《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1) 求证：AE= AB；
(2) 若AB= 10,BC= 6,求CD的长.

答案：
(1) 证明：连接OC。
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD。
∵AD⊥CD，
∴OC//AD，
∴∠OCB=∠E。
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠B=∠E，
∴AE=AB。
(2) 解：连接AC。
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8。
∵AE=AB=10，
S△ABE=$\frac{1}{2}$·AE·CD=$\frac{1}{2}$·BE·AC，
BE=BC+CE，由
(1)知AE=AB=10，∠E=∠B，
又∠ACE=∠ACB=90°，
∴△ACE≌△ACB(AAS)，
∴CE=BC=6，BE=12。
∴$\frac{1}{2}$×10×CD=$\frac{1}{2}$×12×8，解得CD=$\frac{48}{5}$。
答案：
(1) 见证明过程；
(2) CD=$\frac{48}{5}$。

2. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上一点,DE= DC,以点D为圆心,DB为半径作⊙D,AB= 10,EB= 6.
(1) 求证：AC是⊙D的切线；
(2) 求AC的长.

答案：
(1) 证明：过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠ABC=90°，AD平分∠BAC，
∴DB=DF.
∵DB为⊙D的半径，
∴DF为⊙D的半径.
∵DF⊥AC，
∴AC是⊙D的切线.
(2) 解：
∵AB=10，EB=6，
∴AE=AB-EB=4.
∵∠ABC=90°，
∴AB是⊙D的切线.
∵AC是⊙D的切线，
∴AF=AB=10.
设DC=DE=x，BC=BD+DC=BD+x.
在Rt△EBD中，EB=6，BD²+EB²=DE²，即BD²+6²=x²，BD²=x²-36.
在Rt△ABC中，AB=10，AC=AF+FC=10+FC，BC=BD+x，AB²+BC²=AC²，即10²+(BD+x)²=(10+FC)².
∵DF⊥AC，∠DFC=90°，DC=x，FC²+DF²=DC²，DF=BD，
∴FC²+BD²=x²，FC²=x²-BD²=36，FC=6.
∴AC=10+6=16.
答案：
(1) 证明见解析；
(2) 16.

3. 如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,AC平分∠EAB,∠E= 90°.
(1) 求证：CE是⊙O的切线；
(2) 若∠BDC= 30°,CE= √3,求⊙O的半径.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查了圆的切线的证明，需要证明从圆上一点引出的线段与通过该点的半径垂直。连接$OC$，通过证明$OC// AE$，且$AE\perp EC$，从而得出$OC\perp EC$，即可证明$CE$是$\odot O$的切线。
(2) 本题考查了圆的切线的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过三角函数或者特殊角三角形的性质，求出圆的直径或者半径的长度。
【答案】：
(1) 证明：
连接$OC$。
$\because OC=OA$，
$\therefore \angle OCA=\angle OAC$（等腰三角形的性质）。
$\because CD\perp AB$，
$\therefore \angle DCA+\angle CAB=90^\circ$（直角三角形的性质）。
$\because AC$平分$\angle EAB$，
$\therefore \angle OCA=\angle CAE$（角平分线的性质）。
$\therefore OC// AE$（平行线的判定）。
$\because \angle E=90^\circ$，
$\therefore \angle OCE=90^\circ$，即$OC\perp CE$。
$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线（圆的切线的性质）。
(2) 解：
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\angle BDC=30^\circ$，
$\therefore \angle BAC=\angle BDC=30^\circ$（同弧所对的圆周角相等）。
$\because \angle E=90^\circ$，$CE=\sqrt{3}$，
$\therefore$在$Rt\bigtriangleup ACE$中，
$AC=\frac{CE}{\sin30^\circ}=2\sqrt{3}$（正弦函数的定义）。
连接$BC$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB=90^\circ$（直径所对的圆周角为直角）。
$\because \angle BAC=30^\circ$，
$\therefore AB=\frac{AC}{\cos30^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$（余弦函数的定义）。
$\therefore \odot O$的半径为$\frac{AB}{2}=2$。

4. (2023·滨州)如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,且∠P= 56°.若C是⊙O上异于点A,B的一点,则∠ACB的度数为______62°或118°.

答案： 【解析】：本题主要考查了切线的性质以及圆周角定理。
由题可知，PA、PB分别与圆O相切于点A、B，且$\angle P=56^\circ$，
根据切线的性质，切线与半径垂直，所以$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$，
因为四边形内角和为$360^\circ$，且$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$，$\angle P=56^\circ$，
所以$\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ$，
当点C位于优弧AB时，根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
所以$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×124^\circ=62^\circ$，
当点C在劣弧AB上时，记劣弧AB上的点为$C^\prime$，
则优弧AOB上的点对应的圆周角$\angle AC^\prime B$与$\angle ACB$互补，
即$\angle AC^\prime B=180^\circ-\angle ACB=180^\circ-62^\circ=118^\circ$。
【答案】：$62^\circ$或$118^\circ$。