《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

7. (2023·海门期中)如图, 在 $ 6 × 4 $ 的方格纸中, 格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙, 则旋转中心是 (B)
A.点 $ M $
B.格点 $ N $
C.格点 $ P $
D.格点 $ Q $

答案： 解：连接三角形甲与三角形乙的对应顶点，作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心。通过作图可得，旋转中心是格点N。
答案：B

8. 如图, 点 $ A,B,C,D $ 的坐标分别为 $ (-3,3),(1,1),(3,1),(1,-3) $. 小明发现: 线段 $ AB $ 与线段 $ CD $ 存在一种特殊关系, 即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段, 则旋转中心的坐标是$(-1,-1)$或$(2,2)$.

答案： 1. 首先分情况讨论：
情况一：当$A$与$C$是对应点，$B$与$D$是对应点时：
设旋转中心$M(x,y)$，根据旋转的性质，旋转中心到对应点的距离相等，即$MA = MC$，$MB = MD$。
由两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$MA=\sqrt{(x + 3)^2+(y - 3)^2}$，$MC=\sqrt{(x - 3)^2+(y - 1)^2}$，$MB=\sqrt{(x - 1)^2+(y - 1)^2}$，$MD=\sqrt{(x - 1)^2+(y + 3)^2}$。
因为$MA = MC$，则$(x + 3)^2+(y - 3)^2=(x - 3)^2+(y - 1)^2$。
展开得$x^{2}+6x + 9+y^{2}-6y + 9=x^{2}-6x + 9+y^{2}-2y + 1$。
移项化简：$6x+9-6y + 9=-6x + 9-2y + 1$，$12x-4y=-8$，即$3x - y=-2$ ①。
因为$MB = MD$，则$(x - 1)^2+(y - 1)^2=(x - 1)^2+(y + 3)^2$。
展开得$x^{2}-2x + 1+y^{2}-2y + 1=x^{2}-2x + 1+y^{2}+6y + 9$。
移项化简：$-2y + 1=6y + 9$，$8y=-8$，解得$y=-1$。
把$y = - 1$代入①得：$3x-(-1)=-2$，$3x=-3$，解得$x=-1$。
情况二：当$A$与$D$是对应点，$B$与$C$是对应点时：
设旋转中心$N(m,n)$，根据$NA = ND$，$NB = NC$。
$NA=\sqrt{(m + 3)^2+(n - 3)^2}$，$ND=\sqrt{(m - 1)^2+(n + 3)^2}$，$NB=\sqrt{(m - 1)^2+(n - 1)^2}$，$NC=\sqrt{(m - 3)^2+(n - 1)^2}$。
因为$NA = ND$，则$(m + 3)^2+(n - 3)^2=(m - 1)^2+(n + 3)^2$。
展开得$m^{2}+6m + 9+n^{2}-6n + 9=m^{2}-2m + 1+n^{2}+6n + 9$。
移项化简：$6m-6n + 9=-2m + 6n + 1$，$8m-12n=-8$，即$2m-3n=-2$ ②。
因为$NB = NC$，则$(m - 1)^2+(n - 1)^2=(m - 3)^2+(n - 1)^2$。
展开得$m^{2}-2m + 1+n^{2}-2n + 1=m^{2}-6m + 9+n^{2}-2n + 1$。
移项化简：$-2m + 1=-6m + 9$，$4m = 8$，解得$m = 2$。
把$m = 2$代入②得：$2×2-3n=-2$，$4-3n=-2$，$3n = 6$，解得$n = 2$。
2. 然后验证：
当旋转中心为$(-1,-1)$时，$A(-3,3)$绕$(-1,-1)$旋转$180^{\circ}$后，$x$坐标：$-1×2-(-3)=1$，$y$坐标：$-1×2 - 3=-5$（错误，舍去）；当$A(-3,3)$绕$(2,2)$旋转$90^{\circ}$（顺时针）时，设$A(x_1,y_1)=(-3,3)$，旋转中心$O(x_0,y_0)=(2,2)$，根据旋转公式$\begin{cases}x=x_0+(y_1 - y_0)\\y=y_0-(x_1 - x_0)\end{cases}$（顺时针$90^{\circ}$），$x = 2+(3 - 2)=3$，$y = 2-(-3 - 2)=1$，$B(1,1)$绕$(2,2)$旋转$90^{\circ}$（顺时针）时，$x = 2+(1 - 2)=1$，$y = 2-(1 - 2)=3$（错误，舍去）；当$A(-3,3)$与$C(3,1)$，$B(1,1)$与$D(1,-3)$，绕$(-1,-1)$旋转$180^{\circ}$时：
对于点$A(-3,3)$，设旋转中心$P(-1,-1)$，根据中点坐标公式$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$，$y=\frac{y_1 + y_2}{2}$，若$P$是$A$与$C$的中点，则$-1=\frac{-3 + x_C}{2}$，$x_C=-2 + 3=1$（错误）；当$A(-3,3)$与$D(1,-3)$，$B(1,1)$与$C(3,1)$，绕$(2,2)$旋转时：
对于$A(-3,3)$到$D(1,-3)$，根据旋转的性质，$\overrightarrow{OA}=(-3,3)$，$\overrightarrow{OD}=(1,-3)$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=-3×1+3×(-3)=-12\neq0$（不是$90^{\circ}$旋转）；当$A(-3,3)$与$C(3,1)$，$B(1,1)$与$D(1,-3)$绕$(-1,-1)$旋转$180^{\circ}$时：
设$A(x_1,y_1)=(-3,3)$，旋转中心$O(x_0,y_0)=(-1,-1)$，根据中心对称公式$x_0=\frac{x_1 + x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1 + y_2}{2}$，则$-1=\frac{-3 + x_2}{2}$，$x_2=1$，$-1=\frac{3 + y_2}{2}$，$y_2=-5$（错误）；当$A(-3,3)$与$D(1,-3)$，$B(1,1)$与$C(3,1)$绕$(2,2)$旋转$90^{\circ}$（逆时针）时，设$A(x_1,y_1)=(-3,3)$，旋转中心$O(x_0,y_0)=(2,2)$，根据旋转公式$\begin{cases}x=x_0-(y_1 - y_0)\\y=y_0+(x_1 - x_0)\end{cases}$（逆时针$90^{\circ}$），$x = 2-(3 - 2)=1$，$y = 2+(-3 - 2)=-3$（$A$到$D$），$B(1,1)$绕$(2,2)$逆时针$90^{\circ}$，$x = 2-(1 - 2)=3$，$y = 2+(1 - 2)=1$（$B$到$C$）。
所以旋转中心的坐标是$(2,2)$或$(-1,-1)$。

9. 如图, 点 $ A $ 在第一象限内, $ AB \perp x $ 轴于点 $ B,OB = 1,AB = \sqrt{3}, \angle BOA = 60^{\circ} $, 将点 $ A $ 绕原点 $ O $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $ 后的对应点为 $ A_1 $, 将点 $ A_1 $ 再绕原点 $ O $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $ 后的对应点为 $ A_2 … … $ 按此方法继续下去, 则点 $ A_{2023} $ 的坐标是______(2, 0).

答案： 解：
∵ $ AB \perp x $ 轴，$ OB=1 $，$ AB=\sqrt{3} $，
∴ 点 $ A $ 坐标为 $ (1, \sqrt{3}) $。
∵ $ OA = \sqrt{OB^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 $，$ \angle BOA = 60^\circ $，
∴ 点 $ A $ 绕原点 $ O $ 顺时针旋转 $ 60^\circ $，每次旋转后对应点坐标规律为：
$ A_0(1, \sqrt{3}) $，
$ A_1(2, 0) $，
$ A_2(1, -\sqrt{3}) $，
$ A_3(-1, -\sqrt{3}) $，
$ A_4(-2, 0) $，
$ A_5(-1, \sqrt{3}) $，
$ A_6(1, \sqrt{3}) $，…
周期为 $ 6 $。
∵ $ 2023 ÷ 6 = 337 \cdots 1 $，
∴ $ A_{2023} $ 与 $ A_1 $ 重合，坐标为 $ (2, 0) $。
答案：$ (2, 0) $

10. (2024·通州期末)如图, 在平面直角坐标系中, $ A(3,0),B(3,6) $, 将 $ \triangle OAB $ 绕原点 $ O $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle OA'B' $ ( $ A',B' $ 分别是点 $ A,B $ 的对应点).
(1) 在图中画出 $ \triangle OA'B' $, 并写出点 $ B' $ 的坐标;
(2) 若点 $ P(m,3) $ 位于 $ \triangle OAB $ 内 (不含边界), $ P' $ 为点 $ P $ 绕原点 $ O $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 的对应点, 请直接写出点 $ P' $ 的纵坐标 $ n $ 的取值范围.

答案：
【解析】：
（1）题目考查了平面直角坐标系中图形的旋转变换，要求能理解旋转的性质，并准确画出旋转后的图形，同时根据图形位置确定对应点的坐标。
旋转的性质：旋转前后图形的大小和形状没有改变，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
在平面直角坐标系中，将点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$得到的对应点坐标为$(-y,x)$。
已知$B(3,6)$，根据上述旋转规则，将其绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，得到$B'$的坐标为$(-6,3)$。
画图时，先确定$A$点绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后的对应点$A'$的坐标，$A(3,0)$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后坐标为$(0,3)$，然后连接$OA'$、$A'B'$、$OB'$，得到$\triangle OA'B'$。
（2）题目考查了平面直角坐标系中图形的旋转变换以及点在三角形内的位置关系，要求能理解旋转的性质，通过分析点在原三角形内的位置，确定旋转后对应点的纵坐标的取值范围。
先找出点$P(m,3)$在$\triangle OAB$内（不含边界）时$m$的取值范围，再根据旋转性质求出$P'$纵坐标$n$关于$m$的表达式，进而确定$n$的取值范围。
已知$A(3,0)$，$B(3,6)$，点$P(m,3)$位于$\triangle OAB$内（不含边界），因为$\triangle OAB$中$x$的取值范围是$0\lt x\lt 3$（$x$为横坐标），且$y = 3$时，结合图形可知$0\lt m\lt 3$。
点$P(m,3)$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，根据旋转规则，对应点$P'$的坐标为$(-3,m)$，所以$P'$的纵坐标$n = m$。
因为$0\lt m\lt 3$，所以$0\lt n\lt 3$。
【答案】：
(1) ；$B'(-6,3)$
(2) $0\lt n\lt 3$

11. (新视角·探究题)如图①, 点 $ D $ 在等边三角形 $ ABC $ 的边 $ BC $ 上, 将 $ \triangle ABD $ 绕点 $ A $ 旋转, 使得旋转后点 $ B $ 的对应点为 $ C $.
(1) 在图①中作出旋转后的图形.
(2) 小颖是这样作图的: 如图②, 过点 $ C $ 作 $ BA $ 的平行线 $ l $, 在 $ l $ 上截取 $ CE = BD $, 连接 $ AE $, 则 $ \triangle ACE $ 即为旋转后得到的图形. 小颖这样作图对吗? 请说明理由.

答案：
【解析】：
本题考查旋转的性质及等边三角形的性质。
（1）根据旋转的性质可知，将$\triangle ABD$绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为C，则点D的对应点也在边$AC$上，且满足$AD$旋转后与$AC$的夹角等于$\angle BAC$，长度相等，据此可作出旋转后的图形。
（2）要判断小颖的作图方法是否正确，需证明$\triangle ABD$与$\triangle ACE$是否全等，可通过证明它们的对应边和对应角相等来判断。
【答案】：
(1)
(2)小颖这样作图对。
理由：
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$\angle B = \angle BAC = 60^{\circ}$，$AB = AC$。
∵$CE// AB$，
∴$\angle ACE = \angle BAC = 60^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
∴$\angle ACE = \angle B$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC,\\\angle B = \angle ACE,\\BD = CE.\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。
∴$\triangle ACE$即为旋转后得到的图形。