《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 2)x^{2}-x + m^{2}-4 = 0 $ 的常数项为 $ 0 $,则 $ m $ 的值为(B)
A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ \pm 2 $
D.$ -4 $

答案： 【解析】：
题目考察了一元二次方程常数项的求法与一元二次方程成立的条件，主要涉及方程的识别和常数项的计算。
题目给出的方程是$(m - 2)x^2 - x + m^2 - 4 = 0$，要求常数项为$0$，即$m^2 - 4 = 0$。
同时，题目明确方程为一元二次方程，因此二次项系数$m - 2 \neq 0$。
解方程$m^2 - 4 = 0$，得$m = \pm 2$。
结合二次项系数不为$0$的条件$m - 2 \neq 0$，排除$m = 2$，最终得$m = -2$。
【答案】：
B. $-2$

2. 已知 $ x = 2+\sqrt{3} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的一个实数根,则 $ m $ 的值为(B)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -3 $
D.$ -1 $

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
设方程的另一个根为$x_1$，
由于已知$x = 2+\sqrt{3}$是方程的一个根，
根据一元二次方程的性质，有：
根的和：$x + x_1 = -\frac{b}{a}$，其中$a$是$x^2$的系数，$b$是$x$的系数。
在本题中，$a = 1$，$b = -4$，所以：
$x + x_1 = 4$，
根的积：$x × x_1 = \frac{c}{a}$，其中$c$是常数项，即本题中的$m$。
将已知的$x = 2+\sqrt{3}$代入根的和的公式中，可以求出另一个根$x_1$：
$x_1 = 4 - (2+\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3}$，
然后，利用根的积的公式求出$m$：
$m = x × x_1 = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$，
利用平方差公式，得到：
$m = 4 - 3 = 1$。
【答案】：B. $1$。

3. (2024·海安期末)若 $ x = a $ 是一元二次方程 $ x^{2}+2x - 4 = 0 $ 的一个实数根,则 $ 2a^{2}+4a - 4 $ 的值是______4.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的性质以及代数式的求值。
首先，由于$x = a$是方程$x^{2} + 2x - 4 = 0$的一个实数根，根据一元二次方程的定义，我们有：
$a^{2} + 2a - 4 = 0$，
移项，可得：
$a^{2} + 2a = 4$，
接下来，我们需要求$2a^{2} + 4a - 4$的值。
观察该表达式，我们可以发现它可以写成$2(a^{2} + 2a) - 4$的形式。
由于我们已经知道$a^{2} + 2a = 4$，所以可以直接将这个值代入上面的表达式中，得到：
$2a^{2} + 4a - 4 = 2 × 4 - 4 = 8 - 4 = 4$。
【答案】：
4。

4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-bx + 3 = 0 $ 的一个根为 $ x = 2 $,则 $ 4b - 8a - 1 = $5.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的定义以及代数式的化简。
根据题目条件，$x = 2$是方程$ax^{2} - bx + 3 = 0$的一个根，根据一元二次方程根的定义，将$x = 2$代入方程，得到：
$4a - 2b + 3 = 0$
移项可得：
$4a - 2b = -3$
两边同时乘以-1，得到：
$2b - 4a = 3$
两边同时乘以2，得到：
$4b - 8a = 6$
最后，将$4b - 8a$的值代入$4b - 8a - 1$，得到：
$4b - 8a - 1 = 6 - 1 = 5$
【答案】：
5

5. (2024·海门期末)把一元二次方程 $ x^{2}-4x + 1 = 0 $ 配方成 $ (x + p)^{2}= q $ 的形式,则 $ p,q $ 的值分别是(-2,3)
A.$ -2,5 $
B.$ -2,3 $
C.$ 2,5 $
D.$ 2,3 $

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的配方方法。
给定方程为 $x^{2} - 4x + 1 = 0$。
首先，移项得 $x^{2} - 4x = -1$。
为了配方，需要使左侧成为一个完全平方，即 $(x-2)^{2}$ 的形式。
观察 $x^{2} - 4x$，可以发现，如果加上 $4$，则可以得到 $(x-2)^{2}$。
于是，方程两边同时加 $4$，得 $x^{2} - 4x + 4 = 3$。
左侧即为 $(x-2)^{2}$，所以方程可写为 $(x-2)^{2} = 3$。
对比 $(x + p)^{2} = q$ 的形式，可得 $p = -2$，$q = 3$ 的相反数情况（即移项后的结果），但考虑到配方过程，我们实际得到的 $p$ 应使 $x-p$ 的平方出现，所以 $p = -2$ 的相反数为正2的情况对应于 $x$ 的系数是负的，而在这里我们直接读出 $p$ 的值为配方中使用的 $-2$（因为我们是将 $x^{2} - 4x$ 配成 $(x-2)^{2}$），而 $q$ 的值为 $3$。
但根据题目要求，我们直接读出 $p, q$ 的值，即 $p = -2$，$q = 3$ 的配方结果形式对应于选项中的表示是 $p$ 的作用结果（即 $x$ 前的系数变为正的情况对应的 $p$ 值取反的相反数，这里直接理解为配方后的 $p, q$），故 $p$ 对应选项中的表示为使 $x$ 系数变为正数的那个数的相反数（这里有些绕，但直接理解配方结果 $(x-2)^{2}=3$ 对应 $p=-2, q=3$），而 $q$ 直接为 $3$。
所以答案是 $p = -2$ 的“作用”在选项中对应于使方程变为完全平方形式的 $p$ 的值（即考虑 $x$ 前系数的变化，这里直接理解为 $p=-2$ 对应于 $(x-2)^{2}$，而选项中 $p$ 的值表示的是使 $x$ 系数变为正的数的相反数的情况，但直接读配方结果即可），$q = 3$。
直接根据配方结果，我们选择 $p = -2$（理解为配方中 $x$ 项系数一半的相反数），$q = 3$。
对应选项，即 $p = -2, q = 3$ 的表示（这里 $p$ 的值理解为配方过程中 $x$ 项系数调整后的结果，直接读配方后的形式即可），为选项 B 中的 $p = -2$ 的“等效”表示（即考虑配方后 $x$ 项系数变为正的情况，但直接由配方结果 $(x-2)^{2}=3$ 得出 $p, q$），$q = 3$。
故选B。
【答案】：
B

6. 解下列方程：① $ (x + 1)^{2}= 5 $；② $ 9x^{2}-7x - 1 = 0 $；③ $ (2 - 3x)^{2}+3(3x - 2)= 0 $；④ $ 11x^{2}+12 - 25x = 0 $. 较简便的方法是(D)
A.依次为根据平方根的意义求解、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为因式分解法、公式法、配方法、根据平方根的意义求解
C.①根据平方根的意义求解,②④用公式法,③用因式分解法
D.①根据平方根的意义求解,②用公式法,③④用因式分解法

答案： 【解析】：
本题主要考察解一元二次方程的不同方法，包括根据平方根的意义求解、配方法、公式法和因式分解法。
对于方程① $(x + 1)^{2}= 5$，可以直接根据平方根的意义求解，即$x + 1 = \pm \sqrt{5}$，从而求得$x$的值。
对于方程② $9x^{2}-7x - 1 = 0$，由于不易直接因式分解，且不是完全平方，因此使用公式法求解，即使用一元二次方程的求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
对于方程③ $(2 - 3x)^{2}+3(3x - 2)= 0$，可以先进行变形，然后利用因式分解法求解。即先展开并整理，然后尝试提取公因式或使用平方差公式等进行因式分解。
对于方程④ $11x^{2}+12 - 25x = 0$，同样可以通过移项和整理，尝试因式分解或使用公式法求解。但观察方程的形式，因式分解可能更为简便。
综上所述，方程①根据平方根的意义求解，方程②使用公式法，方程③和方程④使用因式分解法。
【答案】：
D. ①根据平方根的意义求解, ②用公式法, ③④用因式分解法。

7. 在实数范围内定义一种运算“$ * $”,其规则为 $ a*b = a^{2}-b^{2} $,等式右侧为通常的混合运算,求方程 $ (3x + 1)*3 = 0 $ 的解.

答案： 【解析】：
本题主要考察自定义运算规则以及一元二次方程的求解。
首先，我们需要理解题目中给出的新运算规则，然后将这个规则应用到给定的方程中，从而将其转化为一个常规的一元二次方程。
接着，我们可以利用一元二次方程的求解方法来找出$x$的值。
根据题目中给出的运算规则 $a*b = a^{2} - b^{2}$，我们可以将方程$(3x + 1)*3 = 0$转化为$(3x + 1)^{2} - 9 = 0$。
这是一个一元二次方程，我们可以通过移项和因式分解来求解它。
【答案】：
解：
根据自定义的运算规则，我们有：
$(3x + 1)*3 = (3x + 1)^{2} - 3^{2} = (3x + 1)^{2} - 9 = 0$，
移项得：
$(3x + 1)^{2} = 9$，
开方得：
$3x + 1 = \pm 3$，
分别解两个一元一次方程，得到：
$3x + 1 = 3 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x_{1} = \frac{2}{3}$，
$3x + 1 = -3 \Rightarrow 3x = -4 \Rightarrow x_{2} = - \frac{4}{3}$。

8. (2024·乐山)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + p = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = 3 $,则 $ p $ 的值为(A)
A.$ -\frac{2}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ -6 $
D.$ 6 $

答案： 解：对于一元二次方程 $x^{2}+2x + p = 0$，根据韦达定理，得$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=p$。
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2}{p}=3$，解得$p=-\frac{2}{3}$。
经检验，$p=-\frac{2}{3}$是原方程的解，且此时$\Delta=2^{2}-4×1×(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个不相等的实数根。
答案：A

9. (2023·内江)对于实数 $ a,b $ 定义运算“$ \otimes $”为 $ a\otimes b = b^{2}-ab $,例如：$ 3\otimes 2 = 2^{2}-3× 2 = -2 $. 关于 $ x $ 的方程 $ (k - 3)\otimes x = k - 1 $ 的根的情况,下列说法正确的是(A)
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题主要考察自定义运算以及一元二次方程的根的判别式。
首先，根据题目中给出的自定义运算规则，我们有
$(k - 3) \otimes x = x^2 - (k - 3)x$，
将这个表达式代入原方程 $(k - 3) \otimes x = k - 1$，我们得到
$x^2 - (k - 3)x = k - 1$，
整理后，我们得到一元二次方程
$x^2 - (k - 3)x - (k - 1) = 0$，
接下来，我们需要计算这个一元二次方程的判别式 $\Delta$，以便判断方程的根的情况。
判别式 $\Delta$ 的公式为
$\Delta = b^2 - 4ac$，
在本题中，$a = 1, b = -(k - 3), c = -(k - 1)$，
代入公式，我们得到
$\Delta = [-(k - 3)]^2 - 4 × 1 × [-(k - 1)]$
$= k^2 - 6k + 9 + 4k - 4$
$= k^2 - 2k + 5$
$= (k - 1)^2 + 4$
由于 $(k - 1)^2$ 是一个平方项，其值总是非负的，加上4后必然大于0，所以
$\Delta ＞ 0$，
根据一元二次方程的根的判别式，当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
A.有两个不等的实数根。