《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 已知抛物线$y= 2x^{2}-4x+c经过点(2,-3)$,则$c$的值为(C)
A.$-1$
B.$2$
C.$-3$
D.$-2$

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质以及待定系数法。题目给出了抛物线的一般形式$y = 2x^2 - 4x + c$，同时告诉我们这条抛物线经过点(2, -3)。我们可以将这个点的坐标代入抛物线方程，然后解出$c$的值。
具体步骤如下：
1. 将点(2, -3)代入抛物线方程$y = 2x^2 - 4x + c$。
2. 进行代入和化简，得到一个关于$c$的一元一次方程。
3. 解这个一元一次方程，求出$c$的值。
【答案】：
解：
将点(2, -3)代入抛物线方程$y = 2x^2 - 4x + c$，得到：
$-3 = 2 × 2^2 - 4 × 2 + c$，
化简得：
$-3 = 8 - 8 + c$，
进一步化简得：
$c = -3$。
所以，$c$的值为-3，对应选项C。

2. (教材P40练习第2题变式)已知二次函数的图象经过点$(-1,-5)$,$(0,-4)$,$(1,1)$,则该二次函数的解析式为(D)
A.$y= -6x^{2}+3x+4$
B.$y= -2x^{2}+3x-4$
C.$y= x^{2}+2x-4$
D.$y= 2x^{2}+3x-4$

答案： 【解析】：
本题要求根据给定的三个点来确定二次函数的解析式。
设二次函数的解析式为$y = ax^{2} + bx + c$。
将点$(-1,-5)$，$(0,-4)$，$(1,1)$分别代入上述解析式，可以得到以下三个方程：
$\begin{cases}a(-1)^{2} + b(-1) + c = -5, \\a(0)^{2} + b(0) + c = -4, \\a(1)^{2} + b(1) + c = 1.\end{cases}$
即：
$\begin{cases}a - b + c = -5, \\c = -4, \\a + b + c = 1.\end{cases}$
解这个三元一次方程组，可以得到$a$，$b$，$c$的值，然后确定二次函数的解析式。
【答案】：
设二次函数的解析式为$y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq 0$）。
根据题目条件，这个二次函数的图象经过点$(-1,-5)$，$(0,-4)$，$(1,1)$。
将这三个点的坐标分别代入解析式，得到以下三个方程：
$\begin{cases}a - b + c = -5, \\c = -4, \\a + b + c = 1.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}a = 2, \\b = 3, \\c = -4.\end{cases}$
因此，该二次函数的解析式为$y = 2x^{2} + 3x - 4$。
故选D。

3. 已知抛物线的顶点坐标为$(2,3)$,且经过点$(3,1)$,则该抛物线对应的函数解析式为(C)
A.$y= -2x^{2}+8x+3$
B.$y= -2x^{2}-8x+3$
C.$y= -2x^{2}+8x-5$
D.$y= -2x^{2}-8x+2$

答案： 【解析】：
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式。
首先，设抛物线的解析式为顶点式：
$y = a(x - h)^{2} + k$
其中，$(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标。
根据题意，顶点坐标为 $(2,3)$，所以 $h = 2$ 且 $k = 3$。
代入得：
$y = a(x - 2)^{2} + 3$
接下来，使用给定的点 $(3,1)$ 来确定系数 $a$。
将点代入上述方程，得：
$1 = a(3 - 2)^{2} + 3$
$1 = a + 3$
解得：
$a = -2$
因此，抛物线的解析式为：
$y = -2(x - 2)^{2} + 3$
展开得：
$y = -2x^{2} + 8x - 5$
与选项对比，得到答案为 C。
【答案】：
C

4. 已知抛物线$y= ax^{2}-3x+c过点A(-1,10)$,$B(2,4)$,则该抛物线对应的函数解析式为$y = x^2 - 3x + 6$.

答案： 【解析】：
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式。
首先，将点$A(-1,10)$和$B(2,4)$的坐标代入抛物线方程$y = ax^2 - 3x + c$，得到两个方程：
$\begin{aligned}10 = a(-1)^2 - 3(-1) + c \quad (1) \\ 4 = a(2)^2 - 3(2) + c \quad (2)\end{aligned}$
化简后得到：
$\begin{aligned}10 = a + 3 + c \quad (1) \\ 4 = 4a - 6 + c \quad (2)\end{aligned}$
接下来，解这个二元一次方程组。
从
(1)式，可以得到 $c = 10 - a - 3 = 7 - a$。
将这个表达式代入
(2)式，得到：
$4 = 4a - 6 + 7 - a$
$4 = 3a + 1$
$3a = 3$
$a = 1$
将 $a = 1$ 代入 $c = 7 - a$，得到 $c = 6$。
因此，抛物线的解析式为 $y = x^2 - 3x + 6$。
【答案】：
$y = x^2 - 3x + 6$

5. (教材P39探究变式)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图象经过A(-1,0)$,$B(0,-3)$,$C(4,5)$三点,则该二次函数的解析式为______$y=x^{2}-2x - 3$.

答案： 解：将点$A(-1,0)$，$B(0,-3)$，$C(4,5)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c$，得
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\ c = - 3 \\16a + 4b + c = 5\end{cases}$
将$c=-3$代入$a - b + c = 0$，得$a - b - 3=0$，即$a - b=3$ ①
将$c = - 3$代入$16a + 4b + c=5$，得$16a + 4b-3 = 5$，即$16a + 4b=8$，化简得$4a + b=2$ ②
①+②得：$5a=5$，解得$a = 1$
将$a = 1$代入①得：$1 - b=3$，解得$b=-2$
所以二次函数解析式为$y=x^{2}-2x - 3$
$y=x^{2}-2x - 3$

6. 经过$A(1,4)$,$B(-2,1)$两点,且对称轴为直线$x= -1$的抛物线对应的函数解析式为$y = x^{2} + 2x + 1$.

答案： 【解析】：
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式。
首先，设抛物线的解析式为一般式$y = ax^{2} + bx + c$（其中$a \neq 0$）。
根据题目条件，抛物线经过点$A(1,4)$和$B(-2,1)$，可以将这两点的坐标代入解析式，得到两个方程：
$\begin{cases}a + b + c = 4, \\4a - 2b + c = 1.\end{cases}$
又因为抛物线的对称轴为直线$x = -1$，根据二次函数的性质，对称轴的方程是$x = -\frac{b}{2a}$。
所以有$-\frac{b}{2a} = -1$，即$b = 2a$。
现在有了三个方程：
$\begin{cases}a + b + c = 4, \\4a - 2b + c = 1, \\b = 2a.\end{cases}$
接下来，解这个三元一次方程组。
将$b = 2a$代入$a + b + c = 4$，得到：
$a + 2a + c = 4 \implies 3a + c = 4 \quad \text{(方程1)}$
将$b = 2a$代入$4a - 2b + c = 1$，得到：
$4a - 4a + c = 1 \implies c = 1 \quad \text{(方程2)}$
将$c = 1$代入方程1，得到：
$3a + 1 = 4 \implies 3a = 3 \implies a = 1 \quad \text{(方程3)}$
由方程3得$a = 1$，代入$b = 2a$，得到$b = 2$。
所以，解得：
$\begin{cases}a = 1, \\b = 2, \\c = 1.\end{cases}$
因此，抛物线的解析式为$y = x^{2} + 2x + 1$。
【答案】：
$y = x^{2} + 2x + 1$

7. (2023·宁波)如图,二次函数$y= x^{2}+bx+c的图象经过点A(1,-2)$,$B(0,-5)$.
(1) 求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标；
(2) 当$y\leqslant -2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围.
]

答案： 【解析】：
(1)本题考查用待定系数法求二次函数的解析式以及求二次函数的顶点坐标。
首先，将点$A(1, - 2)$，$B(0, - 5)$代入二次函数$y = x^{2}+bx + c$中，
得到方程组$\begin{cases}1 + b + c = - 2,\\c = - 5.\end{cases}$
将$c = - 5$代入$1 + b + c = - 2$，
得到$1 + b - 5 = - 2$，
移项可得$b = - 2 + 5 - 1$，
解得$b = 2$。
所以二次函数的解析式为$y = x^{2}+2x - 5$。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），其顶点坐标的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，
这里$a = 1$，$b = 2$，
则顶点横坐标为$-\frac{2}{2×1} = - 1$，
将$x = - 1$代入$y = x^{2}+2x - 5$，
可得$y = (-1)^{2}+2×(-1) - 5$
$=1 - 2 - 5$
$=-6$。
所以顶点坐标为$( - 1, - 6)$。
(2)本题考查根据二次函数的图象求不等式的解集。
已知$y = x^{2}+2x - 5$，当$y = - 2$时，
即$x^{2}+2x - 5 = - 2$，
移项化为标准的一元二次方程形式$x^{2}+2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，
则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x = - 3$或$x = 1$。
因为二次函数$y = x^{2}+2x - 5$中$a = 1\gt0$，函数图象开口向上，
所以当$y\leqslant - 2$时，$x$的取值范围是$- 3\leqslant x\leqslant 1$。
【答案】：
(1)将$A(1, - 2)$，$B(0, - 5)$代入$y = x^{2}+bx + c$得$\begin{cases}1 + b + c = - 2,\\c = - 5.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2,\\c = - 5.\end{cases}$
所以二次函数的解析式为$y = x^{2}+2x - 5$；
顶点坐标为$( - 1, - 6)$。
(2)$- 3\leqslant x\leqslant 1$。

8. (易错题)在二次函数$y= ax^{2}+bx+c$中,$x与y$的部分对应值如下表：
| $x$ | …$$ | $-7$ | $-6$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $-27$ | $-13$ | $-3$ | $3$ | $5$ | $3$ | …$$ |
则当$x= 1$时,$y$的值为(D)
A.$5$
B.$-3$
C.$-13$
D.$-27$

答案： 【解析】：
由题目给出的$x$与$y$的对应值表，我们可以观察到当$x = -4$和$x = -2$时，$y$的值都是$3$，这说明二次函数的对称轴是$x = \frac{-4 + (-2)}{2} = -3$。
因此，点$( - 4,3)$，$( - 2,3)$关于直线$x = - 3$对称。
同时，我们还可以观察到当$x = -3$时，$y$达到最大值$5$，这说明二次函数的顶点为$(-3, 5)$。
根据二次函数的对称性，我们可以推断出$x = 1$时的$y$值应与$x = -7$时的$y$值相同，因为$1$和$-7$都距离对称轴$x = -3$四个单位。
所以，当$x = 1$时，$y = -27$。
【答案】：
D. $-27$

9. 如图所示为某二次函数的图象,则其对应的函数解析式为(B)
A.$y= x^{2}-2x+3$
B.$y= x^{2}-2x-3$
C.$y= x^{2}+2x+3$
D.$y= x^{2}+2x-3$
]

答案： 【解析】：
由题图知该抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$，与$y$轴交点的坐标为$(0,-3)$。
设二次函数的解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，将$(0,-3)$代入解析式中，得到$-3=a×(0+1)×(0-3)$，即$-3=-3a$，解得$a=1$。
所以二次函数的解析式为$y=(x+1)(x-3)$，展开可得$y=x^{2}-2x-3$。
【答案】：
B