《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 某农场拟建两间矩形饲养室,一边靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留一扇1m宽的门.若计划中的材料可建墙体(不包括门)的总长为27m,则能建成的饲养室的总面积最大为 (A)
A.$75m^{2}$
B.$\frac{75}{2}m^{2}$
C.$48m^{2}$
D.$\frac{225}{2}m^{2}$

答案： 【解析】：本题考查二次函数最值问题。
设垂直于墙的一边长为$x$米，
由于三处各留一扇1m宽的门，且墙体（不包括门）的总长为27m，
则平行于墙的一边长为$(27+3-3x)$米，即$(30-3x)$米。
饲养室的总面积$S$可以表示为：
$S=x(30-3x)=-3x^2+30x$，
由于二次项系数$a=-3＜0$，
所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在对称轴上，
对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$，
代入$a=-3$，$b=30$，
得到$x=5$。
将$x=5$代入原函数，得到最大面积：
$S=-3×5^2+30×5=75$（平方米）。
【答案】：A.$75m^2$。

2. (2024·湖北)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成(如图).已知墙长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边AB的长为xm,平行于墙的边BC的长为ym,围成的矩形花圃的面积为$Sm^{2}$.
(1) 求y与x,S与x之间的函数解析式.
(2) 围成的矩形花圃的面积能否为$750m^{2}$? 若能,求出x的值;若不能,请说明理由.
(3) 围成的矩形花圃是否存在最大面积? 若存在,求出这个最大面积,并求出此时x的值;若不存在,请说明理由.

答案： 【解析】：
(1)由题意，篱笆总长80m，一边靠墙，设垂直于墙的边$AB$的长为$x$m，平行于墙的边$BC$的长为$y$m，
可得：$2x+y=80$，
即：$y=80-2x$，
又矩形的面积$S=x× y$，
将$y=80-2x$代入得：$S=x(80-2x)=-2x^2+80x$，
因为墙长$42m$，所以$0＜y\leq42$，
即$0＜80-2x\leq42$，
解得：$19\leq x＜40$，
所以，$y$与$x$，$S$与$x$之间的函数解析式分别为$y=80-2x(19\leq x＜40)$，$S=-2x^2+80x(19\leq x＜40)$。
(2)若矩形花圃的面积为$750m^2$，
则：$-2x^2+80x=750$，
移项得：$2x^2-80x+750=0$，
化简得：$x^2-40x+375=0$，
因式分解得：$(x-15)(x-25)=0$，
解得：$x_1=15$，$x_2=25$，
当$x=15$时，$y=80-2×15=50＞42$（不符合题意，舍去），
当$x=25$时，$y=80-2×25=30＜42$（符合题意），
所以，当$x=25$时，围成的矩形花圃的面积为$750m^2$。
(3)对于二次函数$S=-2x^2+80x$，其开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$，
因为$a=-2＜0$，所以函数在对称轴$x=20$处取得最大值，
将$x=20$代入$S=-2x^2+80x$得：$S_{max}=-2×20^2+80×20=800$，
所以，当$x=20$时，围成的矩形花圃有最大面积，最大面积为$800m^2$。
【答案】：
(1)$y=80-2x(19\leq x＜40)$，$S=-2x^2+80x(19\leq x＜40)$；
(2)能，$x=25$；
(3)存在，当$x=20$时，最大面积为$800m^2$。

3. 某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个的成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(单位:个)与销售价格x(单位:元/个)之间的关系如图所示,当$10\leqslant x\leqslant 20$时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元.

答案： 【解析】：
本题可先根据图象求出当$10\leqslant x\leqslant 20$时销售量$y$与销售价格$x$的函数关系式，再根据利润公式列出利润关于销售价格的函数关系式，最后根据二次函数的性质求出最大利润。
1.求当$10\leqslant x\leqslant 20$时销售量$y$与销售价格$x$的函数关系式：
设当$10\leqslant x\leqslant 20$时，$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知图象过点$A(10,20)$，$B(20,10)$，将这两点代入$y = kx + b$中可得方程组$\begin{cases}10k + b = 20\\20k + b = 10\end{cases}$。
用第一个方程减去第二个方程消去$b$可得：
$\begin{aligned}(10k + b)-(20k + b)&=20 - 10\\10k + b - 20k - b&=10\\-10k&=10\\k&=-1\end{aligned}$
将$k = -1$代入$10k + b = 20$可得：
$\begin{aligned}10×(-1)+b&=20\\-10 + b&=20\\b&=30\end{aligned}$
所以，当$10\leqslant x\leqslant 20$时，$y$与$x$的函数关系式为$y = -x + 30$。
2.求利润关于销售价格的函数关系式：
设总利润为$W$元，已知每个冷饮的成本为$8$元，根据“利润$=$（销售价格$-$成本）$×$销售量”，可得：
$W=(x - 8)y=(x - 8)(-x + 30)=-x^2 + 30x + 8x - 240=-x^2 + 38x - 240$。
3.求最大利润：
对于二次函数$W = -x^2 + 38x - 240$，其中$a = -1\lt0$，所以函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。
对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，将$a = -1$，$b = 38$代入可得：
$x = -\frac{38}{2×(-1)} = 19$。
因为$10\leqslant x\leqslant 20$，$19$在这个区间内，所以当$x = 19$时，$W$有最大值。
将$x = 19$代入$W = -x^2 + 38x - 240$可得：
$\begin{aligned}W&=-19^2 + 38×19 - 240\\&=-361 + 722 - 240\\&=361 - 240\\&=121\end{aligned}$
【答案】：$121$

4. (2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查,当每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1) 求y与x之间的函数解析式.当每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大? 最大利润为多少元?
(2) 全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?

答案：
(1) 解：由题意得，每辆轮椅降价$x$元，则每辆盈利$(200 - x)$元，每天多售出$\frac{4x}{10} = \frac{2x}{5}$辆，每天售出$(60 + \frac{2x}{5})$辆。
$y=(200 - x)(60 + \frac{2x}{5})$，展开化简得$y=-\frac{2}{5}x^{2} + 20x + 12000$。
因为每辆轮椅利润不低于180元，所以$200 - x\geq180$，解得$x\leq20$。
对于二次函数$y=-\frac{2}{5}x^{2} + 20x + 12000$，对称轴为$x = -\frac{20}{2×(-\frac{2}{5})}=25$，因为$a=-\frac{2}{5}＜0$，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，又$x\leq20$，所以当$x = 20$时，$y$有最大值。
$y_{max}=-\frac{2}{5}×20^{2} + 20×20 + 12000=12320$。
所以$y$与$x$的函数解析式为$y=-\frac{2}{5}x^{2} + 20x + 12000(0\leq x\leq20)$，当每辆轮椅降价20元时，每天销售利润最大，最大利润为12320元。
(2) 解：当$y = 12160$时，$-\frac{2}{5}x^{2} + 20x + 12000 = 12160$，整理得$x^{2}-50x + 400 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=40$（因为$x\leq20$，舍去）。
每天售出轮椅数量为$60 + \frac{2×10}{5}=64$辆。
所以这天售出了64辆轮椅。