《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材 P93 探究变式)有下列命题:① 三角形的外心在三角形内;② 一个三角形有唯一的一个外接圆;③ 过一直线上两点和直线外一点可以确定一个圆;④ 已知三点 $ A,B,C $,过这三点可以作并且只可以作一个圆. 其中,假命题的个数是 (B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：
本题考察的是对三角形外接圆及其性质的理解。
①三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点。对于钝角三角形，外心会在三角形外部，因此命题“三角形的外心在三角形内”是不准确的，为假命题。
②根据几何知识，每个三角形都有一个唯一的外接圆，该圆恰好经过三角形的三个顶点。因此命题“一个三角形有唯一的一个外接圆”是准确的，为真命题。
③根据圆的定义，不在同一直线上的三点可以确定一个圆。因此，过一直线上两点和直线外一点（这三点不在同一直线上）可以确定一个圆。所以命题“过一直线上两点和直线外一点可以确定一个圆”是准确的，为真命题。
④一般来说，三个不共线的点可以确定一个圆。但是，如果三点共线，则不能确定一个唯一的圆。因此，命题“已知三点$A,B,C$，过这三点可以作并且只可以作一个圆”在一般情况下是准确的，但如果$A,B,C$三点共线，则不能作出一个唯一的圆，所以该命题为假命题。
综上所述，假命题的个数是2个。
【答案】：B.2

2. (教材 P101 习题 24.2 第 1 题变式)(2024·启东期中)已知$\odot O的半径为 r $,点 $ P $ 到圆心 $ O $ 的距离为 5. 若使点 $ P $ 在$\odot O$外,则 $ r $ 的值可以是 (A)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 【解析】：
本题主要考察点与圆的位置关系。根据几何知识，如果一个点$P$在圆$\odot O$外，那么该点到圆心$O$的距离$OP$必然大于圆的半径$r$。
已知点$P$到圆心$O$的距离为$5$，若点$P$在$\odot O$外，则必有$r ＜ 5$。
分析选项：
A. $4$：满足$r ＜ 5$，符合题意。
B. $5$：不满足$r ＜ 5$，不符合题意。
C. $6$：不满足$r ＜ 5$，不符合题意。
D. $7$：不满足$r ＜ 5$，不符合题意。
因此，只有选项A满足条件。
【答案】：
A

3. 如图,在$ 6 × 6 $的正方形网格中(每个小正方形的边长都为 1),有 $ M,N,O,P,Q $ 5 个点,以点 $ O $为圆心,$\sqrt{5}$为半径作圆,则在$\odot O$外的是 (D)
A.点 $ M $
B.点 $ N $
C.点 $ P $
D.点 $ Q $

答案： 1. 首先，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$（在网格中可通过横向格数差$a$与纵向格数差$b$，利用$d=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$计算）：
计算$OM$：
点$O$到点$M$，横向格数差$a = 1$，纵向格数差$b = 2$，则$OM=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
计算$ON$：
点$O$到点$N$，横向格数差$a = 1$，纵向格数差$b = 1$，则$ON=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$。
计算$OP$：
点$O$到点$P$，横向格数差$a = 2$，纵向格数差$b = 1$，则$OP=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
计算$OQ$：
点$O$到点$Q$，横向格数差$a = 2$，纵向格数差$b = 2$，则$OQ=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. 然后，根据点与圆的位置关系：
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，当$d\gt r$时，点在圆外；当$d = r$时，点在圆上；当$d\lt r$时，点在圆内。已知$r=\sqrt{5}$。
因为$\sqrt{2}\lt\sqrt{5}$，$\sqrt{5}=\sqrt{5}$，$2\sqrt{2}=\sqrt{8}\gt\sqrt{5}$。
所以在$\odot O$外的是点$Q$，答案是D。

4. (2024·海安期中)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 93^{\circ}$,则点 $ A $ 在线段 $ BC $ 为直径的圆外(填“上”“内”或“外”).

答案： 【解析】：
题目考查了点和圆的位置关系，具体是判断点相对于以某线段为直径的圆的位置。
我们知道，直径所对的圆周角是直角，即$90^\circ$。
现在题目给出$\angle A=93^\circ$，这意味着角A是一个钝角。
如果点A在以BC为直径的圆上，那么$\angle A$应该是$90^\circ$，但题目中$\angle A=93^\circ$，所以点A不可能在圆上。
如果点A在以BC为直径的圆内，那么由圆内点的性质，从该点看圆上的任意两点所形成的角都应该是锐角或直角，但$\angle A=93^\circ$，是钝角，所以点A也不可能在圆内。
唯一可能的就是点A在以BC为直径的圆外，因为在圆外看圆上的两点所形成的角可以是钝角。
【答案】：
外

5. 在用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时,应先假设一个三角形中有两个角是直角.

答案： 【解析】：
本题主要考察反证法的使用。
反证法是一种通过假设某个命题的否定是正确的，然后推导出矛盾或不可能的情况，从而证明原命题是正确的方法。
在本题中，原命题是“一个三角形中不能有两个角是直角”。
其否定命题则是“一个三角形中有两个角是直角”。
因此，为了使用反证法证明原命题，我们需要先假设否定命题是正确的，即先假设一个三角形中有两个角是直角。
【答案】：
一个三角形中有两个角是直角。

6. (2024·如皋期末)已知$\odot O$的半径为 5,线段 $ OA $ 的长为 $ d $. 若点 $ A $ 在$\odot O$外,则 $ d $ 的取值范围是$d \gt 5$.

答案： 【解析】：
本题考查的是点和圆的位置关系。
已知圆$\odot O$的半径为5，线段$OA$的长度为$d$。
若点A在圆外，则根据点和圆的位置关系，有$d \gt r$，其中$r$是圆的半径。
将已知的半径$r=5$代入上述不等式，得到$d \gt 5$。
【答案】：
$d \gt 5$。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$ AC = 3 $,$ BC = 4 $,以点 $ C $ 为圆心作$\odot C$,半径为 $ r $.
(1) 当点 $ A,B $ 在$\odot C$外时,求 $ r $ 的取值范围;
(2) 当点 $ A $ 在$\odot C$内,点 $ B $ 在$\odot C$外时,求 $ r $ 的取值范围.
]

答案： 【解析】：本题主要考查点与圆的位置关系，可根据点与圆的位置关系的判定方法来确定半径$r$的取值范围。
点与圆的位置关系有三种：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，则有：
当$d\gt r$时，点在圆外；
当$d = r$时，点在圆上；
当$d\lt r$时，点在圆内。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，点$C$为圆心，即圆心$C$到点$A$的距离$d_{A}=AC = 3$，圆心$C$到点$B$的距离$d_{B}=BC = 4$。
（1）当点$A$，$B$在$\odot C$外时：
根据点在圆外的判定条件$d\gt r$，对于点$A$，有$r\lt AC$，即$r\lt 3$；对于点$B$，有$r\lt BC$，即$r\lt 4$。
同时，半径$r\gt0$，所以$r$的取值范围是$0\lt r\lt 3$。
（2）当点$A$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$外时：
根据点在圆内的判定条件$d\gt r$，点$A$在$\odot C$内，则$r\gt AC$，即$r\gt 3$；点$B$在$\odot C$外，则$r\lt BC$，即$r\lt 4$。
所以$r$的取值范围是$3\lt r\lt 4$。
【答案】：
(1)$0\lt r\lt 3$；
(2)$3\lt r\lt 4$。

8. 在数轴上,点 $ A $ 所表示的实数为 4,点 $ B $ 所表示的实数为 $ b $,$\odot A$的半径为 2,要使点 $ B $ 在$\odot A$内,则实数 $ b $ 的取值范围是 (D)
A.$ b ＞ 2 $
B.$ b ＞ 6 $
C.$ b ＜ 2 $ 或 $ b ＞ 6 $
D.$ 2 ＜ b ＜ 6 $

答案： 【解析】：
本题考查的是点和圆的位置关系。
已知点A在数轴上表示的实数为4，且圆A的半径为2。
根据数轴上两点间的距离公式，点B到点A的距离为$|b-4|$。
要使点B在圆A内，点B到圆心A的距离必须小于圆的半径，即：
$|b - 4| ＜ 2$
解这个不等式，我们得到：
$-2 ＜ b - 4 ＜ 2$
进一步解得：
$2 ＜ b ＜ 6$
【答案】：
D. $2 ＜ b ＜ 6$