《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材P96练习变式)已知$\odot O$的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与$\odot O$的位置关系为 (B)
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题考察的是直线与圆的位置关系。直线与圆的位置关系可以通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r来判断。
如果$d ＜ r$，则直线与圆相交；
如果$d = r$，则直线与圆相切；
如果$d ＞ r$，则直线与圆相离。
根据题目，已知圆的半径$r = 5cm$，圆心到直线的距离$d = 5cm$。
由于$d = r$，所以直线与圆相切。
【答案】：
B.相切。

2. 若$\odot O的半径r= 6$,圆心O到直线l的距离为3,则下列图中的位置关系正确的是 (D)

答案： 【解析】：本题考查直线与圆的位置关系。
设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$。
当$d \gt r$时，直线与圆相离，即直线与圆没有交点；
当$d=r$时，直线与圆相切，即直线与圆恰有一个交点；
当$d \lt r$时，直线与圆相交，即直线与圆有两个交点。
题目中给出$\odot O$的半径$r = 6$，圆心$O$到直线$l$的距离$d = 3$。
因为$3 \lt 6$，即$d \lt r$，所以直线$l$与$\odot O$相交。
逐一分析选项：
选项A中，直线$l$与圆没有交点，是相离关系，不符合。
选项B中，直线$l$与圆恰有一个交点，是相切关系，不符合。
选项C中，直线$l$与圆没有交点，且圆心不在直线$l$上，是相离关系，不符合。
选项D中，直线$l$与圆有两个交点，是相交关系，符合。
【答案】：D。

3. 在平面直角坐标系中,点P的坐标是$(2,\sqrt {3}),\odot P$的半径为2,则下列说法正确的是 (B)
A.$\odot P$与x轴有一个公共点,与y轴有两个公共点
B.$\odot P$与x轴有两个公共点,与y轴有一个公共点
C.$\odot P$与x轴、y轴都有两个公共点
D.$\odot P$与x轴、y轴都没有公共点

答案： 解：点P到x轴的距离为$\sqrt{3}$，$\sqrt{3} ＜ 2$，故$\odot P$与x轴相交，有两个公共点；
点P到y轴的距离为2，$2 = 2$，故$\odot P$与y轴相切，有一个公共点。
答案：B

4. 已知$\odot O$的直径为13cm,圆心O到直线l的距离为d cm.
(1) 若直线l与$\odot O$相切,则$d=$______6.5;
(2) 若$d= 5$,则直线l与$\odot O$有______2个公共点;
(3) 若$d= 13$,则直线l与$\odot O$的位置关系是______相离.

答案： 【解析】：
本题考查了直线和圆的位置关系的知识点。
根据直线与圆的位置关系：
当直线与圆相切时，直线到圆心的距离等于圆的半径；
当直线与圆相交时，直线到圆心的距离小于圆的半径；
当直线与圆相离时，直线到圆心的距离大于圆的半径。
(1) 已知圆的直径为13cm，所以圆的半径为$\frac{13}{2}=6.5cm$。若直线l与圆$\odot O$相切，则圆心O到直线l的距离d应等于圆的半径，即$d=6.5cm$。
(2) 若$d=5cm$，由于$5cm＜6.5cm$，所以直线l与圆$\odot O$相交，即直线l与圆有两个公共点。
(3) 若$d=13cm$，由于$13cm＞6.5cm$，所以直线l与圆$\odot O$相离。
【答案】：
(1) $6.5$
(2) $2$
(3) 相离

5. (教材P101习题24.2第2题变式)已知$\odot O$的半径为6,$\odot O$的一条弦AB的长为6,则以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是______相离(填“相切”“相离”或“相交”).

答案： 1. 首先，过圆心$O$作$OC\perp AB$于点$C$：
根据垂径定理，$AC = \frac{1}{2}AB$（垂直于弦的直径平分弦）。
已知$AB = 6$，则$AC=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt\triangle AOC$中，$\odot O$的半径$OA = 6$，$AC = 3$。
根据勾股定理$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$（在直角三角形中，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$c = OA$，$a = AC$，$b = OC$）。
把$OA = 6$，$AC = 3$代入可得：$OC=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
2. 然后，判断直线$AB$与以$3$为半径的同心圆的位置关系：
设圆心$O$到直线$AB$的距离为$d$，这里$d = OC=3\sqrt{3}$，设小圆半径$r = 3$。
因为$3\sqrt{3}\approx3×1.732 = 5.196\gt3$（即$d\gt r$）。
根据直线与圆的位置关系：当$d\gt r$时，直线与圆相离（其中$d$为圆心到直线的距离，$r$为圆的半径）。所以以$3$为半径的同心圆与直线$AB$的位置关系是相离。
故答案为：相离。

6. 如图,$∠ACB= 30^{\circ }$,O是射线CB上一点,且$OC= 6$,则以4为半径的$\odot O$与直线CA的公共点的个数为______.

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答案： 【解析】：
本题主要考查直线与圆的位置关系，可通过比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小来判断直线和圆的位置关系，进而确定公共点的个数。
步骤一：求圆心$O$到直线$CA$的距离$d$。
已知$\angle ACB = 30^{\circ}$，$OC = 6$，过点$O$作$OD\perp AC$于点$D$，在直角三角形$OCD$中，$\angle ODC = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$OD=\frac{1}{2}OC$，将$OC = 6$代入，可得$OD = \frac{1}{2}×6 = 3$。
步骤二：比较$d$与圆半径$r$的大小。
已知圆$O$的半径$r = 4$，由步骤一可知圆心$O$到直线$CA$的距离$d = 3$。
因为$3\lt 4$，即$d\lt r$。
步骤三：根据直线与圆的位置关系确定公共点的个数。
当$d\lt r$时，直线和圆相交，相交时直线和圆有$2$个公共点。
所以以$4$为半径的$\odot O$与直线$CA$的公共点的个数为$2$。
【答案】：$2$

7. (易错题)如图,$Rt△ABC的斜边AB= 8cm,AC= 4cm$.
(1) 以点C为圆心作圆,当半径为多长时,直线AB与$\odot C$相切?
(2) 以点C为圆心,分别以2cm和4cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系?

答案： 【解析】：
本题可根据直线与圆的位置关系的判定方法，通过求出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，从而确定直线与圆的位置关系。
（1）要求出直线$AB$与$\odot C$相切时圆的半径，需要先求出圆心$C$到直线$AB$的距离，可利用三角形面积公式来求解。
（2）根据（1）中所求的圆心到直线的距离，分别与两个圆的半径比较大小，进而判断直线与圆的位置关系。
【答案】：
解：（1）在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}}$，已知$AB = 8cm$，$AC = 4cm$，则$BC = \sqrt{8^{2} - 4^{2}} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}cm$。
设点$C$到直线$AB$的距离为$d$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$，即$\frac{1}{2}× 4× 4\sqrt{3}=\frac{1}{2}× 8× d$，
解得$d = 2\sqrt{3}cm$。
当直线$AB$与$\odot C$相切时，圆心$C$到直线$AB$的距离等于圆的半径，所以半径为$2\sqrt{3}cm$。
（2）由（1）可知圆心$C$到直线$AB$的距离$d = 2\sqrt{3}cm$。
当半径$r_1 = 2cm$时，因为$2\sqrt{3}\approx 3.46cm\gt 2cm$，即$d\gt r_1$，所以直线$AB$与半径为$2cm$的圆相离。
当半径$r_2 = 4cm$时，因为$2\sqrt{3}\approx 3.46cm\lt 4cm$，即$d\lt r_2$，所以直线$AB$与半径为$4cm$的圆相交。
综上，答案为：（1）$2\sqrt{3}cm$；（2）直线$AB$与半径为$2cm$的圆相离，与半径为$4cm$的圆相交。