行线与量角器外圈的交点分别为A,D,B,C,连接AC.若A,B两点分别在量角器外圈的$60^{\circ }与30^{\circ }$的刻度处,则$∠ACB$的度数为 (D)
A.$30^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$20^{\circ }$
D.$15^{\circ }$

答案： 解：设量角器中心为O，连接OA，OB。
∵A在60°刻度处，B在30°刻度处，
∴∠AOB=60°-30°=30°。
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD。
∵∠CAD是圆周角，∠AOB是圆心角，且它们所对弧均为弧AB，
∴∠CAD=1/2∠AOB=15°。
∴∠ACB=15°。
答案：D

4. (2024·泰安)如图,AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的两点,BA平分$∠CBD$.若$∠AOD= 50^{\circ }$,则$∠A$的度数为 (A)

A.$65^{\circ }$
B.$55^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$75^{\circ }$

答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理及其推论，结合角平分线的性质来求解$\angle A$的度数。
步骤一：根据圆周角定理及其推论找出与$\angle AOD$相关的角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍。
因为$\angle AOD$是圆心角，$\angle ABD$是圆周角，且它们都对着弧$\overset{\frown}{AD}$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOD$。
已知$\angle AOD = 50^{\circ}$，则$\angle ABD=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$。
步骤二：根据角平分线的性质求出$\angle ABC$的度数
因为$BA$平分$\angle CBD$，根据角平分线的定义，可知$\angle ABC = \angle ABD$。
由步骤一可知$\angle ABD = 25^{\circ}$，所以$\angle ABC = 25^{\circ}$。
步骤三：根据直径所对的圆周角是直角求出$\angle C$的度数
因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$\angle C = 90^{\circ}$。
步骤四：在$\triangle ABC$中求出$\angle A$的度数
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$。
将$\angle ABC = 25^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$代入上式可得：
$\angle A = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle C = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 90^{\circ} = 65^{\circ}$。
【答案】：A

5. (2024·常州)如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,连接AD,BC,BD.若$∠BCD= 20^{\circ }$,则$∠ABD= $70$^{\circ }$.

答案： 【解析】：本题主要考查圆周角定理及其推论。
根据圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。
因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$\angle ADB = 90^{\circ}$ （直径所对的圆周角是直角）。
由于同弧所对的圆周角相等，$\angle A$和$\angle BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
已知$\angle BCD = 20^{\circ}$，
所以$\angle A=\angle BCD = 20^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
已知$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle A = 20^{\circ}$，
则$\angle ABD=180^{\circ}-\angle ADB - \angle A=180^{\circ}-90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
【答案】：$70$。

6. (教材P89习题24.1第6题变式)一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的玻璃镜面,工人师傅用直角尺进行如图所示的测量,测得$AB= 12cm,BC= 5cm$,则圆形玻璃镜面的半径为6.5cm.

答案： 【解析】：
根据题意，四边形$ABDC$为圆内接四边形，其中弦$AB$和$BC$所对的圆周角均为$90^\circ$。
利用圆周角定理的推论：弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，且等于这条弦所对弧的度数的一半，可知，$AC$为圆的直径。
在直角$\triangle ABC$中，根据勾股定理，有：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{(cm)}$。
因此，圆形玻璃镜面的半径为直径的一半，即：
$R=\frac{AC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{(cm)}$。
【答案】：
$6.5$。

7. (教材P87例4变式)如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ACB= 90^{\circ },∠ACB的平分线交\odot O$于点D,连接AB,BD.若$AC= 6,BD= 5\sqrt {2}$,求BC的长.

答案： 证明：
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径（圆周角定理的推论）。
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°。
∵∠ABD=∠ACD=45°（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABD是等腰直角三角形。
∵BD=5√2，
∴AB=BD×√2=5√2×√2=10（等腰直角三角形斜边是直角边的√2倍）。
在Rt△ACB中，AC=6，AB=10，
∴BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8。
答：BC的长为8。