《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 抛物线 $ y = 2x^2 $ 不具有的性质是 (C)
A.对称轴是 $ y $ 轴
B.开口向上
C.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.最低点的坐标是 $ (0,0) $

答案： 【解析】：
该题目考察二次函数$y=ax^2$的基本性质。对于函数$y = 2x^2$，系数$a=2$大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，即$x=0$。最低点坐标是$(0,0)$，这是因为二次函数$y=ax^2$（$a＞0$）的最小值发生在$x=0$时，此时$y=0$。
A选项，对于函数$y = 2x^{2}$，其对称轴为$x = 0$，也就是$y$轴，所以选项A正确。
B选项，由于二次项系数$a=2 ＞ 0$，所以抛物线开口向上，选项B正确。
C选项，当$x ＜ 0$时，由于抛物线开口向上且对称轴为$y$轴，函数值$y$实际上是随$x$的增大而减小的（因为$x$从更小的负数逐渐增大到0，$y$的值是在减小的），所以选项C的描述是错误的。
D选项，对于函数$y = 2x^{2}$，其最低点（即顶点）坐标为$(0,0)$，所以选项D正确。
综上所述，不具有的性质是选项C。
【答案】：
C

2. 若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象经过点 $ P(-2,4) $,则该图象必经过点 (A)
A.$ (2,4) $
B.$ (-2,-4) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (4,-2) $

答案： 【解析】：
题目考查二次函数$y = ax^2$的图象和性质，特别是关于对称性的知识点，需要先通过给定的点求出函数的系数，再判断函数图像上其他点的坐标。
由于二次函数$y = ax^2$的图像关于y轴对称，即图像关于$x=0$对称。
因此，如果图像上有一点$P(-2,4)$，那么它关于y轴的对称点$(2,4)$也必定在图像上。
我们可以将点$P(-2,4)$代入$y = ax^2$，来验证这一点并求出a的值，
有$4 = a(-2)^2$，
$4 = 4a$，
从中我们可以解出$a = 1$。
因此，二次函数的解析式为$y = x^2$。
接下来，我们逐一检验选项：
A. 将$x=2$代入$y = x^2$，得到$y=4$，与选项A中的点$(2,4)$相符，此点在图像上。
B. 将$x=-2$代入$y = x^2$，得到$y=4$，与选项B中的点$(-2,-4)$不符，此点不在图像上。
C. 将$x=-4$代入$y = x^2$，得到$y=16$，与选项C中的点$(-4,2)$不符，此点不在图像上。
D. 将$x=4$代入$y = x^2$，得到$y=16$，与选项D中的点$(4,-2)$不符，此点不在图像上。
【答案】：
A. $(2,4)$。

3. (2024·广东)若点 $ (0,y_1),(1,y_2),(2,y_3) $ 都在二次函数 $ y = x^2 $ 的图象上,则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系为 (A)
A.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
B.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
C.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
D.$ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $

答案： 【解析】：
题目要求比较三个点在二次函数$y = x^2$图象上的$y$值大小。
首先，我们确定二次函数$y = x^2$是一个开口向上的抛物线，且顶点在原点。
对于开口向上的抛物线，当$x$值增大时，$y$值也随之增大。
现在，我们有点$(0,y_1)$，$(1,y_2)$，$(2,y_3)$在二次函数$y = x^2$的图象上。
根据二次函数的性质，我们可以直接计算出这些点的$y$值：
当$x = 0$时，$y_1 = 0^2 = 0$；
当$x = 1$时，$y_2 = 1^2 = 1$；
当$x = 2$时，$y_3 = 2^2 = 4$。
显然，$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$。
【答案】：
A. $y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$

4. (2023·通州期中)抛物线 $ y = -3x^2 $ 的开口向下(填“向上”或“向下”).

答案： 【解析】：
对于二次函数$y = ax^2$，其开口方向取决于系数a的正负。当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
对于给定的函数$y = -3x^2$，系数$a = -3$，因为$-3 ＜ 0$，所以抛物线的开口向下。
【答案】：
向下。

5. (2024·通州期中)在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = 5x^2 $ 的顶点坐标是$(0,0)$.

答案： 【解析】：
对于二次函数$y = ax^2$，其顶点坐标可以通过公式直接得出。在本题中，$a = 5$，且函数形式为$y = 5x^2$，没有x的一次项和常数项，因此顶点坐标为$(0, 0)$。
【答案】：
$(0,0)$

6. 已知二次函数 $ y = ax^2 $ 与 $ y = -3x^2 $ 的图象的开口大小相同,方向相反,则 $ a = $3.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y=ax^2$的图象和性质，特别是系数$a$对函数图象开口大小和方向的影响。
根据二次函数的性质，函数$y=ax^2$与$y=-3x^2$的图象的开口大小相同，即$|a| = |-3|$，这里$|-3| = 3$，所以$|a| = 3$。
再根据题目条件，两个函数的图象方向相反，即一个开口向上，一个开口向下。由于$y=-3x^2$是开口向下的，所以$y=ax^2$必须是开口向上的，这就要求$a$为正数。
综合以上两点，得出$a=3$。
【答案】：
$3$

7. (教材 P30 例 1 变式)如图,将抛物线对应的序号填在合适的位置.
(1) $ y = 3x^2 $ 的图象是①；
(2) $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 的图象是③；
(3) $ y = -x^2 $ 的图象是②；
(4) $ y = -\frac{3}{4}x^2 $ 的图象是④.
]

答案： 【解析】：
本题考查二次函数$y = ax^2$（$a\neq0$）的图象性质，$a$的正负决定抛物线的开口方向，$\vert a\vert$的大小决定抛物线的开口宽窄，$\vert a\vert$越大，抛物线开口越窄；$\vert a\vert$越小，抛物线开口越宽。
对于$y = 3x^2$，其中$a = 3\gt0$，抛物线开口向上，且$\vert 3\vert$相对较大，所以开口较窄，对应图象是①。
对于$y=\frac{1}{3}x^2$，$a=\frac{1}{3}\gt0$，抛物线开口向上，$\vert\frac{1}{3}\vert$较小，开口较宽，对应图象是③。
对于$y = -x^2$，$a = -1\lt0$，抛物线开口向下，$\vert -1\vert = 1$，对应图象是②。
对于$y = -\frac{3}{4}x^2$，$a = -\frac{3}{4}\lt0$，抛物线开口向下，$\vert -\frac{3}{4}\vert$相对不是很大，开口宽度适中，对应图象是④。
【答案】：
(1) ①；
(2) ③；
(3) ②；
(4) ④。

8. 已知二次函数 $ y = (a - 1)x^2 $,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ a $ 的取值范围是 (B)
A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＞ 1 $
C.$ a \neq 1 $
D.$ a ＜ 1 $

答案： 解：对于二次函数 $ y = (a - 1)x^2 $，其对称轴为 $ y $ 轴（$ x = 0 $）。
当 $ a - 1 ＞ 0 $，即 $ a ＞ 1 $ 时，抛物线开口向上，在对称轴右侧（$ x ＞ 0 $），$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
当 $ a - 1 ＜ 0 $，即 $ a ＜ 1 $ 时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（$ x ＞ 0 $），$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
已知当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，所以 $ a - 1 ＞ 0 $，解得 $ a ＞ 1 $。
答案：B

9. 在同一平面直角坐标系中,函数 $ y = ax^2 $ 与 $ y = ax + a $ 的图象可能是 (C)

答案： 解：分两种情况讨论：
情况1：当$a＞0$时，
抛物线$y = ax^2$开口向上，顶点在原点；
直线$y=ax+a$，斜率$a＞0$，截距$a＞0$，过第一、二、三象限。
分析选项：
A中直线截距为负，不符合；
B中直线斜率为负，不符合；
C、D抛物线开口向下，不符合。
情况2：当$a＜0$时，
抛物线$y = ax^2$开口向下，顶点在原点；
直线$y=ax+a$，斜率$a＜0$，截距$a＜0$，过第二、三、四象限。
分析选项：
C中抛物线开口向下，直线过第二、三、四象限，符合；
D中直线过第一、三、四象限（截距应为负），不符合。
综上，答案为C。

10. 已知二次函数 $ y = 2025x^2 $ 的图象经过原点,其图象上有两个不同的点 $ P(t_1,\frac{1}{4}),Q(t_2,\frac{1}{4}) $,则 $ t_1 + t_2 = $0.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y = ax^2$的图象和性质。
由于二次函数$y = 2025x^2$的图象关于$y$轴对称，
因此，如果点$P(t_1, \frac{1}{4})$在图象上，
那么它的对称点$(-t_1, \frac{1}{4})$也在图象上。
但题目给出了另一个点$Q(t_2, \frac{1}{4})$，
由于这两点的$y$坐标相同，且二次函数图象关于$y$轴对称，
我们可以推断出$t_2 = -t_1$是不可能的（因为题目说明$P$和$Q$是两个不同的点）。
实际上，由于二次函数$y = ax^2$（$a \neq 0$）的图象总是关于其对称轴（即$y$轴）对称，
因此当$y$值相同时，对应的两个$x$值（即$t_1$和$t_2$）必须关于对称轴对称。
在本题中，对称轴是$y$轴，即$x=0$。
因此，有$\frac{t_1 + t_2}{2} = 0$，
从而得出$t_1 + t_2 = 0$。
另外，我们也可以通过将点$P$和$Q$的坐标代入二次函数来求解，
但这种方法相对复杂且不必要，因为我们已经通过对称性得出了答案。
【答案】：
$0$

11. 已知抛物线 $ y = (k + 2)x^{k^2 + k - 4} $,且当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(1) $ k $ 的值为-3,该抛物线的对称轴为$y$轴（或$x=0$）；
(2) 若点 $ A(1,m) $ 在该抛物线上,则点 $ A $ 关于对称轴对称的点的坐标为$(-1,-1)$；
(3) 请在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线,当 $ -2 \leq x ＜ 4 $ 时,$ y $ 的取值范围是$-16＜y≤0$.

答案：
(1) 解：因为是抛物线，所以$k^2 + k - 4 = 2$，即$k^2 + k - 6 = 0$，解得$k = 2$或$k = -3$。又因为当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以抛物线开口向下，$k + 2 ＜ 0$，即$k ＜ -2$，所以$k = -3$。该抛物线的对称轴为$y$轴（或$x = 0$）。
-3；$y$轴（或$x = 0$）
(2) 解：由
(1)知抛物线为$y = -x^2$，点$A(1, m)$在抛物线上，所以$m = -1^2 = -1$，点$A$坐标为$(1, -1)$，关于对称轴对称的点的坐标为$(-1, -1)$。
$(-1, -1)$
(3) 解：抛物线$y = -x^2$，当$x = -2$时，$y = -(-2)^2 = -4$；当$x = 0$时，$y = 0$；当$x = 4$时，$y = -16$（但$x ＜ 4$）。当$-2 \leq x ＜ 4$时，$y$的最大值为$0$，最小值大于$-16$，所以$y$的取值范围是$-16 ＜ y \leq 0$。
$-16 ＜ y \leq 0$