《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程$x^{2}-1= 0$的根为(D)
A.$x= 1$
B.$x= -1$
C.$x= \frac{1}{2}$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= -1$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的求解。
给定方程为 $x^{2} - 1 = 0$，这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者使用求根公式来求解。
这里，我们选择因式分解的方法。
首先，将方程 $x^{2} - 1 = 0$ 改写为 $x^{2} = 1$。
然后，对方程两边同时开平方，得到 $x = \pm 1$。
所以，方程的两个解分别为 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = -1$。
【答案】：
D. $x_{1}= 1,x_{2}= -1$。

2. 一元二次方程$9x^{2}= 1$的根是(C)
A.$x_{1}= x_{2}= 3$
B.$x_{1}= 3,x_{2}= -3$
C.$x_{1}= \frac{1}{3},x_{2}= -\frac{1}{3}$
D.$x_{1}= x_{2}= \frac{1}{3}$

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的求解。
首先，将方程 $9x^{2} = 1$ 化为标准形式 $x^{2} = \frac{1}{9}$。
接着，对方程两边同时开平方，得到 $x = \pm \frac{1}{3}$。
因此，方程的两个根分别为 $x_{1} = \frac{1}{3}$ 和 $x_{2} = -\frac{1}{3}$。
【答案】：
C. $x_{1}= \frac{1}{3},x_{2}= -\frac{1}{3}$

3. 一元二次方程$(x-1)^{2}= 25$可以转化为两个一元一次方程,若其中一个一元一次方程是$x-1= 5$,则另一个一元一次方程是(C)
A.$x+1= -5$
B.$x+1= 5$
C.$x-1= -5$
D.$x-1= 5$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法，特别是通过给定的方程形式转化为两个一元一次方程来求解。
给定方程为 $(x-1)^{2} = 25$，根据平方根的性质，我们可以得到两个方程：
$x - 1 = 5$
$x - 1 = -5$
题目已经给出了其中一个方程 $x - 1 = 5$，我们需要找出另一个方程。
对比选项，我们发现另一个方程应为 $x - 1 = -5$。
【答案】：
C. $x-1= -5$

4. 有下列方程:①$\frac{1}{3}x^{2}= 1$;②$(x-2)^{2}= 5$;③$\frac{1}{4}(x+3)^{2}= 3$;④$x^{2}= x+3$;⑤$3x^{2}-3= x^{2}+1$;⑥$y^{2}-2y-3= 0$.其中,根据平方根的意义,直接可以得到解的方程的个数为(D)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解：①$\frac{1}{3}x^{2}=1$，可化为$x^{2}=3$，能直接根据平方根意义求解；
②$(x-2)^{2}=5$，能直接根据平方根意义求解；
③$\frac{1}{4}(x+3)^{2}=3$，可化为$(x+3)^{2}=12$，能直接根据平方根意义求解；
④$x^{2}=x+3$，不能直接化为$(x+m)^{2}=n$（$n\geq0$）的形式，需移项配方；
⑤$3x^{2}-3=x^{2}+1$，可化为$2x^{2}=4$即$x^{2}=2$，能直接根据平方根意义求解；
⑥$y^{2}-2y-3=0$，不能直接化为$(y+m)^{2}=n$（$n\geq0$）的形式，需配方。
综上，①②③⑤可直接根据平方根意义求解，共4个。
答案：D

5. (教材P6练习变式)方程$\frac{1}{3}(x-1)^{2}= 3$的根是$x_{1} = 4$，$x_{2} = -2$.

答案： 【解析】：
本题考查了利用配方法解一元二次方程的能力。
首先，我们将方程 $\frac{1}{3}(x-1)^{2}= 3$ 两边同时乘以3，得到 $(x-1)^{2} = 9$。
接着，对方程两边同时开平方，得到 $x-1 = \pm 3$。
最后，我们分别解出 $x$ 的值，即 $x = 1 \pm 3$，得到 $x_{1} = 4$，$x_{2} = -2$。
【答案】：
$x_{1} = 4$，$x_{2} = -2$。

6. (教材P6练习变式)方程$(x-2)^{2}= 7$的根是$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{7}$.

答案： 【解析】：
本题是一个一元二次方程的求解问题，需要利用平方根的定义来求解。
首先，我们有方程 $(x-2)^{2} = 7$。
根据平方根的定义，如果 $a^{2} = b$，那么 $a = \pm \sqrt{b}$。
应用这个定义到我们的方程，我们得到：
$x - 2 = \pm \sqrt{7}$
然后，分别解出 $x$ 的两个值：
$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$
$x_{2} = 2 - \sqrt{7}$
【答案】：
$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{7}$

7. 解下列方程:
(1)$3x^{2}-2= 25$;
(2)(2024·海安期末)$2(x-1)^{2}= 98$;
(3)$(x+1)^{2}-16= 0$;
(4)$(3x-4)^{2}-5= 116$;
(5)$(2x-3)^{2}+3= 1$;
(6)$(3x-2)^{2}= (x+4)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了利用平方根的性质解一元二次方程，即通过移项、开方等步骤求解。
(1) 对于方程 $3x^{2} - 2 = 25$，可以先移项得到 $3x^{2} = 27$，再除以3得到 $x^{2} = 9$，最后开方得到解。
(2) 对于方程 $2(x-1)^{2} = 98$，可以先除以2得到 $(x-1)^{2} = 49$，然后开方得到解。
(3) 对于方程 $(x+1)^{2} - 16 = 0$，可以先移项得到 $(x+1)^{2} = 16$，然后开方得到解。
(4) 对于方程 $(3x-4)^{2} - 5 = 116$，可以先移项得到 $(3x-4)^{2} = 121$，然后开方得到解。
(5) 对于方程 $(2x-3)^{2} + 3 = 1$，可以先移项得到 $(2x-3)^{2} = -2$，由于平方数不能为负数，所以此方程无实数解。
(6) 对于方程 $(3x-2)^{2} = (x+4)^{2}$，可以直接开方得到两个一元一次方程，然后求解。
【答案】：
(1) 解：
$3x^{2} - 2 = 25$
$3x^{2} = 27$
$x^{2} = 9$
$x = \pm 3$
所以，$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$。
(2) 解：
$2(x-1)^{2} = 98$
$(x-1)^{2} = 49$
$x-1 = \pm 7$
所以，$x_{1} = 8$，$x_{2} = -6$。
(3) 解：
$(x+1)^{2} - 16 = 0$
$(x+1)^{2} = 16$
$x+1 = \pm 4$
所以，$x_{1} = 3$，$x_{2} = -5$。
(4) 解：
$(3x-4)^{2} - 5 = 116$
$(3x-4)^{2} = 121$
$3x-4 = \pm 11$
所以，$x_{1} = 5$，$x_{2} = -\frac{7}{3}$。
(5) 解：
$(2x-3)^{2} + 3 = 1$
$(2x-3)^{2} = -2$
由于平方数不能为负数，所以此方程无实数解。
(6) 解：
$(3x-2)^{2} = (x+4)^{2}$
$3x-2 = \pm (x+4)$
解得：$x_{1} = 3$，$x_{2} = -\frac{1}{2}$。