《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 用配方法解一元二次方程 $x^{2}+8x= -7$,下一步骤正确的是(A)
A.$x^{2}+8x + 4^{2}= -7 + 4^{2}$
B.$x^{2}+8x + 4^{2}= -7$
C.$x^{2}+8x + 8^{2}= -7$
D.$x^{2}+8x + 8^{2}= -7 + 8^{2}$

答案： 【解析】：
本题考查的是用配方法解一元二次方程的技巧。配方法通常用于将二次方程转化为完全平方的形式，从而简化求解过程。在本题中，我们需要将方程 $x^{2}+8x= -7$ 的左边配成完全平方的形式。
为了完成配方，我们需要找到一个数，使得 $x^{2}+8x$ 加上这个数后成为一个完全平方。这个数应该是线性项系数的一半的平方，即 $(8/2)^{2} = 16$。因此，我们需要在等式的两边都加上16，以保持等式的平衡。
原方程为：
$x^{2}+8x= -7$
配方后，方程变为：
$x^{2}+8x + 16= -7 + 16$
简化后得到：
$(x+4)^{2}= 9$
对比选项，我们发现这与选项A中的 $x^{2}+8x + 4^{2}= -7 + 4^{2}$ 是一致的，因为 $4^{2} = 16$。
【答案】：
A

2. (2024·如皋期末)一元二次方程 $t^{2}-2t - 1 = 0$ 配方后可化为(C)
A.$(t + 1)^{2}= 2$
B.$(t + 1)^{2}= 0$
C.$(t - 1)^{2}= 2$
D.$(t - 1)^{2}= 0$

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的配方法。
首先，我们有原方程 $t^{2} - 2t - 1 = 0$。
为了配方，我们需要将常数项移到等式的另一边，得到 $t^{2} - 2t = 1$。
接下来，我们要找到一次项系数的一半，即 $-\frac{2}{2} = -1$，然后求其平方，即 $(-1)^{2} = 1$。
将这个平方数加到等式两边，得到 $t^{2} - 2t + 1 = 1 + 1$。
简化后，我们得到 $(t - 1)^{2} = 2$。
与选项进行对比，我们发现这与选项C相匹配。
【答案】：
C

3. 用配方法解方程 $2x^{2}-x - 6 = 0$,有下列步骤：① $2x^{2}-x = 6$；② $x^{2}-\frac{1}{2}x = 3$；③ $x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}= 3+\frac{1}{4}$；④ $(x-\frac{1}{2})^{2}= \frac{13}{4}$。其中,开始出错的步骤是(C)
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 【解析】：
首先，我们来看原方程 $2x^{2}-x - 6 = 0$。
步骤① $2x^{2}-x = 6$ 是将方程中的常数项移至等式的右边，这个步骤是正确的。
步骤② $x^{2}-\frac{1}{2}x = 3$ 是将方程两边都除以2，从而化简方程，这个步骤也是正确的。
步骤③ $x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}= 3+\frac{1}{4}$ 是在等式的两边都加上 $\left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16}$（也就是 $\frac{1}{4}$），以便完成配方。但这里的计算出现了错误，正确的应该是加上 $\frac{1}{16}$ 而不是 $\frac{1}{4}$。正确的步骤应该是 $x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}= 3+\frac{1}{16}$。
步骤④ $(x-\frac{1}{2})^{2}= \frac{13}{4}$ 是基于步骤③的结果，但由于步骤③的错误，这一步也是错误的。如果步骤③正确，这里应该是 $(x-\frac{1}{4})^{2}= \frac{49}{16}$。
由于题目要求找出开始出错的步骤，所以是步骤③。
但此题是选择题，需要选出最先出错的那一步，根据选项，最先出错的是步骤②后的结果用于步骤③的计算，但考虑到步骤本身（即加或减的数值）并未在选项中体现，我们应选择它导致后续错误的那一步，即步骤③导致的错误在步骤④中体现，但核心错误源于步骤③。由于选项是给出步骤编号，这里需理解为导致后续无法正确进行的最初步骤，按照题目选项逻辑，应理解为步骤转换到下一步开始出错的地方，因此选择最接近导致错误结果的步骤，按题目设定应选最直接导致错误结果出现的步骤前一步的正确性判断，按题目给出的选项逻辑，这里指出实际执行配方的步骤③是按正常流程应当识别出错误的地方（因为直接导致了④的错误结果），但在选项中应理解为识别出哪一步执行后导致了不可逆的错误，故按照题目和选项的逻辑应回溯至导致此错误配方的直接前一步的正确执行结果被错误应用的步骤，即应识别为步骤转换到③时开始出错（因为②到③的转换中，配方应用的关键数值加错了），所以按题目要求选最先导致后续错误不可纠正的步骤标识，这里理解为题目询问的是识别出哪一步执行后导致了错误结果的开始，故应选C（因为③是首个导致后续错误无法通过后续步骤自然纠正的步骤，尽管④体现了错误结果，但③是首个错误执行步骤）。这里的解释考虑了题目选项的限制和逻辑询问的重点。
然而，根据常规理解，我们通常会指出直接导致错误结果的那一步，但在此题目的选项限制下，我们应选择C，因为它是首个按照正常步骤执行后却导致错误结果的步骤（即配方加数错误），这是题目询问的重点。
但严格按照题目中的“开始出错”的指引，并考虑到选项，我们应理解为询问的是哪一步的执行首次导致了无法通过后续步骤自然纠正的错误，因此答案是C，因为它是首个错误执行的步骤，直接导致了后续的错误结果。
但为了与题目选项和常规理解对齐，我们简化为：步骤③是首个按照配方法应当执行却执行错误的步骤，因此选C。
【答案】：C

4. (2024·东营)用配方法解一元二次方程 $x^{2}-2x - 2023 = 0$,将它转化为 $(x + a)^{2}= b$ 的形式,则 $a^{b}$ 的值为(D)
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$

答案： 【解析】：
本题要求使用配方法将一元二次方程 $x^{2}-2x - 2023 = 0$ 转化为 $(x + a)^{2}= b$ 的形式，并求出 $a^{b}$ 的值。
首先，我们将方程 $x^{2}-2x - 2023 = 0$ 进行配方。
将常数项移到等式右边，得到 $x^{2}-2x = 2023$。
为了完成配方，我们在等式两边加上1（即一次项系数的一半的平方），得到
$x^{2}-2x + 1 = 2023 + 1$
$(x - 1)^{2} = 2024$
此时，我们可以确定 $a = -1$（因为配方后形式为 $(x - 1)^{2}$，所以 $a = -1$），$b = 2024$。
最后，计算 $a^{b} = (-1)^{2024} = 1$。
【答案】：
D. $1$

5. (教材 P9 练习第 1 题变式)用适当的数填空：
(1) $x^{2}+8x+$16$=(x+$4$)^{2}$；
(2) $x^{2}-4x+$4$=(x-$2$)^{2}$；
(3) $x^{2}+3x+$$\frac{9}{4}$$=(x+$$\frac{3}{2}$$)^{2}$；
(4) $x^{2}-\frac{2}{7}x+$$\frac{1}{49}$$=(x-$$\frac{1}{7}$$)^{2}$。

答案： 【解析】：
本题考查的是利用完全平方公式进行配方。完全平方公式为$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$和$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
对于形如$x^2 + bx$的式子，为了使其成为完全平方，我们需要加上和减去$(\frac{b}{2})^2$。
(1) 对于$x^2 + 8x$，其中$b=8$，所以我们需要加上$(\frac{8}{2})^2 = 16$，于是得到$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$。
(2) 对于$x^2 - 4x$，其中$b=-4$，所以我们需要加上$(\frac{-4}{2})^2 = 4$，于是得到$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$。
(3) 对于$x^2 + 3x$，其中$b=3$，所以我们需要加上$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，于是得到$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2$。
(4) 对于$x^2 - \frac{2}{7}x$，其中$b=-\frac{2}{7}$，所以我们需要加上$(\frac{-\frac{2}{7}}{2})^2 = \frac{1}{49}$，于是得到$x^2 - \frac{2}{7}x + \frac{1}{49} = (x - \frac{1}{7})^2$。
【答案】：
(1) $16$；$4$
(2) $4$；$2$
(3) $\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
(4) $\frac{1}{49}$；$\frac{1}{7}$

6. (2024·南通期末)若一元二次方程 $x^{2}+6x - 1 = 0$ 经过配方,变形为 $(x + 3)^{2}= n$ 的形式,则 $n$ 的值为______。10

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的配方法。
配方法是指将一个二次多项式通过加上和减去一个常数，转化为一个完全平方的形式。
对于给定的方程 $x^{2} + 6x - 1 = 0$，我们需要将其配方成 $(x + 3)^{2} = n$ 的形式。
首先，我们将方程 $x^{2} + 6x - 1 = 0$ 改写为 $x^{2} + 6x = 1$。
接着，为了配方，我们在等式的两边都加上 $3^{2} = 9$，得到 $x^{2} + 6x + 9 = 10$。
这样，我们就将方程左边配成了一个完全平方的形式，即 $(x + 3)^{2} = 10$。
由此可得，$n = 10$。
【答案】：
$10$

7. (教材 P9 练习第 2 题变式)解下列方程：
(1) $x^{2}-10x + 9 = 0$；
(2) $-y^{2}-2y + 3 = 0$；
(3) $x(x + 5)= 7x + 15$；
(4) $3(x - 1)(x + 2)= x - 7$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了利用配方法解一元二次方程的知识点。
对于形如$ax^2 + bx + c = 0$的一元二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式，从而求解。
(1) 对于方程 $x^{2} - 10x + 9 = 0$，可以通过配方转化为 $(x - 5)^{2} - 25 + 9 = 0$，即 $(x - 5)^{2} = 16$，进一步解得 $x - 5 = \pm 4$，所以 $x_1 = 9, x_2 = 1$。
(2) 对于方程 $-y^{2} - 2y + 3 = 0$，先将其转化为 $y^{2} + 2y - 3 = 0$，然后配方得 $(y + 1)^{2} - 1 - 3 = 0$，即 $(y + 1)^{2} = 4$，进一步解得 $y + 1 = \pm 2$，所以 $y_1 = 1, y_2 = -3$。
(3) 对于方程 $x(x + 5) = 7x + 15$，先展开并整理得 $x^{2} + 5x - 7x - 15 = 0$，即 $x^{2} - 2x - 15 = 0$，然后因式分解或使用求根公式求解。这里我们使用配方方法，得 $(x - 1)^{2} - 1 - 15 = 0$，即 $(x - 1)^{2} = 16$，进一步解得 $x - 1 = \pm 4$，所以 $x_1 = 5, x_2 = -3$。
(4) 对于方程 $3(x - 1)(x + 2) = x - 7$，先展开并整理得 $3x^{2} + 3x - 6 = x - 7$，即 $3x^{2} + 2x + 1 = 0$，然后判断其判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 × 3 × 1 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$，因此方程无实数解。
【答案】：
(1) $x_1 = 9, x_2 = 1$
(2) $y_1 = 1, y_2 = -3$
(3) $x_1 = 5, x_2 = -3$
(4) 方程无实数解

8. (新情境·游戏活动)如图,某数学兴趣小组的四名同学以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤。老师看后,发现从一名同学开始出现错误,则这名同学是(B)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： 解：原方程 $2x^2 + 4x - 1 = 0$
甲：移项得 $2x^2 + 4x = 1$，正确；
乙：方程两边同除以2得 $x^2 + 2x = \frac{1}{2}$，乙写成$x^2 + 2x = 1$，错误；
结论：从乙开始出现错误。
答案：B