《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

9. (易错题)(2023·启东期中)如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,半径为 $ 5 \text{ cm} $. 若 $ BC = 5 \text{ cm} $,则$\angle A$的度数为 (A)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 25^{\circ} $
C.$ 15^{\circ} $
D.$ 10^{\circ} $
]

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理来求解$\angle A$的度数。
连接$OB$，$OC$。
已知圆$O$的半径为$5cm$，即$OB = OC = 5cm$，又因为$BC = 5cm$，所以$OB = OC = BC$。
根据等边三角形的判定定理：三条边都相等的三角形是等边三角形，可知$\triangle OBC$是等边三角形。
根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于$60^{\circ}$，所以$\angle BOC = 60^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因为$\angle A$和$\angle BOC$都对着弧$\overset{\frown}{BC}$，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC$。
将$\angle BOC = 60^{\circ}$代入可得$\angle A = \frac{1}{2}×60^{\circ}= 30^{\circ}$。
【答案】：A

10. (2023·如皋期中)如图,在平面直角坐标系中,点 $ A,B $ 的坐标分别为$(0,2)$,$(4,0)$,则$\triangle OAB$的外接圆的圆心坐标是______(2,1).

 

答案： 【解析】：本题主要考查了确定圆的条件。
为了找到外接圆的圆心，需要先找到线段$OA$和$OB$的垂直平分线，因为外接圆的圆心位于这两条垂直平分线的交点。
点$A$和点$O$的坐标分别为$(0,2)$和$(0,0)$，
所以线段$OA$的垂直平分线是直线$y = 1$。
点$B$和点$O$的坐标分别为$(4,0)$和$(0,0)$，
所以线段$OB$的垂直平分线是直线$x = 2$。
外接圆的圆心坐标是这两条垂直平分线的交点，即$(2,1)$。
【答案】：$(2,1)$。

11. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A,B,C $ 都在格点上,过 $ A,B,C $ 三点作一圆弧,则圆弧所在圆的圆心坐标是$(2,1)$.

答案： $(2,1)$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$ AC = 3 $,$ BC = 5 $,$ M $ 为边 $ AB $ 的中点.
(1) 若以点 $ C $ 为圆心,3 为半径作$\odot C$,则点 $ A,B,M $ 与$\odot C$有何位置关系?
(2) 若以点 $ C $ 为圆心作$\odot C$,使 $ A,B,M $ 三点中至少有一点在$\odot C$内,至少有一点在$\odot C$外,求$\odot C$的半径 $ r $ 的取值范围.
]

答案：
(1) 解：在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=5$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$。
因为$M$为$AB$中点，所以$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{34}}{2}\approx2.915$。
$\odot C$半径为$3$，$AC=3$，所以点$A$在$\odot C$上；$BC=5\gt3$，所以点$B$在$\odot C$外；$CM\approx2.915\lt3$，所以点$M$在$\odot C$内。
(2) 解：由
(1)知$AC=3$，$BC=5$，$CM=\frac{\sqrt{34}}{2}\approx2.915$，三点到$C$的距离大小为$CM\lt AC\lt BC$。要使至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则半径$r$需满足$CM\lt r\lt BC$，即$\frac{\sqrt{34}}{2}\lt r\lt5$。

13. 如图,要把残破的轮片恢复完整,且 $ A,B,C $ 三点均在弧上.
(1) 用尺规作图法找出轮片所在圆的圆心 $ O $(保留作图痕迹,不写作法);
(2) 若$\triangle ABC$是等腰三角形,底边 $ BC = 8 \text{ cm} $,腰 $ AB = 5 \text{ cm} $,求圆的半径.
]

答案：
【解析】：
(1) 本题考查了5种基本作图之一，作线段的垂直平分线，以及圆的性质，即在同圆中，圆心是任意两条不平行弦的垂直平分线的交点。为了找到轮片所在圆的圆心$O$，可以使用尺规作图法。具体步骤是：首先，作任意两边的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为圆心$O$。
(2)本题考查了圆的性质，三角形的性质，勾股定理，以及方程的求解。
设圆心为$O$，半径为$R$，$AB$的中点为$D$，连接$OB$和$OD$，构成直角三角形$ODB$。
已知$BC = 8cm$，$AB = 5cm$，由于$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$D$是$BC$的中点，即$BD = \frac{BC}{2} = 4cm$。
在直角三角形$ABD$中，利用勾股定理，有$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3cm$。
在直角三角形$ODB$中，利用勾股定理，有$R^2 = (R - 3)^2 + 4^2$，
展开并整理得：$R^2 = R^2 - 6R + 9 + 16$，
进一步整理得：$6R = 25$，解得：$R = \frac{25}{6}cm$。
【答案】：
(1)
(2)圆的半径为$\frac{25}{6}cm$。

14. 如图,$ A,B,C,D $ 四点在$\odot O$上,直径 $ CD \perp AB $ 于点 $ F $,$ BE $ 平分$\angle ABC$,交 $ CD $ 于点 $ E $. 请判断 $ A,B,E $ 三点是否在以点 $ D $ 为圆心,$ DE $ 为半径的圆上,并说明理由.
]

答案： 1. 首先，根据垂径定理：
因为直径$CD\perp AB$于点$F$，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$。
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，可得$\angle BAD = \angle ABD$。
2. 然后，利用角平分线的性质和三角形外角性质：
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle CBE=\angle ABE$。
又因为$\angle DBE=\angle ABD+\angle ABE$，$\angle DEB=\angle CBE+\angle BCE$（三角形外角等于不相邻两个内角之和），且$\angle BCE=\angle BAD$（同弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角），$\angle BAD = \angle ABD$。
所以$\angle DBE=\angle DEB$。
3. 最后，根据等腰三角形的性质：
在$\triangle DBE$中，因为$\angle DBE=\angle DEB$，所以$DB = DE$。
又因为$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$，所以$DB = DA$。
那么$DA=DE = DB$。
所以$A$，$B$，$E$三点在以点$D$为圆心，$DE$为半径的圆上。