《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 下列方程中,属于一元二次方程的是 (B)
A.$x^{3}+1= x^{2}$
B.$x^{2}+x-1= 0$
C.$x-3= 0$
D.$x+\frac{1}{x}-4= 0$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
A选项：$x^{3}+1= x^{2}$，未知数的最高次数是3，所以不是一元二次方程。
B选项：$x^{2}+x-1= 0$，只含有一个未知数x，且x的最高次数是2，所以是一元二次方程。
C选项：$x-3= 0$，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程。
D选项：$x+\frac{1}{x}-4= 0$，虽然只含有一个未知数x，但x出现在分母中，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
综上所述，只有B选项是一元二次方程。
【答案】：
B

2. 用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x= 4$,下列变形正确的是 (B)
A.$(x+1)^{2}= 6$
B.$(x-1)^{2}= 5$
C.$(x-1)^{2}= 4$
D.$(x-1)^{2}= 8$

答案： 解：方程两边同时加上1，得$x^{2}-2x + 1=4 + 1$，即$(x - 1)^{2}=5$。
B

3. 若$x= 1是关于x的一元二次方程x^{2}-mx+2= 0$的一个根,则$m$的值为 (D)
A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的根的定义以及一元二次方程的解法。
由于$x=1$是方程$x^{2}-mx+2=0$的一个根，根据一元二次方程的定义，将$x=1$代入方程，方程应该成立。
即：$1^{2} - m × 1 + 2 = 0$，
化简得：$1 - m + 2 = 0$，
进一步化简得：$m = 3$。
【答案】：
D

4. 若关于$x的方程kx^{2}-2x-1= 0$有两个实数根,则$k$的取值范围是 (B)
A.$k\leqslant -1$
B.$k\geqslant -1且k\neq 0$
C.$k＞-1且k\neq 0$
D.$k＜-1$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。
首先，我们需要确定方程$kx^{2}-2x-1= 0$有两个实数根的条件。
根据一元二次方程的根的判别式，我们知道，当$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$时，方程有两个实数根。
对于方程$kx^{2}-2x-1= 0$，我们可以将其看作一元二次方程的形式，其中$a = k$，$b = -2$，$c = -1$。
将这些值代入判别式，我们得到：
$\Delta = (-2)^{2} - 4k(-1) = 4 + 4k \geq 0$
解这个不等式，我们得到：
$k \geq -1$
但是，我们还需要注意到，当$k = 0$时，方程退化为一次方程，不再是一元二次方程，所以$k$不能等于0。
所以，我们得到$k$的取值范围为$k \geq -1$且$k \neq 0$。
故选B。
【答案】：
B

5. 若关于$x的方程x^{2}+mx+n= 0的两个实数根分别是x_{1}= 3,x_{2}= 4$,则$m+n$的值为 (D)
A.$-10$
B.10
C.$-5$
D.5

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
根的和：$x_1 + x_2 = -\frac{m}{1} = -m$，
根的积：$x_1 × x_2 = n$，
代入题目给定的根 $x_1 = 3$ 和 $x_2 = 4$，我们得到：
$3 + 4 = -m \Rightarrow m = -7$，
$3 × 4 = n \Rightarrow n = 12$，
所以，$m + n = -7 + 12 = 5$。
【答案】：
D. $5$。

6. 已知$m,n是方程x^{2}-3x-1= 0$的两个根,则$m^{2}-4m-n$的值为 (B)
A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.4

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简。
首先，由于$m$和$n$是方程$x^{2} - 3x - 1 = 0$的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$m + n = 3$ （因为方程的系数是-3，且二次项系数为1）
$mn = -1$ （因为常数项是-1）
同时，由于$m$是方程的根，所以代入方程得：
$m^{2} - 3m - 1 = 0$
从上式我们可以解出：
$m^{2} - 3m = 1$
接下来，我们要求$m^{2} - 4m - n$的值。
根据已知条件，我们可以进行如下变形：
$m^{2} - 4m - n = m^{2} - 3m - m - n$
$= (m^{2} - 3m) - (m + n)$
代入之前得到的$m^{2} - 3m = 1$和$m + n = 3$，我们得到：
$m^{2} - 4m - n = 1 - 3 = -2$
【答案】：
B. $-2$

7. 某网店销售一批运动服,平均每天销售20套,每套盈利45元.为扩大销售量,增加盈利,该网店采取降价措施,经市场调研发现,每套运动服每降价1元,平均每天多销售4套.若该网店要平均每天盈利2100元,设每套运动服降价$x$元,则下列所列方程正确的是 (A)
A.$(45-x)(20+4x)= 2100$
B.$(45+x)(20+4x)= 2100$
C.$(45-x)(20-4x)= 2100$
D.$(45+x)(20-4x)= 2100$

答案： 【解析】：
这个问题主要考察的是一元二次方程的建立。
首先，需要理解题目的关键信息：
原始销售情况下，每天销售20套，每套盈利45元。
每降价1元，销售量增加4套。
目标是每天盈利2100元。
设每套运动服降价$x$元，那么每套的盈利就是$45-x$元。
同时，每降价1元，销售量增加4套，所以降价$x$元后，每天的销售量就是$20+4x$套。
因此，每天的总盈利就是每套的盈利乘以销售的数量，即$(45-x)(20+4x)$。
根据题目，这个总盈利需要等于2100元，所以可以建立方程：
$(45-x)(20+4x) = 2100$。
【答案】：
A. $(45-x)(20+4x)= 2100$。

8. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-8x+m= 0的两根为x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则$m$的值为 (C)
A.4
B.8
C.12
D.16

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = 8$ （因为方程的系数是-8，所以两根之和为-(-8)=8）
$x_{1} \cdot x_{2} = m$ （因为常数项是m，所以两根之积为m）
根据题意，我们还知道 $x_{1} = 3x_{2}$。
将 $x_{1} = 3x_{2}$ 代入 $x_{1} + x_{2} = 8$，我们得到：
$3x_{2} + x_{2} = 8$
$4x_{2} = 8$
$x_{2} = 2$
将 $x_{2} = 2$ 代入 $x_{1} = 3x_{2}$，我们得到：
$x_{1} = 6$
最后，将 $x_{1} = 6$ 和 $x_{2} = 2$ 代入 $x_{1} \cdot x_{2} = m$，我们得到：
$m = 6 × 2 = 12$
【答案】：
C. $12$。

9. 如图,要把长为4m、宽为3m的矩形花坛向四周扩展相同的宽度$x$m,得到面积为$30m^{2}$的新矩形花坛,则$x$的值为 (D)
A.4.5
B.2
C.1.5
D.1

答案： 【解析】：
本题可根据矩形面积公式列出关于$x$的方程，然后求解方程得到$x$的值。
步骤一：分析新矩形花坛的长和宽
已知原矩形花坛长为$4m$、宽为$3m$，向四周扩展相同的宽度$x m$，那么新矩形花坛的长为$(4 + 2x)m$，宽为$(3 + 2x)m$。
步骤二：根据矩形面积公式列出方程
根据矩形的面积公式：$S = 长×宽$，已知新矩形花坛面积为$30m^2$，可列出方程$(4 + 2x)(3 + 2x) = 30$。
步骤三：化简方程
将方程$(4 + 2x)(3 + 2x) = 30$展开可得：
$\begin{aligned}4×3+4×2x+2x×3+2x×2x&=30\\12 + 8x + 6x + 4x^2&= 30\\4x^2 + 14x + 12 - 30&= 0\\4x^2 + 14x - 18&= 0\\2x^2 + 7x - 9&= 0\end{aligned}$
步骤四：求解方程$2x^2 + 7x - 9 = 0$
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，可使用因式分解法求解，将方程$2x^2 + 7x - 9 = 0$因式分解为$(2x + 9)(x - 1) = 0$。
则$2x + 9 = 0$或$x - 1 = 0$，
由$2x + 9 = 0$，解得$x = -\frac{9}{2}$；由$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
因为扩展的宽度$x$不能为负数，所以舍去$x = -\frac{9}{2}$，得到$x = 1$。
【答案】：D

10. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为倍根方程.有下列说法:① 方程$x^{2}-x-2= 0$是倍根方程;② 若关于$x的方程(x-2)(mx+n)= 0$是倍根方程,则$4m^{2}+5mn+n^{2}= 0$;③ 若$p,q满足pq= 2$,则关于$x的方程px^{2}+3x+q= 0$是倍根方程;④ 若关于$x的方程ax^{2}+bx+c= 0$是倍根方程,则必有$2b^{2}= 9ac$.其中,正确的有 ( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 【解析】：
① 对于方程$x^{2} - x - 2 = 0$，通过因式分解得到$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。由于$x_1 \neq 2x_2$且$x_2 \neq 2x_1$，所以该方程不是倍根方程。故①错误。
② 对于方程$(x-2)(mx+n)=0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{n}{m}$。由于它是倍根方程，所以有$x_2 = 2x_1$或$x_1 = 2x_2$。即$-\frac{n}{m} = 4$或$-\frac{n}{m} = 1$。当$-\frac{n}{m} = 4$时，$n = -4m$，代入$4m^{2} + 5mn + n^{2}$得$4m^{2} - 20m^{2} + 16m^{2} = 0$；当$-\frac{n}{m} = 1$时，$n = -m$，代入$4m^{2} + 5mn + n^{2}$得$4m^{2} - 5m^{2} + m^{2} = 0$。所以$4m^{2} + 5mn + n^{2} = 0$成立。故②正确。
③ 对于方程$px^{2} + 3x + q = 0$，其中$pq = 2$，解得$x_1 = -\frac{1}{p}$，$x_2 = -\frac{2}{p}$。由于$x_2 = 2x_1$，所以该方程是倍根方程。故③正确。
④ 对于方程$ax^{2} + bx + c = 0$，设其两个根为$x_1$和$x_2$，且$x_1 = 2x_2$或$x_2 = 2x_1$。根据根与系数的关系，有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。当$x_1 = 2x_2$时，$3x_2 = -\frac{b}{a}$，$2x_2^2 = \frac{c}{a}$，消去$x_2$得$2b^2 = 9ac$；当$x_2 = 2x_1$时，同理可得$2b^2 = 9ac$。但当$a=0$时（虽然题目中明确是一元二次方程，所以$a \neq 0$），该等式不成立。但在本题条件下，④正确。
综上，正确的有②③④三个。
【答案】：C