《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2023·海门期末)如图,CD是$\odot O$的直径,弦$AB= 8cm,AB⊥CD$,垂足为M,$OM:OC= 3:5$,则直径CD的长为 (C)

A.$2\sqrt {7}cm$
B.$\sqrt {7}cm$
C.10 cm
D.5 cm

答案： 解：连接OA。
设OM=3k，OC=5k。
∵CD是直径，
∴OA=OC=5k。
∵AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=1/2AB=4cm。
在Rt△OAM中，OA²=OM²+AM²，
即(5k)²=(3k)²+4²，
25k²=9k²+16，
16k²=16，
k²=1，k=1（k＞0）。
∴OC=5k=5cm，CD=2OC=10cm。
答案：C

2. (2024·启东期中)工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口.如图,钢珠的直径为10mm,钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm,则这个小孔的宽口AB等于 ( D)
A.4 mm
B.6 mm
C.7 mm
D.8 mm

答案： 【解析】：本题可先通过钢珠的直径和钢珠上顶端离零件上表面的距离求出钢珠圆心到零件上表面的距离，再结合钢珠半径，利用垂径定理和勾股定理求出小孔宽口$AB$的一半，进而求出$AB$的长度。
先求出钢珠圆心到零件上表面的距离：
已知钢珠的直径为$10mm$，则钢珠半径$r = 10÷2 = 5mm$。
又已知钢珠上顶端离零件上表面的距离为$8mm$，那么钢珠圆心到零件上表面的距离为$8 - 5 = 3mm$。
设钢珠圆心为$O$，过$O$作$OD\perp AB$于点$D$，交圆$O$于点$C$，则$AC = BC$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），$OC = 5mm$，$OD = 3mm$。
在$Rt\triangle AOD$中，利用勾股定理求出$AD$的长度：
在$Rt\triangle AOD$中，$OA = 5mm$，$OD = 3mm$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）可得：
$AD = \sqrt{OA^{2} - OD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4mm$。
求出小孔宽口$AB$的长度：
因为$AB = 2AD$，所以$AB = 2×4 = 8mm$。
【答案】：D

3. 如图,在$\odot O$中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D.若$\odot O$的半径为2,则弦AB的长为2√3.

答案： 解：连接OA。
∵AB垂直平分OC，OC=2，
∴OD=1/2OC=1，∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OA=2，OD=1，
由勾股定理得：AD=√(OA²-OD²)=√(2²-1²)=√3。
∵AB⊥OC，
∴AB=2AD=2√3。
答案：2√3

4. 如图所示为一个半圆形桥洞的截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,$CD// AB,AB= 10m,OE⊥CD$于E,此时测得$OE:CD= 3:8$.
(1)求CD的长;
(2)如果水位以0.4m/h的速度上升,那么经过多长时间桥洞会正好被灌满?

答案：
(1)解：连接OD，
∵AB=10m，
∴OD=OA=5m，
∵OE⊥CD，
∴CE=DE=1/2CD，
设OE=3x，CD=8x，则DE=4x，
在Rt△ODE中，OE²+DE²=OD²，
(3x)²+(4x)²=5²，
解得x=1，
∴CD=8x=8m；
(2)解：由
(1)得OE=3x=3m，
∵桥洞灌满时水位线为AB，
∴水位上升的高度为OE=3m，
所需时间为3÷0.4=7.5h，
答：经过7.5小时桥洞会正好被灌满。

5. (2023·山西)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若$∠BAC= 40^{\circ }$,则$∠DBC$的度数为 (B)

A.$40^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$70^{\circ }$

答案： 解：
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAC=40°，
∴∠BDC=∠BAC=40°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△BCD中，∠DBC=90°-∠BDC=90°-40°=50°。
答案：B

6. (2024·如皋期末)如图,AD是$\odot O$的直径,$△ABC是\odot O$的内接三角形.若$∠DAC= ∠ABC,AC= 5$,则$AD= $5√2.

答案： 解：连接CD。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°。
∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DAC=∠ADC。
∴△ACD是等腰直角三角形。
∵AC=5，
∴AD=√2AC=5√2。
答案：5√2

7. (2024·连云港)如图,AB是圆的直径,$∠1,∠2,∠3,∠4$的顶点均在AB上方的圆弧上,$∠1,∠4$的一边分别经过点A,B,则$∠1+∠2+∠3+∠4= $90$^{\circ }$.

答案： 1. 首先，根据圆周角定理：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
设圆心为$O$，连接$OA$，$OB$，$O$为$AB$中点（因为$AB$是直径）。
我们知道$\angle1$，$\angle2$，$\angle3$，$\angle4$所对的弧合起来是半圆$\overset{\frown}{AB}$。
半圆所对的圆心角$\angle AOB = 180^{\circ}$。
设$\angle1$所对弧为$\overset{\frown}{a}$，$\angle2$所对弧为$\overset{\frown}{b}$，$\angle3$所对弧为$\overset{\frown}{c}$，$\angle4$所对弧为$\overset{\frown}{d}$，则$\overset{\frown}{a}+\overset{\frown}{b}+\overset{\frown}{c}+\overset{\frown}{d}=\overset{\frown}{AB}$。
2. 然后，根据圆周角与圆心角的关系：
由圆周角定理$\angle1=\frac{1}{2}\angle AOC_1$（$\angle AOC_1$是$\overset{\frown}{a}$所对圆心角），$\angle2 = \frac{1}{2}\angle AOC_2$（$\angle AOC_2$是$\overset{\frown}{b}$所对圆心角），$\angle3=\frac{1}{2}\angle AOC_3$（$\angle AOC_3$是$\overset{\frown}{c}$所对圆心角），$\angle4=\frac{1}{2}\angle AOC_4$（$\angle AOC_4$是$\overset{\frown}{d}$所对圆心角）。
那么$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4=\frac{1}{2}(\angle AOC_1+\angle AOC_2+\angle AOC_3+\angle AOC_4)$。
因为$\angle AOC_1+\angle AOC_2+\angle AOC_3+\angle AOC_4=\angle AOB$（$\angle AOB$是半圆$\overset{\frown}{AB}$所对圆心角）。
又因为$\angle AOB = 180^{\circ}$。
所以$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4 = 90^{\circ}$。
故答案为：$90$。