《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\odot O$中,$C是\overgroup{AB}$的中点,$\angle AOC = 45^{\circ}$,则$\angle AOB$的度数为(D)

A.$45^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 【解析】：本题可根据圆心角、弧、弦的关系定理以及已知条件来求解$\angle AOB$的度数。
已知$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
因为$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，那么$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{CB}$所对的圆心角也相等，即$\angle AOC = \angle BOC$。
已知$\angle AOC = 45^{\circ}$，所以$\angle BOC = 45^{\circ}$。
根据角的和的关系，$\angle AOB=\angle AOC + \angle BOC$，将$\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle BOC = 45^{\circ}$代入可得：$\angle AOB = 45^{\circ}+ 45^{\circ}= 90^{\circ}$。
【答案】：D

2. 如图,在$\odot O$中,$BC$是直径,$AB = DC$,则下列结论不一定成立的是(A)

A.$OA = OB = AB$
B.$\angle AOB = \angle COD$
C.$\overgroup{AB} = \overgroup{DC}$
D.点$O到直线AB$,$CD$的距离相等

答案： 解：
∵在$\odot O$中，$AB=DC$，
∴由弧、弦、圆心角关系定理得：$\overgroup{AB}=\overgroup{DC}$，$\angle AOB=\angle COD$，故B、C成立；
∵$\angle AOB=\angle COD$，$OA=OB=OC=OD$（半径），
∴$\triangle AOB≌\triangle COD(SAS)$，
∴点$O$到$AB$、$CD$的距离相等（全等三角形对应边上的高相等），故D成立；
$OA=OB=AB$需$\triangle AOB$为等边三角形，即$\angle AOB=60^\circ$，题中未给出此条件，故A不一定成立。
答案：A

3. (2023·海门期中)如图,$AB是\odot O$的直径,$\overgroup{AD} = \overgroup{CD}$,$\angle COB = 40^{\circ}$,则$\angle A$的度数为(B)

A.$50^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$65^{\circ}$

答案： 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵∠COB=40°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠COB=180° - 40°=140°，
∵$\overgroup{AD}=\overgroup{CD}$，
∴∠AOD=∠COD，
∵∠AOD + ∠COD=∠AOC=140°，
∴∠AOD=70°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠A + ∠ADO + ∠AOD=180°，
∴2∠A + 70°=180°，
∴∠A=55°。
答案：B

4. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C$,$D是\overgroup{BE}$的三等分点,$\angle AOE = 60^{\circ}$,则$\angle COE$的度数为______。

答案： 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵∠AOE=60°，
∴∠EOB=∠AOB - ∠AOE=180° - 60°=120°。
∵C，D是$\overgroup{BE}$的三等分点，
∴$\overgroup{EC}=\overgroup{CD}=\overgroup{DB}$。
∴∠EOC=∠COD=∠DOB。
∵∠EOB=∠EOC + ∠COD + ∠DOB=3∠EOC，
∴∠EOC=120°÷3=40°。
故答案为：40°。

5. 如图,$A$,$B$,$C$,$D是\odot O$上的点,$\angle 1 = \angle 2$,有下列结论：①$\overgroup{AB} = \overgroup{CD}$；②$\overgroup{BD} = \overgroup{AC}$；③$AC = BD$；④$\angle BOD = \angle AOC$。其中,正确的有___4___个。

3

答案： 1. 首先，根据圆心角、弧、弦的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
已知$\angle1 = \angle2$，则$\angle1+\angle BOC=\angle2+\angle BOC$。
即$\angle AOC=\angle BOD$，所以④正确。
2. 然后，根据圆心角、弧、弦的关系：
因为$\angle AOC$与$\overgroup{AC}$对应，$\angle BOD$与$\overgroup{BD}$对应，在$\odot O$中，由$\angle AOC = \angle BOD$，可得$\overgroup{BD}=\overgroup{AC}$，$AC = BD$，所以②③正确。
又因为$\angle1$与$\overgroup{CD}$对应，$\angle2$与$\overgroup{AB}$对应，且$\angle1=\angle2$，所以$\overgroup{AB}=\overgroup{CD}$，所以①正确。
故正确的有$4$个。

6. 如图,$A$,$B$,$M为\odot O$上三点,$OD \perp AM于点D$,$OE \perp BM于点E$。若$OD = OE$,求证：$\overgroup{AM} = \overgroup{BM}$。

答案： 【解析】：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。已知$OD \perp AM$于点$D$，$OE \perp BM$于点$E$，且$OD = OE$，要证明$\overgroup{AM} = \overgroup{BM}$，可以通过证明$\angle AOM=\angle BOM$，进而得出$\overgroup{AM} = \overgroup{BM}$。
【答案】：证明：
∵$OD \perp AM$，$OE \perp BM$，
∴$\angle ADO=\angle BEO = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADO$和$Rt\triangle BEO$中，
$\begin{cases}OA = OB\\OD = OE\end{cases}$（圆的半径相等，已知条件）
∴$Rt\triangle ADO\cong Rt\triangle BEO(HL)$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。
∴$\angle AOD=\angle BOE$（全等三角形的对应角相等）。
∴$\angle AOM=\angle BOM$（等式的性质）。
∴$\overgroup{AM} = \overgroup{BM}$（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。

7. (2023·如皋期末)计算机处理任务时,经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比。如图所示为同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图,当任务完成的百分比为$x$时,线段$MN的长度记为d(x)$。下列描述中,一定正确的是( )D

A.当$x_1 ＞ x_2$时,$d(x_1) ＞ d(x_2)$
B.当$d(x_1) ＞ d(x_2)$时,$x_1 ＞ x_2$
C.当$x_1 = 2x_2$时,$d(x_1) = 2d(x_2)$
D.当$x_1 + x_2 = 1$时,$d(x_1) = d(x_2)$

答案： 解：设圆的半径为$r$，任务完成百分比为$x$时，对应的圆心角为$\alpha = 360^\circ x$。
由弧、弦、圆心角关系及余弦定理，弦长$d(x)=2r\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2r\sin(180^\circ x)$。
选项A：当$x_1 = 75\%$，$x_2 = 50\%$时，$x_1＞x_2$，$d(x_1)=2r\sin135^\circ=\sqrt{2}r$，$d(x_2)=2r\sin90^\circ=2r$，$d(x_1)＜d(x_2)$，A错误。
选项B：当$d(x_1)=d(x_2)$时，$\sin(180^\circ x_1)=\sin(180^\circ x_2)$，可能$x_1 + x_2=1$（如$x_1=20\%$，$x_2=80\%$），此时$x_1＜x_2$，B错误。
选项C：当$x_2=20\%$，$x_1=40\%$时，$d(x_2)=2r\sin36^\circ$，$d(x_1)=2r\sin72^\circ$，$2d(x_2)=4r\sin36^\circ\approx2.35r$，$d(x_1)\approx1.9r$，$d(x_1)\neq2d(x_2)$，C错误。
选项D：当$x_1 + x_2=1$时，$d(x_1)=2r\sin(180^\circ x_1)$，$d(x_2)=2r\sin(180^\circ (1 - x_1))=2r\sin(180^\circ - 180^\circ x_1)=2r\sin(180^\circ x_1)=d(x_1)$，D正确。
答案：D