《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(a^{2}-3a)x+a= 0$的两个实数根互为倒数,则a的值为(C)
A.-3
B.0
C.1
D.-3或0

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的性质，若方程$x^{2}+bx+c=0$的两个根互为倒数，则它们的乘积为1，
即$c=1$（在本题中，$c$对应的是$a$，但注意这里的$a$是方程的系数，不是方程的根）。
同时，由于方程有两个实数根，所以判别式$\Delta$必须大于等于0。
对于方程$x^{2}+(a^{2}-3a)x+a= 0$，其根的乘积为$a$，由于根互为倒数，所以$a=1$。
再验证判别式：
$\Delta = (a^{2}-3a)^{2}-4a$
将$a=1$代入得：
$\Delta = (1-3)^{2}-4×1=4-4=0$
由于$\Delta=0$，方程确实有两个相等的实数根（在这里是互为倒数，即都为1或都为-1，但由于乘积为1，所以都为1），满足题意。
另外，我们还需要检查$a=-3$时的情况（因为选项中有-3），但经过验证，当$a=-3$时，根的乘积不为1，所以不满足题意。
而$a=0$时，方程变为$x^2=0$，根不是互为倒数，也不满足题意。
所以，只有$a=1$满足所有条件，但由于我们需要通过根的乘积为1来求解，直接得出$a=1$后，需要验证其确实满足题意（即判别式大于等于0，且根互为倒数）。
而题目中直接问的是$a$的值，所以我们直接给出答案$a=1$对应的选项。
【答案】：
C

9. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}+1= 0有两个不等的实数根x_{1},x_{2}$.若$x_{1}x_{2}= 5$,则k的值为2.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式。
首先，由于方程$x^{2} + (2k + 1)x + k^{2} + 1 = 0$有两个不等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$，根据根的判别式，我们有：
$\Delta = (2k + 1)^{2} - 4(k^{2} + 1) ＞ 0$
化简得：
$4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4 ＞ 0$
$4k - 3 ＞ 0$
$k ＞ \frac{3}{4}$
其次，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_{1}x_{2} = k^{2} + 1$
题目给出$x_{1}x_{2} = 5$，代入上式得：
$k^{2} + 1 = 5$
$k^{2} = 4$
$k = \pm 2$
最后，我们需要检验这两个解是否都满足$\Delta ＞ 0$的条件。
当$k = 2$时，$\Delta = (2 × 2 + 1)^{2} - 4(2^{2} + 1) = 9 ＞ 0$，满足条件。
当$k = -2$时，$\Delta = (2 × (-2) + 1)^{2} - 4((-2)^{2} + 1) = -7 ＜ 0$，不满足条件。
因此，$k = 2$是题目的解，但由于需要满足$k ＞ \frac{3}{4}$且$k$需要为实数，经过检验，只有$k = 2$满足所有条件（$k=-2$被舍去，因为不满足$\Delta ＞ 0$）。
但由于我们直接通过$x_{1}x_{2} = k^{2} + 1 = 5$求解，并检验了$k=\pm 2$，确定只有$k=2$满足题意，所以最终答案为$k=2$（注意，此处虽然初步解得$k=\pm 2$，但经过检验，只有$k=2$是符合题目所有条件的解）。
【答案】：
$k = 2$

10. (2024·海门期末)已知关于x的一元二次方程$mx^{2}-(m+3)x+3= 0$有两个不等的实数根.若此方程的两根均为正整数,则正整数m的值为____1.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系。
首先，由于方程$mx^{2} - (m + 3)x + 3 = 0$有两个不等的实数根，根据根的判别式，我们有：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (m + 3)^{2} - 4 × m × 3 = (m - 3)^{2} ＞ 0$
由于$\Delta ＞ 0$，我们得出$m \neq 3$。
又因为题目要求方程的两根均为正整数，我们可以利用根与系数的关系来进一步求解。
根据根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a} = \frac{m + 3}{m} = 1 + \frac{3}{m}$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{m}$
由于$x_{1}$和$x_{2}$都是正整数，那么$\frac{3}{m}$也必须是正整数。这意味着$m$只能是3的正约数，即$m=1$或$m=3$。但由于前面我们已经得出$m \neq 3$，所以$m$只能取1。
当$m=1$时，原方程变为$x^{2} - 4x + 3 = 0$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = 3$，满足两根均为正整数的条件。
【答案】：
1

11. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+\sqrt {m}x-2= 0$有两个实数根.
(1) 求m的取值范围;
(2) 设该方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且满足$(x_{1}-x_{2})^{2}-17= 0$,求m的值.

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。
(1) 要求方程有两个实数根，需满足判别式Δ ≥ 0。
方程为 $x^2 + \sqrt{m}x - 2 = 0$，其中 $a=1$，$b=\sqrt{m}$，$c=-2$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (\sqrt{m})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = m + 8$。
由 $\Delta \geq 0$ 得 $m + 8 \geq 0$，即 $m \geq -8$。
但因 $\sqrt{m}$ 存在，需 $m \geq 0$。
综上，$m$ 的取值范围为 $m \geq 0$。
(2) 设方程的两根为 $x_1, x_2$，由根与系数关系：
$x_1 + x_2 = -\sqrt{m}$，$x_1 x_2 = -2$。
已知 $(x_1 - x_2)^2 - 17 = 0$，即 $(x_1 - x_2)^2 = 17$。
展开得 $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 17$，代入根与系数关系：
$(-\sqrt{m})^2 - 4 \cdot (-2) = 17$，即 $m + 8 = 17$，解得 $m = 9$。
【答案】：
(1) $m$ 的取值范围是 $m \geq 0$；
(2) $m$ 的值为 $\boxed{9}$。

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4x-2k+8= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$.
(1) 求k的取值范围;
(2) 若$x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}= 24$,求k的值.

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。
(1) 方程有两个实数根，需满足判别式Δ≥0。
Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×1×(-2k+8) = 16 + 8k - 32 = 8k - 16 ≥ 0
解得 k ≥ 2。
(2) 利用根与系数关系：
x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = -2k + 8。
表达式化简：
x₁³x₂ + x₁x₂³ = x₁x₂(x₁² + x₂²) = x₁x₂[(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂]
代入已知条件：
(-2k + 8)(4² - 2(-2k + 8)) = 24
(-2k + 8)(16 + 4k - 16) = 24
(-2k + 8)(4k) = 24
-8k² + 32k = 24
整理得：k² - 4k + 3 = 0
解得 k = 1 或 k = 3。结合
(1)中k ≥ 2，舍去k=1，故k=3。
【答案】：
(1) $k \geq 2$
(2) $k = 3$

13. 已知$□ ABCD$的两边AB,BC的长是关于x的方程$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}= 0$的两个实数根.
(1) 求证:无论m取何值,该方程总有两个实数根.
(2) 当m为何值时,四边形ABCD是菱形? 求出此时菱形的边长.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，以及菱形的性质。
(1)为了证明无论m取何值,该方程总有两个实数根，我们需要用到一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$。
已知方程$x^{2} - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$，其中$a = 1, b = -m, c = \frac{m}{2} - \frac{1}{4}$。
代入判别式，得：
$\Delta = (-m)^{2} - 4 × 1 × (\frac{m}{2} - \frac{1}{4})$
$= m^{2} - 2m + 1$
$= (m - 1)^{2}$
由于$(m - 1)^{2} \geq 0$，所以无论m取何值，$\Delta \geq 0$，即该方程总有两个实数根。
(2)为了求出当四边形ABCD是菱形时的m值及菱形的边长，我们需要用到菱形的性质：菱形的四条边相等。
所以，AB = BC，即方程$x^{2} - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$有两个相等的实数根。
根据一元二次方程的根的判别式，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
由
(1)知，$\Delta = (m - 1)^{2}$，
令$(m - 1)^{2} = 0$，
解得$m = 1$。
将$m = 1$代入原方程，得：
$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$
解得$x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$。
所以，当$m = 1$时，四边形ABCD是菱形，且菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
【答案】：
(1)证明见解析，无论m取何值,该方程总有两个实数根。
(2)当$m = 1$时，四边形ABCD是菱形，且菱形的边长为$\frac{1}{2}$。