《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 某超市销售一种商品,发现一星期可获得的利润$y$(单位：元)与销售单价$x$(单位：元)之间满足$y= -2(x-20)^{2}+1558$,且$15\leqslant x\leqslant 22$,则销售该种商品一星期可获得的最大利润是 (A)
A.1558元
B.1550元
C.1508元
D.20元

答案： 解：已知利润函数为$y = -2(x - 20)^2 + 1558$，其中$15 \leq x \leq 22$。
该函数为二次函数，二次项系数$-2 ＜ 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点坐标为$(20, 1558)$，且$20$在自变量取值范围$15 \leq x \leq 22$内。
所以当$x = 20$时，$y$取得最大值$1558$元。
答案：A

2. 若一种服装的销售盈利$y$(单位：万元)与销售数量$x$(单位：万件)之间满足函数解析式$y= -2x^{2}+4x+5$,则盈利的 (B)
A.最大值为5万元
B.最大值为7万元
C.最小值为5万元
D.最小值为7万元

答案： 【解析】：
本题考察二次函数的性质。
首先，给定的函数是 $y = -2x^2 + 4x + 5$，这是一个开口向下的二次函数，因为二次项系数 $a = -2 ＜ 0$。
对于开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，对称轴的方程是 $x = -\frac{b}{2a}$。
在本题中，$a = -2, b = 4$，所以对称轴为 $x = -\frac{4}{2 × (-2)} = 1$。
将 $x = 1$ 代入原函数 $y = -2x^2 + 4x + 5$，得到 $y = -2×(1)^2 + 4×(1) + 5 = -2 + 4 + 5 = 7$。
因此，当 $x = 1$ 时，盈利 $y$ 取得最大值 7 万元。
根据以上分析，答案选 B。
【答案】：
B. 最大值为7万元。

3. 如图所示为某商品的利润$y$(单位：元)与单价$x$(单位：元)之间的函数图象(抛物线的一部分),则下列说法不正确的是 (D)
A.当单价为40元时,获得的利润最大,为1000元
B.当单价为20元或60元时,获得的利润相等
C.当单价在40元到80元之间时,单价越高,利润越低
D.无论单价定为多少元,单价越高,利润越低

答案： 【解析】：本题可根据二次函数的图象性质，对每个选项逐一进行分析。
选项A：
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
从图象可知该抛物线开口向下，顶点坐标为$(40,1000)$，所以当单价$x = 40$元时，利润$y$有最大值$1000$元，该选项正确。
选项B：
由二次函数图象的对称性可知，抛物线是关于对称轴对称的。
此抛物线的对称轴为$x = 40$，$20$与$60$关于$x = 40$对称，所以当单价为$20$元或$60$元时，获得的利润相等，该选项正确。
选项C：
因为抛物线开口向下，对称轴为$x = 40$，所以在对称轴右侧，即$x\gt40$时，$y$随$x$的增大而减小。
那么当单价在$40$元到$80$元之间时，单价越高，利润越低，该选项正确。
选项D：
由前面分析可知，在对称轴$x = 40$左侧，即$x\lt40$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴$x = 40$右侧，即$x\gt40$时，$y$随$x$的增大而减小。
所以并不是无论单价定为多少元，单价越高，利润越低，该选项错误。
【答案】：D。

4. 已知销售商销售某日用品每月获得的利润$y$(单位：元)与销售单价$x$(单位：元)之间满足$y= -30x^{2}+1440x-15360$,则当销售单价为24元时,获得最大利润,最大利润为1920元.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的顶点坐标的求解。
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，将$a = -30$，$b = 1440$代入可得顶点的横坐标，即销售单价为$-\frac{1440}{2× (-30)} = 24$。
再将$x = 24$代入原函数可得最大利润$y$的值。
【答案】：
解：对于利润函数$y = -30x^{2} + 1440x - 15360$，
其顶点的横坐标为销售单价，计算得$x = -\frac{1440}{2× (-30)} = 24$，
将$x = 24$代入原函数得最大利润$y$，
$y = -30× 24^{2} + 1440× 24 - 15360 = 1920$
所以，当销售单价为$24$元时，获得最大利润，最大利润为$1920$元。
故答案为：$24$；$1920$。

5. (2024·如皋期末)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲. 宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用,若想要获得最大利润,则房价应定为每个房间每天350元.

答案： 1. 设每个房间每天定价增加$10x$元：
则空闲房间数为$x$个，有游客居住的房间数为$(50 - x)$个。
每个房间的定价为$(180 + 10x)$元，每个有游客居住房间的利润为$(180 + 10x-20)$元。
2. 设利润为$y$元：
根据利润公式$y=(单个房间利润)×(有游客居住房间数)$，可得$y=(180 + 10x-20)(50 - x)$。
化简$y=(160 + 10x)(50 - x)$：
展开式子，根据$(a + b)(c - d)=ac - ad+bc - bd$，这里$a = 160$，$b = 10x$，$c = 50$，$d = x$，则$y=160×50-160x + 10x×50-10x^{2}$。
计算得$y = 8000-160x + 500x-10x^{2}$。
整理得$y=-10x^{2}+340x + 8000$。
3. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$：
这里$a=-10$，$b = 340$，$c = 8000$，因为$a=-10\lt0$，函数图象开口向下，函数在$x =-\frac{b}{2a}$处取得最大值。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，将$a=-10$，$b = 340$代入，可得$x=-\frac{340}{2×(-10)}=\frac{-340}{-20}=17$。
4. 求定价：
定价$P=180 + 10x$，把$x = 17$代入，得$P=180+10×17$。
计算$P=180 + 170=350$（元）。
故房价应定为每个房间每天$350$元。

6. (新情境·日常生活)某水产店销售一种成本为40元/千克的水产品,若按50元/千克的价格销售,一个月可售出600千克,售价每涨一元,月销售量就减少10千克.
(1) 写出月销售利润$y$(单位：元)与售价$x$(单位：元/千克,$50\leqslant x\leqslant 110$)之间的函数解析式；
(2) 当售价定为55元/千克时,计算月销售量和月销售利润；
(3) 水产店老板想月收入达万元,他的愿望能实现吗?

答案：
(1) 解：由题意，每千克的利润为$(x - 40)$元，月销售量为$600 - 10(x - 50) = (1100 - 10x)$千克，所以$y=(x - 40)(1100 - 10x)=-10x^{2}+1500x - 44000$
(2) 解：当$x = 55$时，月销售量为$1100 - 10×55 = 550$千克，月销售利润为$y=-10×55^{2}+1500×55 - 44000 = 8250$元
(3) 解：令$y = 10000$，则$-10x^{2}+1500x - 44000 = 10000$，即$x^{2}-150x + 5400 = 0$，解得$x_{1}=60$，$x_{2}=90$，因为$50\leqslant 60\leqslant 110$，$50\leqslant 90\leqslant 110$，所以愿望能实现

7. (教材P51习题22.3第2题变式)某商品每件的进价为18元,调查表明：在某段时间内,若以每件$x$元($18\leqslant x\leqslant 30$,且$x$为整数)的价格出售,则可售出$(30-x)$件. 若要使利润最大,则每件商品的售价应为 (D)
A.18元
B.20元
C.22元
D.24元

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数在销售利润问题中的应用。
首先，我们需要确定利润的计算方式。
利润 = (售价 - 进价) × 销售数量
根据题目，进价为18元，售价为$x$元，销售数量为$(30-x)$件。
因此，利润函数可以表示为：
$y = (x - 18) × (30 - x)$
展开得到：
$y = 30x - x^2 - 540 + 18x$
$y = -x^2 + 48x - 540$
为了找到利润的最大值，我们可以将上述二次函数转化为顶点式。
通过配方，我们得到：
$y = -(x - 24)^2 + 36$
由于二次项系数为负，所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在顶点处。
从转化后的式子可以看出，当$x = 24$时，利润$y$取得最大值。
因此，为了使利润最大，每件商品的售价应为24元。
【答案】：D. 24元。