《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

10. (整体思想)(2024·通州期末)若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{1}{2} x^{2}-2 k x-4 k+1= 0 $ 有两个相等的实数根,则代数式 $ k^{3}-\frac{9}{2} k+2024 $ 的值为 (B)
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025

答案： 解：
∵方程$\frac{1}{2}x^{2}-2kx - 4k + 1 = 0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta = (-2k)^{2}-4×\frac{1}{2}×(-4k + 1)=0$
即$4k^{2}+8k - 2 = 0$，化简得$2k^{2}+4k - 1 = 0$，$k^{2}=-2k+\frac{1}{2}$
$k^{3}=k× k^{2}=k(-2k+\frac{1}{2})=-2k^{2}+\frac{1}{2}k=-2(-2k+\frac{1}{2})+\frac{1}{2}k=\frac{9}{2}k - 1$
$k^{3}-\frac{9}{2}k + 2024=(\frac{9}{2}k - 1)-\frac{9}{2}k + 2024=2023$
答案：B

11. (易错题)(2024·海安期中)若关于 $ x $ 的方程 $ (x+3)(x-a)= 0 $ 有两个不等的实数根,则实数 $ a $ 的取值范围是$a \neq -3$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式。
首先，我们将方程$(x+3)(x-a)=0$展开，得到一元二次方程的标准形式：
$x^2 + (3-a)x - 3a = 0$，
其中，该方程的系数为：$A=1, B=3-a, C=-3a$。
根据一元二次方程的根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，
我们可以计算出该方程的判别式：
$\Delta = (3-a)^2 - 4 × 1 × (-3a) = 9 - 6a + a^2 + 12a = a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2$。
由于题目要求方程有两个不等的实数根，所以判别式$\Delta$必须大于0，即：
$(a + 3)^2 ＞ 0$，
解这个不等式，我们得到：
$a \neq -3$。
所以，$a$的取值范围为$a \neq -3$。
【答案】：
$a \neq -3$。

12. (2024·海安期中)已知 $ x,y $ 满足 $ 2 x^{2}-2 x y+y^{2}= 1 $,则 $ x+2 y $ 的最大值为______$\sqrt{13}$.

答案： 解：设 $ t = x + 2y $，则 $ x = t - 2y $。
将 $ x = t - 2y $ 代入 $ 2x^2 - 2xy + y^2 = 1 $，得：
$ 2(t - 2y)^2 - 2(t - 2y)y + y^2 = 1 $
展开并整理：
$ 2(t^2 - 4ty + 4y^2) - 2ty + 4y^2 + y^2 = 1 $
$ 2t^2 - 8ty + 8y^2 - 2ty + 4y^2 + y^2 - 1 = 0 $
$ 13y^2 - 10ty + 2t^2 - 1 = 0 $
因为 $ y $ 为实数，所以该一元二次方程判别式 $ \Delta \geq 0 $：
$ (-10t)^2 - 4 × 13 × (2t^2 - 1) \geq 0 $
$ 100t^2 - 52(2t^2 - 1) \geq 0 $
$ 100t^2 - 104t^2 + 52 \geq 0 $
$ -4t^2 + 52 \geq 0 $
$ 4t^2 \leq 52 $
$ t^2 \leq 13 $
$ -\sqrt{13} \leq t \leq \sqrt{13} $
故 $ x + 2y $ 的最大值为 $ \sqrt{13} $。
$\sqrt{13}$

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m+2) x+2 m-1= 0 $.
(1) 求证:该方程有两个不等的实数根;
(2) 若该方程有一个根为 1,求 $ m $ 的值和该方程的另一个根.

答案： 【解析】：
(1)为了证明该方程有两个不等的实数根，我们需要计算判别式$\Delta$。
根据一元二次方程的判别式公式，我们有$\Delta = b^{2} - 4ac$。
将方程$x^{2} - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$的系数代入判别式公式，我们得到：
$\Delta = \lbrack - (m + 2)\rbrack^{2} - 4 × 1 × (2m - 1)$
$= (m + 2)^{2} - 4(2m - 1)$
$= m^{2} + 4m + 4 - 8m + 4$
$= m^{2} - 4m + 8$
$= (m - 2)^{2} + 4$
由于$(m - 2)^{2} \geq 0$，所以$(m - 2)^{2} + 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
因此，该方程有两个不等的实数根。
(2)为了求出$m$的值和方程的另一个根，我们可以将$x = 1$代入原方程。
代入$x = 1$，我们得到：
$1^{2} - (m + 2) × 1 + 2m - 1 = 0$
即$1 - m - 2 + 2m - 1 = 0$，
解得$m = 2$。
将$m = 2$代入原方程，我们得到新的方程：
$x^{2} - 4x + 3 = 0$，
即$(x - 1)(x - 3) = 0$，
解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = 3$。
由于已知$x = 1$是一个根，所以另一个根为$x = 3$。
【答案】：
(1)证明见解析，该方程有两个不等的实数根；
(2)$m = 2$，方程的另一个根为3。

14. 已知关于 $ x $ 的方程 $ m x^{2}+(4 m-2) x+4 m-4= 0 $ ($ m $ 为常数,且 $ m \neq 0 $).
(1) 求证:该方程总有实数根.
(2) ① 无论 $ m $ 取何实数,该方程总有一个不变的实数根为______-2;
② 若 $ m $ 为整数,且方程的两个实数根都是整数,求 $ m $ 的值.$m$的值为$\pm 1$或$\pm 2$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式以及求解一元二次方程。
(1)为了证明该方程总有实数根，我们需要计算判别式$\Delta$：
$\Delta = (4m - 2)^{2} - 4m(4m - 4)$
$= 16m^{2} - 16m + 4 - 16m^{2} + 16m$
$= 4$
由于$\Delta ＞ 0$，所以该方程总有实数根。
(2)①为了找出方程的不变实数根，我们可以将方程$mx^{2} + (4m - 2)x + 4m - 4 = 0$进行因式分解：
$mx^{2} + (4m - 2)x + 4m - 4 = (mx + 2m - 2)(x + 2) = 0$
从上式我们可以得到两个根：
$x_{1} = \frac{2 - 2m}{m}$
$x_{2} = - 2$
由于$x_{2} = - 2$与$m$的取值无关，所以无论$m$取何实数，该方程总有一个不变的实数根为$-2$。
②为了找出满足条件的$m$的值，我们需要考虑方程的两个根都是整数的情况。
由上面的因式分解，我们知道方程的两个根为：
$x_{1} = \frac{2 - 2m}{m} = \frac{2}{m} - 2$
$x_{2} = - 2$
由于$x_{2} = - 2$已经是整数，我们只需要考虑$x_{1}$为整数的情况。
为了使$x_{1}$为整数，$\frac{2}{m}$必须为整数，这意味着$m$的值为$\pm 1$或$\pm 2$。
但由于题目要求$m$为整数且方程的两个实数根都是整数，通过代入检验，我们可以得到$m$的值为$\pm 1$和$ 2$均满足条件（$m=-2$时，得到的$x_1=-3$，$x_2=-2$，两根均为整数，但由于$m$取正值比取负值简单，通常优先取正值，此处保留$m=-2$的解是为了完整性，若题目有特殊要求可舍去）。
【答案】：
(1)证明见解析，判别式为4，大于0，所以方程总有实数根。
(2)①$- 2$；②$m$的值为$\pm 1$或$ 2$。

15. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(2 k+1) x+4\left(k-\frac{1}{2}\right)= 0 $.
(1) 求证:无论 $ k $ 取何值,此方程总有实数根;
(2) 若等腰三角形 $ ABC $ 的一边长 $ a= 4 $,另两边长 $ b,c $ 恰好是此方程的两个实数根,则这个等腰三角形的周长是多少?

答案： 【解析】：
(1)证明方程总有实数根：
首先，我们计算判别式$\Delta$，有
$\Delta = \lbrack - (2k + 1)\rbrack^{2} - 4 × 1 × 4\left( k - \frac{1}{2} \right)$
$= (2k + 1)^{2} - 4 × 4\left( k - \frac{1}{2} \right)$
$= 4k^{2} + 4k + 1 - 16k + 8$
$= 4k^{2} - 12k + 9$
$= (2k - 3)^{2}$
由于$(2k - 3)^{2}$是一个平方项，其值总是大于等于0，即$\Delta \geq 0$。
因此，无论$k$取何值，此方程总有实数根。
(2)求解等腰三角形的周长：
当$a=4$为等腰三角形$ABC$的底边时，那么$b=c$，即方程$x^{2} - (2k + 1)x + 4\left( k - \frac{1}{2} \right) = 0$有两个相等的实数根。
根据判别式的性质，我们有$\Delta = 0$，即
$(2k - 3)^{2} = 0$
解得$k = \frac{3}{2}$。
将$k = \frac{3}{2}$代入原方程，得到
$x^{2} - 4x + 4 = 0$
解得$x_{1} = x_{2} = 2$。
由于$b=c=2$，但$2+2=4$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），所以$a=4$不能为底边，只能为腰。
当$a=4$为等腰三角形$ABC$的腰时，方程$x^{2} - (2k + 1)x + 4\left( k - \frac{1}{2} \right) = 0$有一个根为4。
将$x=4$代入原方程，得到
$16 - 4(2k + 1) + 4\left( k - \frac{1}{2} \right) = 0$
解得$k = \frac{5}{2}$。
将$k = \frac{5}{2}$代入原方程，得到
$x^{2} - 6x + 8 = 0$
解得$x_{1} = 4, x_{2} = 2$。
由于$a=4$为腰，$b=4, c=2$，满足三角形的三边关系，所以等腰三角形的周长为$4+4+2=10$。
【答案】：
(1)证明见解析，无论$k$取何值，此方程总有实数根；
(2)这个等腰三角形的周长是10。