《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材P99探究变式)如图,PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B,连接AB,OB.若∠P= 70°,则∠ABO的度数为 (B)
A.30°
B.35°
C.45°
D.55°

答案： 【解析】：本题可根据切线的性质以及切线长定理，结合三角形内角和定理来求解$\angle ABO$的度数。
步骤一：根据切线的性质得到$\angle OBP$和$\angle OAP$的度数
已知$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，可得$OB\perp PB$，$OA\perp PA$，即$\angle OBP = \angle OAP = 90^{\circ}$。
步骤二：求出$\angle APB$的度数
在四边形$OAPB$中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，已知$\angle OBP = \angle OAP = 90^{\circ}$，$\angle P = 70^{\circ}$，则$\angle AOB = 360^{\circ} - \angle OBP - \angle OAP - \angle P = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$。
步骤三：根据等腰三角形的性质求出$\angle ABO$的度数
因为$OB = OA$（圆的半径相等），所以$\triangle OAB$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABO=\frac{1}{2}×(180^{\circ} - \angle AOB)=\frac{1}{2}×(180^{\circ} - 110^{\circ}) = 35^{\circ}$。
【答案】：B

2. (2024·崇川期中)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,⊙O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F.若BF= 4,AF= 6,则△ABC的面积是 (A)

A.24
B.28
C.32
D.36

答案： 【解析】：本题可先根据切线长定理得出线段之间的关系，进而求出$AB$、$AC$、$BC$的长度，最后根据直角三角形面积公式求解。
设$CE = CD = x$。
因为$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，三个切点分别为$D$、$E$、$F$，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
所以$AE=AF = 6$，$BD = BF = 4$，$CD = CE$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB=AF + BF=6 + 4 = 10$，$AC=AE + CE=6 + x$，$BC=BD + CD=4 + x$。
再根据勾股定理$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$(6 + x)^{2}+(4 + x)^{2}=10^{2}$。
展开式子可得$36 + 12x + x^{2}+16 + 8x + x^{2}=100$。
合并同类项得$2x^{2}+20x + 52 = 100$。
移项化为标准的一元二次方程形式$2x^{2}+20x - 48 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}+10x - 24 = 0$。
因式分解为$(x + 12)(x - 2)=0$，解得$x = 2$或$x = - 12$（线段长度不能为负舍去）。
所以$AC=6 + 2 = 8$，$BC=4 + 2 = 6$。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
【答案】：A

3. (2023·海安期中)如图,AB是⊙O的直径,DB,DE是⊙O的两条切线,切点分别为B,C,连接AC.若∠ACE= 25°,则∠D的度数为 (A)

A.50°
B.55°
C.60°
D.65°

答案： 解：连接OC，BC。
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，即∠OCD=90°。
∵∠ACE=25°，∠ACO+∠ACE=∠OCD=90°，
∴∠ACO=90°-25°=65°。
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=65°。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=25°。
∵DB是⊙O的切线，
∴DB⊥AB，即∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-25°=65°。
∵DB，DE是⊙O的切线，
∴DB=DC，
∴∠D=180°-2∠DBC=180°-2×65°=50°。
答案：A

4. (2023·嘉兴)如图,A是⊙O外一点,AB,AC分别与⊙O相切于点B,C,点D在$\overset{\frown}{BDC}$上.已知∠A= 50°,则∠D的度数为______.

65°

答案： 解：连接OB，OC。
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°。
在四边形ABOC中，∠A=50°，
∠BOC=360°-∠A-∠OBA-∠OCA=360°-50°-90°-90°=130°。
∵点D在$\overset{\frown}{BDC}$上，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
65°

5. 如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,P,C,D为切点.若AB= 10,AC= 7,则BD的长为3.

答案： 【解析】：
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
所以，由$AB$，$AC$是$\odot O$的切线可得$AP=AC=7$，
由$BD$，$BP$是$\odot O$的切线可得$BP=BD$，
因为$AB=AP+BP$，$AP=AC=7$，$AB=10$，
所以$BP=AB-AP=10-7=3$，
所以$BD=BP=3$。
【答案】：3。

6. (教材P100例2变式)如图,⊙O为△ABC的内切圆,AC= 10,AB= 8,BC= 9,D,E分别为边BC,AC上的点,且DE为⊙O的切线,求△CDE的周长.

答案： 解：设AB，BC，AC与⊙O的切点分别为F，G，H，DE与⊙O的切点为I。
由切线长定理得：AF=AH，BF=BG，CG=CH，DI=DG，EI=EH。
设AF=AH=x，BF=BG=y，CG=CH=z。
则有：$\begin{cases}x + y = 8 \\ y + z = 9 \\ x + z = 10\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = 4.5 \\ y = 3.5 \\ z = 5.5\end{cases}$
△CDE的周长=CD + CE + DE=CD + CE + DI + EI=CD + CE + DG + EH=(CD + DG) + (CE + EH)=CG + CH=z + z=2z=2×5.5=11。
答：△CDE的周长为11。

7. 如图,边长为$2\sqrt{3}$的等边三角形ABC的内切圆的半径为 (A)
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$

答案： 【解析】：本题主要考查等边三角形的内切圆半径的计算。
等边三角形的面积可以用以下两种方法表示：
方法一：直接利用等边三角形的面积公式。
已知等边三角形的边长为 $2\sqrt{3}$，则面积 $S$ 为：
$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×12=3\sqrt{3}$，
方法二：利用内切圆的性质。
等边三角形的面积也可以表示为：
$S = \frac{1}{2} × (\text{周长}) × (\text{内切圆半径})$，
等边三角形的周长为 $3 × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
设内切圆的半径为 $r$，则：
$S = \frac{1}{2} × 6\sqrt{3} × r = 3\sqrt{3}r$，
由于两种方法计算的面积应该相等，所以有：
$3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}r$，
解得 $r = 1$。
【答案】：A