《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

7. (2024·崇川期中)在二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 中,$ x $ 与 $ y $ 的部分对应值如下表:
| $ x $ | …$ $ | $ - 3 $ | $ - 2 $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | 13 | 6 | 1 | $ - 2 $ | $ - 3 $ | …$ $ |
根据表中信息,可得一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的一个近似解 $ x _ { 1 } $ 的范围是 (C)
A.$ - 3 ＜ x _ { 1 } ＜ - 2 $
B.$ - 2 ＜ x _ { 1 } ＜ - 1 $
C.$ - 1 ＜ x _ { 1 } ＜ 0 $
D.$ 0 ＜ x _ { 1 } ＜ 1 $

答案： 解：由表格可知，当 $x = -1$ 时，$y = 1$；当 $x = 0$ 时，$y = -2$。
因为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像是一条抛物线，且当 $x = -1$ 时，$y = 1 ＞ 0$；当 $x = 0$ 时，$y = -2 ＜ 0$，所以抛物线在区间 $(-1, 0)$ 内与 $x$ 轴有一个交点。
因此，一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一个近似解 $x_1$ 的范围是 $-1 ＜ x_1 ＜ 0$。
答案：C

8. (2023·郴州)若抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 6 x + c $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点,则 $ c = $______9.

答案： 【解析】：
本题考查二次函数与$x$轴交点问题，涉及到一元二次方程根的判别式。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其与$x$轴交点即为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
已知抛物线$y = x^{2} - 6x + c$与$x$轴只有一个公共点，这意味着对应的一元二次方程$x^{2} - 6x + c = 0$有且仅有一个实数根。
根据一元二次方程实数根的判别式的性质，当$\Delta=0$时，方程有且仅有一个实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^{2} - 6x + c = 0$中，$a = 1$，$b = -6$，$c$为待求系数，代入判别式可得：
$\Delta=(-6)^2-4×1× c=36 - 4c$
因为方程有且仅有一个实数根，所以$\Delta=0$，即：
$36 - 4c = 0$
移项可得：
$4c = 36$
两边同时除以$4$，解得：
$c = 9$
【答案】：
$9$

9. 若二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 8 x + 5 c $ 的图象与 $ x $ 轴有两个公共点,则 $ c $ 的值可以是______1(填一个即可).

答案： 【解析】：
题目考查二次函数与$x$轴交点的性质，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根。
这需要判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac ＞ 0$。
对于给定的二次函数 $y = x^{2} - 8x + 5c$，
其中 $a = 1, b = -8, c$ 是我们需要找出的值（注意这里的$c$与题目中的$c$不同，为避免混淆，我们可以称题目中的$c$为$k$，即函数为$y = x^{2} - 8x + 5k$）。
将这些值代入判别式，得到：
$\Delta = (-8)^{2} - 4 × 1 × 5k = 64 - 20k$，
由于要求有两个不相等的实数根，所以：
$64 - 20k ＞ 0$，
解这个不等式，得到：
$k ＜ \frac{16}{5}$，
因此，$c$（或题目中的$k$）可以是小于$\frac{16}{5}$的任意实数。
为了简化，可以选择一个容易计算的数，如$c = 1$（注意这里将$k$换回题目中的$c$）。
【答案】：
1（答案不唯一，小于$\frac{16}{5}$的任意实数均可）。

10. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x - b - a $($ a, b $ 是常数,$ a \neq 0 $).
(1) 判断该二次函数的图象与 $ x $ 轴的交点的个数;
(2) 若该二次函数图象的对称轴是直线 $ x = - 1 $,求这个函数图象与 $ x $ 轴的交点的坐标.

答案： 【解析】：
(1) 要判断二次函数与$x$轴的交点个数，我们需要计算判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$，其中$a = a$，$b = b$，$c = -b-a$。
第一步，计算判别式$\Delta = b^{2} - 4a(-b-a) = b^{2} + 4ab + 4a^{2} = (2a + b)^{2}$。
第二步，根据判别式的性质，当$\Delta ＞ 0$时，有两个不相等的交点；当$\Delta = 0$时，有两个相等的交点；当$\Delta ＜ 0$时，没有交点。由于$(2a + b)^{2} \geq 0$，所以交点个数取决于$(2a + b)^{2}$是否大于0。
第三步，当$2a + b = 0$时，即$b = -2a$，$\Delta = 0$，函数图象与$x$轴有1个交点；当$2a + b \neq 0$时，即$b \neq -2a$，$\Delta ＞ 0$，函数图象与$x$轴有2个交点。
(2) 若该二次函数图象的对称轴是直线$x = -1$，我们可以利用对称轴公式$x = -\frac{b}{2a}$来求解。
第一步，根据对称轴公式，我们有$-\frac{b}{2a} = -1$，解得$b = 2a$。
第二步，将$b = 2a$代入原函数，得到$y = ax^{2} + 2ax - 3a$。
第三步，令$y = 0$，得到方程$ax^{2} + 2ax - 3a = 0$，即$x^{2} + 2x - 3 = 0$（因为$a \neq 0$，所以可以除以$a$）。
第四步，解这个一元二次方程，得到$x_{1} = -3$，$x_{2} = 1$。
所以，这个函数图象与$x$轴的交点的坐标为$(-3, 0)$和$(1, 0)$。
【答案】：
(1) 当$b = -2a$时，函数图象与$x$轴有1个交点；当$b \neq -2a$时，函数图象与$x$轴有2个交点。
(2) 这个函数图象与$x$轴的交点的坐标为$(-3, 0)$和$(1, 0)$。

11. (新考法·综合与实践)某班数学兴趣小组对函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 | x | $ 的图象和性质进行了探究,探究过程如下:
(1) 自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数,$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值如下表:
| $ x $ | …$ $ | $ - 3 $ | $ - \frac { 5 } { 2 } $ | $ - 2 $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \frac { 5 } { 2 } $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | 3 | $ \frac { 5 } { 4 } $ | 0 | $ - 1 $ | 0 | $ - 1 $ | $ m $ | $ \frac { 5 } { 4 } $ | 3 | …$ $ |
其中,$ m = $______.
(2) 根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,现已画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3) 进一步探究函数图象发现:
① 方程 $ x ^ { 2 } - 2 | x | = 0 $ 有______个实数根;
② 若关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 | x | = a $ 有 4 个实数根,则 $ a $ 的取值范围是______.
]

答案：
【解析】：
（1）要求$m$的值，
需要将$x=2$代入函数$y=x^{2}-2|x|$中，
当$x=2$时，
$y=2^{2}-2×|2|$
$=4-4$
$=0$
所以，$m=0$。
（2）根据表中数据描点，
已知$x=2$和$x=\frac{5}{2}$时的点，
继续描出这些点，并用平滑曲线连接，形成完整的函数图象，图略。
（3）①方程$x^{2}-2|x|=0$，
可以分解为$|x|(|x|-2)=0$，
解得$|x|=0$或$|x|=2$，
即$x=0$或$x=\pm2$，
所以，方程有3个实数根。
②要使方程$x^{2}-2|x|=a$有4个实数根，
需要确定$a$的取值范围，
当$a=-1$时，方程$x^{2}-2|x|=-1$，
即$x^{2}-2|x|+1=0$，
解得$x=\pm1$，有两个实数根，
当$-1＜a＜0$时，方程$x^{2}-2|x|=a$的图像与$y=a$的图像有4个交点，
即方程有4个实数根，
综上所述，$a$的取值范围为$-1＜a＜0$。
【答案】：
(1)$m=0$；
(2)
(3)①3；②$-1＜a＜0$。