《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. 已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位上的数字的平方与十位上的数字的平方的和比这个两位数小4.设个位上的数字为a,则可列方程为 (C)
A.$a^2 + (a - 4)^2 = 10(a - 4) + a - 4$
B.$a^2 + (a + 4)^2 = 10a + (a + 4) - 4$
C.$a^2 + (a + 4)^2 = 10(a + 4) + a - 4$
D.$a^2 + (a - 4)^2 = 10a + (a - 4) - 4$

答案： 【解析】：
这个问题是一个关于两位数的问题，其中个位数字比十位数字小4，且个位数字的平方与十位数字的平方的和比这个两位数小4。
首先，根据题目描述，设个位上的数字为$a$，那么十位上的数字就是$a + 4$（因为个位数字比十位数字小4）。
一个两位数可以表示为：$10 × \text{十位数字} + \text{个位数字}$。
所以，这个两位数可以表示为：$10(a + 4) + a$。
根据题目，个位数字的平方与十位数字的平方的和比这个两位数小4，即：
$a^2 + (a + 4)^2 = 10(a + 4) + a - 4$。
这就是我们需要求解的方程。
【答案】：
C.$a^2 + (a + 4)^2 = 10(a + 4) + a - 4$。

9. (教材P22习题21.3第4题变式)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主根长出若干数目的支根,每根支根又长出同样数目的小支根,主根、支根和小支根的总根数是57,则这种植物每根支根长出的小支根的根数是 (B)
A.8
B.7
C.6
D.5

答案： 【解析】：
设每根支根长出$x$根小支根。
主根的数量为1；
支根的数量为$x$；
每根支根又长出$x$根小支根，所以小支根的总数为$x × x = x^{2}(根)$，（由于一共有$x$根支根，每根支根上$x$个小支根）。
根据题意，主根、支根和小支根的总根数是57，所以我们可以列出方程：
$1 + x + x^{2} = 57$，
移项得：
$x^{2} + x - 56 = 0$，
利用求根公式或因式分解法求解此方程，我们得到：
$(x-7)(x+8)=0$，
解得：$x_{1} = 7$，$x_{2} = -8$。
由于支根的数量不能为负，所以$x_{2} = -8$不符合题意，舍去这个解。
因此，每根支根长出的小支根的根数是7。
【答案】：B

10. 中秋节,书法兴趣小组的成员每两人互送一个月饼,共送出72个月饼,则书法兴趣小组的人数是______9.

答案： 【解析】：
这个问题是一个典型的传播与握手问题，可以通过设立方程来解决。
设书法兴趣小组的人数为$x$人。
根据题目，每两个人互送一个月饼，即每个人都要给其他$x-1$个人送一个月饼。
因此，总共送出的月饼数为$x(x-1)$。
根据题意，这个总数等于72，所以我们有方程：
$x(x-1) = 72$
展开方程得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解该方程：
$(x-9)(x+8) = 0$
解得：
$x_1 = 9, \quad x_2 = -8$
由于人数不能为负数，所以$x_2 = -8$不符合实际情况，舍去。
因此，书法兴趣小组的人数是9人。
【答案】：
9

11. (易错题)把一个正整数各数位上的数字排列完全颠倒过来变成另一个正整数,我们把这样的一对数称为反序数,如:12的反序数是21,456的反序数是654.若一个两位数,其十位上的数字比个位上的数字大3,这个两位数与其反序数之积为1 300,则这个两位数是______52.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。
设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x + 3$。
根据两位数的构造方式，这个两位数可以表示为：$10(x + 3) + x = 11x + 30$。
其反序数则为：$10x + (x + 3) = 11x + 3$。
根据题意，这两个数的乘积为1300，所以我们有方程：
$(11x + 30)(11x + 3) = 1300$，
展开并整理得：
$121x^2 + 363x + 90 = 1300$，
$121x^2 + 363x - 1210 = 0$，
$x^2 + 3x - 10 = 0$，
通过因式分解或使用求根公式，我们得到：
$(x - 2)(x + 5) = 0$，
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -5$。
由于$x$是个位数字，且根据题意应为非负整数，所以$x_2 = -5$不符合题意，舍去。
当$x = 2$时，十位数字为$x + 3 = 5$。
因此，这个两位数为52。同时我们也需要检验52与其反序数25的乘积是否为1300，计算得$52 × 25 = 1300$，与题意相符。
【答案】：
52

12. (新情境·日常生活)某校举行厨艺大赛,参赛选手的人数比评委人数的5倍少2,每名参赛选手需在规定时间内,将制作好的菜品分到小盘中给每位评委试吃评分.若本次大赛的评委共试吃了168个小盘菜品,求参赛选手的人数.

答案： 【解析】：
这个问题是一个一元二次方程的应用问题，涉及到的是日常生活中的实际情境。
题目描述了厨艺大赛中，参赛选手的人数与评委人数的关系，以及评委试吃菜品的小盘数量。
需要根据这些信息，设立数学模型，即一元二次方程，来求解参赛选手的人数。
设评委的人数为$x$人，那么参赛选手的人数就是$5x - 2$人（根据题目中的“参赛选手的人数比评委人数的5倍少2”得出）。
每位评委都要试吃每一位参赛选手的菜品，所以每位评委都要试吃$5x - 2$个小盘菜品。
因为有$x$位评委，所以总共试吃的小盘菜品数量就是$x(5x - 2)$。
根据题目，这个数量等于168，所以可以得到方程：
$x(5x - 2) = 168$，
展开方程得：
$5x^2 - 2x - 168 = 0$，
通过求解这个一元二次方程，可以得到$x$的值。
由于$x$代表评委的人数，它必须是一个正整数。
在得到的解中，需要选择符合这个条件的解。
求得$x$后，就可以通过$5x - 2$求得参赛选手的人数。
【答案】：
解：设评委有$x$人，则参赛选手有$(5x-2)$人。
根据题意，得$x(5x - 2) = 168$，
整理，得$5x^2 - 2x - 168 = 0$，
其中$a=5，b=-2，c=-168$，
根据一元二次方程求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} $，
将$a=5，b=-2，c=-168$代入得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4× 5× (-168)} }{2× 5} =\frac{2\pm\sqrt{4+3360}}{10}=\frac{2\pm\sqrt{3364}}{10}=\frac{2\pm 58}{10}$，
解得$x_1=\frac{2+ 58}{10}=6，x_2=\frac{2- 58}{10}=-5.6$(舍去)，
当$x=6$时，$5x - 2=5× 6-2=28$，
所以，参赛选手的人数为28人。

13. 某种植物的主根生长出若干数目的支根,支根中的$\frac{1}{3}$每根生长出同样数目的小支根,而其余支根每根生长出支根总数目一半的小支根,主根、支根、小支根的总根数是109.这种植物的主根能生长出多少根支根?

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。
设主根生长出$x$根支根，
根据题意，支根中的$\frac{1}{3}$每根生长出$x$根小支根，
所以这部分的小支根总数为$\frac{1}{3}x \cdot x = \frac{1}{3}x^{2}$。
而其余的支根每根生长出$\frac{x}{2}$根小支根，
这部分的支根数为$\frac{2}{3}x$，
所以这部分的小支根总数为$\frac{2}{3}x \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{3}x^{2}$。
加上主根1根，支根$x$根，
所以总根数为：$1 + x + \frac{1}{3}x^{2} + \frac{1}{3}x^{2} = 109$。
整理得：$1 + x + \frac{2}{3}x^{2} = 109$，
进一步整理为：$2x^{2} + 3x - 324 = 0$，
通过因式分解或使用求根公式，
我们可以得到：$(2x - 27)(x + 12) = 0$，
解得：$x = 12$ 或 $x = - \frac{27}{2}$，
由于支根数不能为负，所以$x = - \frac{27}{2}$不符合题意，舍去。
所以，这种植物的主根能生长出12根支根。
【答案】：
$x = 12$