《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

24. 某景区商店以每件 2 元的批发价购进了一批纪念品. 经调查发现,当每件纪念品的定价为 3 元时,每天能卖出 500 件,而且每件纪念品的定价每上涨 0.1 元,其销售量将减少 10 件. 根据规定,纪念品的定价不能超过批发价的 2.5 倍.
(1) 当每件纪念品的定价为 3.6 元时,商店每天能卖出440件；
(2) 如果商店销售这批纪念品要实现每天 800 元的销售利润,那么应该如何定价？
解：设每件纪念品的定价为x元。根据题意可得方程$(x - 2)×\left(500 - 10×\frac{x - 3}{0.1}\right) = 800$，整理得$x^2 - 10x + 24 = 0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。因为定价不能超过$2×2.5 = 5$元，所以舍去$x_2 = 6$，故每件纪念品的定价应为4元。

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用和销售问题的建模。
(1) 主要考察的是如何根据题目条件建立销售量与定价之间的关系式。
当定价为3元时，销售量为500件。每增加0.1元，销售量减少10件。
因此，当定价为3.6元时，价格上涨了$3.6 - 3 = 0.6$元，
这是0.1元的6倍，所以销售量将减少$10 × 6 = 60$件。
所以，当定价为3.6元时，销售量为$500 - 60 = 440$件。
(2) 需要建立销售利润与定价之间的关系式，并解方程求解。
设每件纪念品的定价为x元。
销售利润 = (定价 - 批发价) × 销售量
根据题意，批发价为2元，当定价为3元时，销售量为500件。
每增加0.1元，销售量减少10件，所以销售量可以表示为$500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}$。
因此，销售利润可以表示为：
$(x - 2) × \left(500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}\right) = 800$
化简后得到一元二次方程，解此方程即可得到x的值。
同时，根据题意，定价不能超过批发价的2.5倍，即$x \leq 2 × 2.5 = 5$元。
【答案】：
(1) 当每件纪念品的定价为3.6元时，商店每天能卖出440件。
(2) 解：设每件纪念品的定价为x元。
根据题意，销售利润为：
$(x - 2) × \left(500 - 10 × \frac{x - 3}{0.1}\right) = 800$
展开并整理得：
$x^2 - 10x + 24 = 0$
解此方程，得到：
$x_1 = 4, \quad x_2 = 6$
由于定价不能超过5元，所以$x_2 = 6$不符合题意，舍去。
因此，每件纪念品的定价应为4元。

25. 阅读材料并解答下列问题.
材料 1：在解方程 $ (x^{2})^{2}-13x^{2}+36 = 0 $ 时,如果我们把 $ x^{2} $ 看成一个整体,然后设 $ y = x^{2} $,那么原方程可化为 $ y^{2}-13y + 36 = 0 $. 经过运算,可得原方程的解为 $ x_{1}= 2,x_{2}= -2,x_{3}= 3,x_{4}= -3 $. 我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法.
材料 2：已知实数 $ m,n $ 分别满足 $ m^{2}-m - 1 = 0,n^{2}-n - 1 = 0 $,且 $ m\neq n $,显然 $ m,n $ 是方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两个不等的实数根,由根与系数的关系可知,$ m + n = 1,mn = -1 $.
(1) 方程 $ x^{4}-5x^{2}+6 = 0 $ 的解为______；$x=\pm\sqrt{2}$，$x=\pm\sqrt{3}$
(2) 已知实数 $ a,b $ 分别满足 $ 2a^{4}-7a^{2}+1 = 0,2b^{4}-7b^{2}+1 = 0 $,且 $ a\neq b $,求 $ a^{4}+b^{4} $ 的值；$\frac{45}{4}$
(3) 若实数 $ m,n $ 分别满足 $ \frac{1}{m^{4}}+\frac{1}{m^{2}}= 7,n^{2}-n = 7 $,且 $ n＞0 $,则 $ \frac{1}{m^{4}}+n^{2} $ 的值为______.14

答案：
(1) 解：设$y = x^{2}$，则原方程可化为$y^{2}-5y + 6 = 0$，因式分解得$(y - 2)(y - 3)=0$，解得$y_{1}=2$，$y_{2}=3$。当$y = 2$时，$x^{2}=2$，$x=\pm\sqrt{2}$；当$y = 3$时，$x^{2}=3$，$x=\pm\sqrt{3}$。所以方程的解为$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=-\sqrt{2}$，$x_{3}=\sqrt{3}$，$x_{4}=-\sqrt{3}$。
(2) 解：设$y = a^{2}$，$z = b^{2}$，则方程可化为$2y^{2}-7y + 1 = 0$，$2z^{2}-7z + 1 = 0$。因为$a\neq b$，所以$y\neq z$，即$y$，$z$是方程$2t^{2}-7t + 1 = 0$的两个不等实根。由根与系数的关系得$y + z=\frac{7}{2}$，$yz=\frac{1}{2}$。$a^{4}+b^{4}=y^{2}+z^{2}=(y + z)^{2}-2yz=(\frac{7}{2})^{2}-2×\frac{1}{2}=\frac{49}{4}-1=\frac{45}{4}$。
(3) 解：由$\frac{1}{m^{4}}+\frac{1}{m^{2}}=7$，设$p=\frac{1}{m^{2}}$，则$p^{2}+p - 7 = 0$。由$n^{2}-n = 7$得$n^{2}-n - 7 = 0$，即$n^{2}=n + 7$。因为$n＞0$，且$p$与$n$满足同一方程$t^{2}+t - 7 = 0$（$n$满足$n^{2}-n - 7 = 0$可变形为$n^{2}+(-1)n - 7 = 0$，此处$p$方程为$t^{2}+t - 7 = 0$，若$p\neq n$，由根与系数关系$p + n=-1$，但$p=\frac{1}{m^{2}}＞0$，$n＞0$，$p + n＞0$，矛盾，故$p = n$）。所以$\frac{1}{m^{4}}+n^{2}=p^{2}+n^{2}=(7 - p)+n^{2}$，又$p = n$，则$7 - n + n^{2}=7 - n + n + 7 = 14$。
答案：
(1)$x=\pm\sqrt{2}$，$x=\pm\sqrt{3}$；
(2)$\frac{45}{4}$；
(3)$14$。