《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

10. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c经过A(-2,4)$,$B(6,4)$两点,且顶点在$x$轴上,则该抛物线对应的函数解析式为$y = \frac{1}{4}x^{2} - x + 1$（或$y = \frac{1}{4}(x - 2)^{2}$）.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式。
由于抛物线$y = ax^{2} + bx + c$经过点$A(-2,4)$和$B(6,4)$，且这两点的纵坐标相同，因此可以判断这两点关于抛物线的对称轴对称。
对称轴的公式为$x = \frac{-2 + 6}{2} = 2$。
又因为抛物线的顶点在$x$轴上，所以顶点的纵坐标为$0$。
根据顶点式，我们可以设抛物线的解析式为$y = a(x - 2)^{2}$（其中$a \neq 0$，因为抛物线存在）。
接下来，我们使用点$A(-2,4)$或点$B(6,4)$来求解$a$的值。
将点$A(-2,4)$代入解析式，得到：
$4 = a(-2 - 2)^{2}$，
$4 = 16a$，
解得$a = \frac{1}{4}$。
因此，抛物线的解析式为$y = \frac{1}{4}(x - 2)^{2}$。
展开后得到一般式：$y = \frac{1}{4}x^{2} - x + 1$。
【答案】：
$y = \frac{1}{4}x^{2} - x + 1$（或写为顶点式$y = \frac{1}{4}(x - 2)^{2}$）。

11. 若二次函数$y= a(x-h)^{2}+k$的图象经过原点,$y的最大值为8$,且图象形状与抛物线$y= -2x^{2}-2x+3$相同,则该二次函数的解析式为______$y = -2x^2 + 8x$或$y = -2x^2 - 8x$.

答案： 解：因为二次函数$y = a(x - h)^2 + k$与抛物线$y = -2x^2 - 2x + 3$形状相同，所以$|a| = 2$，即$a = \pm 2$。
又因为$y$的最大值为$8$，所以抛物线开口向下，$a ＜ 0$，故$a = -2$。此时函数为$y = -2(x - h)^2 + 8$。
因为函数图象经过原点$(0,0)$，将其代入得：$0 = -2(0 - h)^2 + 8$，即$-2h^2 + 8 = 0$，$h^2 = 4$，解得$h = \pm 2$。
所以该二次函数的解析式为$y = -2(x - 2)^2 + 8$或$y = -2(x + 2)^2 + 8$。
展开得：$y = -2x^2 + 8x$或$y = -2x^2 - 8x$。
答案：$y = -2x^2 + 8x$或$y = -2x^2 - 8x$

12. 已知当$x= 1$时,二次函数取得最大值$-4$,且图象经过点$(2,-6)$,求该二次函数的解析式.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式。
首先，根据题目条件，当$x=1$时，二次函数取得最大值$-4$，因此可以设二次函数的顶点式为$y = a(x - 1)^{2} - 4$。
接着，利用已知的点$(2, -6)$来求解待定系数$a$。
将点$(2, -6)$代入顶点式，得到方程：
$-6 = a(2 - 1)^{2} - 4$
$-6 = a - 4$
解这个方程，得到$a = -2$。
最后，将求得的$a$值代入顶点式，得到二次函数的解析式。
【答案】：
解：设二次函数的解析式为$y = a(x - 1)^{2} - 4$（$a \neq 0$）。
因为图象经过点$(2, -6)$，所以代入得：
$-6 = a(2 - 1)^{2} - 4$
$-6 = a - 4$
解得$a = -2$。
所以，该二次函数的解析式为：
$y = -2(x - 1)^{2} - 4$。

13. 如图,二次函数的图象经过$A$,$B$,$C$三点,点$A的坐标为(-1,0)$,点$B的坐标为(4,0)$,点$C在y$轴的正半轴上,且$AB= OC$.
(1) 点$C$的坐标为______(0,5)；
(2) 求该二次函数的解析式.$y = -\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x + 5$
]

答案： 【解析】：
(1)已知点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(4,0)$，根据两点间距离公式，$AB$的长度为$\sqrt{(4 - (-1))^2 + (0 - 0)^2}=\sqrt{5^2}=5$。
因为点$C$在$y$轴正半轴上，设$C$点坐标为$(0,y)$（$y\gt0$），且$AB = OC$，$OC$的长度就是$y$的绝对值，所以$y = 5$，即点$C$的坐标为$(0,5)$。
(2)因为二次函数图象经过$A(-1,0)$，$B(4,0)$，$C(0,5)$三点，设二次函数的解析式为$y = ax^2+bx + c$（$a\neq0$）。
把$A(-1,0)$代入$y = ax^2+bx + c$得：$a - b + c = 0$ ①；
把$B(4,0)$代入$y = ax^2+bx + c$得：$16a + 4b + c = 0$ ②；
把$C(0,5)$代入$y = ax^2+bx + c$得：$c = 5$ ③。
将$c = 5$代入①得：$a - b+5 = 0$，即$b = a + 5$。
将$c = 5$和$b = a + 5$代入②得：$16a+4(a + 5)+5 = 0$，
展开式子得$16a+4a + 20 + 5 = 0$，
合并同类项得$20a+25 = 0$，
移项得$20a=-25$，
解得$a=-\frac{5}{4}$。
把$a = -\frac{5}{4}$代入$b = a + 5$得：$b=-\frac{5}{4}+5=\frac{15}{4}$。
所以二次函数的解析式为$y = -\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x + 5$。
【答案】：
(1)$(0,5)$；
(2)$y = -\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x + 5$。

14. (新考向·代数推理)(2024·浙江)已知二次函数$y= x^{2}+bx+c$($b$,$c$为常数)的图象经过点$A(-2,5)$,对称轴为直线$x= -\frac{1}{2}$.
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 若点$B(1,7)向上平移2$个单位长度,向左平移$m(m＞0)$个单位长度后,恰好落在二次函数$y= x^{2}+bx+c$的图象上,求$m$的值；
(3) 当$-2\leqslant x\leqslant n$时,二次函数$y= x^{2}+bx+c的最大值与最小值的差为\frac{9}{4}$,求$n$的取值范围.

答案：
(1)解：
∵二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象经过点$A(-2,5)$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$
∴$\begin{cases}(-2)^{2}+b×(-2)+c=5\\-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=1\\c=-3\end{cases}$
∴该二次函数的解析式为$y=x^{2}+x-3$
(2)解：点$B(1,7)$向上平移2个单位长度，向左平移$m(m＞0)$个单位长度后得到的点的坐标为$(1 - m,7 + 2)$，即$(1 - m,9)$
∵该点落在二次函数$y=x^{2}+x - 3$的图象上
∴$(1 - m)^{2}+(1 - m)-3=9$
整理得$m^{2}-3m - 8=0$
解得$m_{1}=\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，$m_{2}=\frac{3-\sqrt{41}}{2}$（舍去）
∴$m$的值为$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$
(3)解：由
(1)知二次函数的解析式为$y=x^{2}+x - 3$，其对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{13}{4})$
当$x=-2$时，$y=(-2)^{2}+(-2)-3=-1$
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{13}{4}$
当$x=n$时，$y=n^{2}+n - 3$
①当$-2\leqslant n\leqslant-\frac{1}{2}$时，函数在$x=-2$处取得最大值$-1$，在$x=n$处取得最小值$n^{2}+n - 3$
由题意得$-1-(n^{2}+n - 3)=\frac{9}{4}$，解得$n=-\frac{1}{2}$
②当$n＞-\frac{1}{2}$时，函数在$x=n$处取得最大值$n^{2}+n - 3$，在$x=-\frac{1}{2}$处取得最小值$-\frac{13}{4}$
由题意得$n^{2}+n - 3-(-\frac{13}{4})=\frac{9}{4}$，解得$n=1$或$n=-2$（舍去）
∵当$-2\leqslant x\leqslant n$时，最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$
∴$n$的取值范围是$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$