《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·凉山)已知抛物线$y= \frac {2}{3}(x-1)^{2}+c经过(-2,y_{1}),(0,y_{2}),(\frac {5}{2},y_{3})$三点,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系正确的是 (D)
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是抛物线的对称性和开口方向。
首先，抛物线$y= \frac {2}{3}(x-1)^{2}+c$的对称轴是$x=1$，这是因为二次函数$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为$x=h$。
其次，由于二次项系数$\frac{2}{3} ＞ 0$，所以抛物线开口向上。
根据抛物线的性质，我们知道在对称轴左侧，函数值随$x$的增大而减小，而在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而增大。且离对称轴越远，函数值越大。
现在，我们比较三个点$(-2,y_1)$，$(0,y_2)$，$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴$x=1$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2-1|=3$，
点$(0,y_2)$到对称轴的距离为$|0-1|=1$，
点$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴的距离为$|\frac{5}{2}-1|=\frac{3}{2}$。
由于$3 ＞ \frac{3}{2} ＞ 1$，根据抛物线的性质，我们可以得出$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
【答案】：
D. $y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$。

2. 关于二次函数$y= 2x^{2}+x-1$,下列说法正确的是 (D)
A.图象与$y轴的交点坐标为(0,1)$
B.图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x＜0$时,$y随x$的增大而减小
D.$y的最小值为-\frac {9}{8}$

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，包括与坐标轴的交点、对称轴、单调性以及最值。
A选项：考察二次函数与$y$轴的交点，即当$x=0$时的$y$值。将$x=0$代入函数$y=2x^2+x-1$，得到$y=-1$，所以与$y$轴的交点坐标为$(0,-1)$，与A选项的$(0,1)$不符，所以A错误。
B选项：考察二次函数的对称轴。对称轴的公式为$x=-\frac{b}{2a}$。将$a=2$，$b=1$代入，得到对称轴为$x=-\frac{1}{4}$，这在$y$轴的左侧，所以B错误。
C选项：考察二次函数的单调性。由于$a=2＞0$，所以函数在$x＜-\frac{1}{4}$时单调递减，在$x＞-\frac{1}{4}$时单调递增。所以，当$x＜0$时，$y$并非一直随$x$的增大而减小，特别是在$x=-\frac{1}{4}$右侧，$y$是随$x$的增大而增大的，所以C错误。
D选项：考察二次函数的最值。由于$a=2＞0$，函数有最小值，且最小值出现在对称轴上，即$x=-\frac{1}{4}$处。将$x=-\frac{1}{4}$代入原函数，得到$y_{min}=-\frac{9}{8}$，所以D正确。
【答案】：
D

3. (2024·启东期中)抛物线$y= 2(x-2)^{2}+6$的顶点坐标为$(2, 6)$.

答案： 【解析】：
对于抛物线$y = a(x - h)^{2} + k$，其顶点坐标为$(h, k)$。
在本题中，抛物线方程为$y = 2(x - 2)^{2} + 6$，通过对比可以看出$h = 2$且$k = 6$。
因此，根据抛物线的顶点公式，可以直接得出该抛物线的顶点坐标为$(2, 6)$。
【答案】：
$(2, 6)$

4. 已知二次函数$y= x^{2}-2x$,当$a≤x≤b$时,其最小值为$-1$,最大值为$3$,则$b-a$的最大值是4.

答案： 解：$y=x^2 - 2x=(x - 1)^2 - 1$，对称轴为$x=1$，顶点坐标$(1, -1)$。
当$y=3$时，$x^2 - 2x=3$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
情况1：$a=-1$，$b=1$，此时$b - a=2$；
情况2：$a=1$，$b=3$，此时$b - a=2$；
情况3：$a=-1$，$b=3$，此时$b - a=4$。
$b - a$的最大值是$4$。
答案：$4$

5. 已知抛物线$y= x^{2}-x+m$.
(1) 写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(2) 当抛物线的顶点在$x$轴的上方时,求$m$的取值范围.
(3) 若抛物线与$y轴交于点A$,过点$A作AB// x$轴,交抛物线于另一点$B$,连接$OB$.当$S_{\triangle AOB}= 4$时,求此抛物线对应的函数解析式.

答案：
(1) 解：抛物线$y=x^2 - x + m$，
因为二次项系数$1＞0$，所以开口方向向上。
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$。
将$x = \frac{1}{2}$代入抛物线得：
$y=(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+m=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+m=m - \frac{1}{4}$，
所以顶点坐标为$(\frac{1}{2},m - \frac{1}{4})$。
(2) 解：因为顶点在$x$轴上方，所以顶点纵坐标大于$0$，
即$m - \frac{1}{4}＞0$，解得$m＞\frac{1}{4}$。
(3) 解：抛物线与$y$轴交于点$A$，令$x = 0$，则$y = m$，所以$A(0,m)$。
因为$AB// x$轴，所以点$B$的纵坐标为$m$，
令$x^2 - x + m = m$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，所以$B(1,m)$。
$OA = |m|$，$AB = 1 - 0 = 1$，
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OA× AB=\frac{1}{2}×|m|×1 = 4$，
即$|m| = 8$，$m = \pm8$，
所以抛物线解析式为$y = x^2 - x + 8$或$y = x^2 - x - 8$。

6. (2023·海安期中)将抛物线$y= x^{2}$平移得到抛物线$y= (x+2)^{2}-3$,则下列平移过程正确的是 (B)
A.先向左平移$2$个单位长度,再向上平移$3$个单位长度
B.先向左平移$2$个单位长度,再向下平移$3$个单位长度
C.先向右平移$2$个单位长度,再向下平移$3$个单位长度
D.先向右平移$2$个单位长度,再向上平移$3$个单位长度

答案： 【解析】：
首先，我们观察原抛物线$y = x^{2}$和平移后的抛物线$y = (x + 2)^{2} - 3$。
对于$x$的平移：原抛物线中的$x$变为$x+2$，根据“左加右减”的原则，这意味着抛物线在$x$方向上向左平移了$2$个单位长度。
对于$y$的平移：原抛物线上的每一点都向下移动了$3$个单位长度，因为在新抛物线中，每一个$y$值都减小了$3$。
综合以上两点，抛物线$y = x^{2}$需要先向左平移$2$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度，才能得到抛物线$y = (x + 2)^{2} - 3$。
【答案】：B

7. (2024·南通)将抛物线$y= x^{2}+2x-1向右平移3$个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为 (D)
A.$(-4,-1)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,-2)$

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数抛物线的平移性质。
首先，我们将给定的二次函数 $y = x^{2} + 2x - 1$ 化为顶点式。
通过配方，我们有：
$y = x^{2} + 2x - 1$
$= (x^{2} + 2x) - 1$
$= (x^{2} + 2x + 1) - 1 - 1$
$= (x + 1)^{2} - 2$
从上式可以看出，原抛物线的顶点坐标为 $(-1, -2)$。
根据题意，抛物线向右平移3个单位长度，即x坐标加3，y坐标不变。
所以，新抛物线的顶点坐标为 $(-1+3, -2) = (2, -2)$。
【答案】：
D. $(2, -2)$。