《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2023·海门期中)若α,β是方程$x^{2}-3x-2017= 0$的两个实数根,则代数式$α^{2}-2β-5α$的值为 (C)
A.-2011
B.-2023
C.2011
D.2023

答案： 解：因为α是方程$x^{2}-3x - 2017=0$的根，所以$α^{2}-3α - 2017=0$，即$α^{2}=3α + 2017$。
又因为α，β是方程$x^{2}-3x - 2017=0$的两个实数根，由根与系数的关系得$α + β=3$。
则$α^{2}-2β - 5α=(3α + 2017)-2β - 5α=2017 - 2α - 2β=2017 - 2(α + β)=2017 - 2×3=2011$。
答案：C

2. 已知a,b是一元二次方程$x^{2}+x-8= 0$的两个实数根,则代数式$a^{2}+2a+b-ab$的值为(C)
A.-1
B.1
C.15
D.17

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若$a$和$b$是一元二次方程$x^{2}+x-8= 0$的两个实数根，那么有：
根的和：$a + b = -\frac{1}{1} = -1$（根据一元二次方程的根与系数的关系，根的和等于-b/a，其中a是$x^2$的系数，b是x的系数），
根的积：$ab = \frac{-8}{1} = -8$（根据一元二次方程的根与系数的关系，根的积等于c/a，其中c是常数项，a是$x^2$的系数）。
需要求的代数式是$a^{2}+2a+b-ab$，
首先，由于$a$是方程的根，所以有$a^{2}+a-8= 0$，即$a^{2}+a=8$，
那么代数式可以化简为：
$a^{2}+2a+b-ab = (a^{2}+a) + (a+b) - ab = 8 + (-1) - (-8) = 8 - 1 + 8 = 15$。
【答案】：C.15。

3. (2024·成都)若m,n是一元二次方程$x^{2}-5x+2= 0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为____7.

答案： 解：因为m，n是一元二次方程$x^{2}-5x + 2=0$的两个实数根，
所以由韦达定理得$m + n=5$，且$n^{2}-5n + 2=0$，即$n^{2}=5n - 2$。
$m+(n - 2)^{2}=m + n^{2}-4n + 4$，
将$n^{2}=5n - 2$代入上式得：
$m + 5n - 2-4n + 4=m + n + 2$，
又因为$m + n=5$，所以$m + n + 2=5 + 2=7$。
7

4. (2024·烟台)若一元二次方程$2x^{2}-4x-1= 0$的两个实数根为m,n,则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为____6.

答案： 解：因为m是方程$2x^{2}-4x - 1=0$的根，所以$2m^{2}-4m - 1=0$，即$2m^{2}-4m=1$，$m^{2}=2m+\frac{1}{2}$。
由根与系数的关系得$m + n=-\frac{-4}{2}=2$，$mn=-\frac{1}{2}$。
$3m^{2}-4m + n^{2}=2m^{2}-4m + m^{2}+n^{2}=1+(m^{2}+n^{2})$
$m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=2^{2}-2×(-\frac{1}{2})=4 + 1=5$
所以$3m^{2}-4m + n^{2}=1 + 5=6$
答案：6

5. (2024·崇川五校三模)若α,β是一元二次方程$x^{2}+3x-17= 0$的两个实数根,则$α^{2}+5α+2β= $11.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及根的定义。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -3$，
$\alpha \beta = \frac{c}{a} = -17$，
其中，a、b、c分别为方程$x^{2}+3x-17= 0$的系数，即$a=1, b=3, c=-17$。
又因为α是方程的一个根，所以有：
$\alpha^{2} + 3\alpha - 17 = 0$，
移项可得：
$\alpha^{2} + 3\alpha = 17$，
接下来，将$\alpha^{2} + 5\alpha + 2\beta$进行变形，以便利用已知的$\alpha^{2} + 3\alpha$和$\alpha + \beta$：
$\alpha^{2} + 5\alpha + 2\beta = \alpha^{2} + 3\alpha + 2(\alpha + \beta)$，
代入已知的$\alpha^{2} + 3\alpha = 17$和$\alpha + \beta = -3$，得到：
$\alpha^{2} + 5\alpha + 2\beta = 17 + 2 × (-3) = 17 - 6 = 11$。
【答案】：
11。

6. (2023·通州、如东期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m+1)x+2m= 0$.
(1) 求证:无论实数m取何值,此方程一定有两个实数根.
(2) 设此方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$.若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 13$,求实数m的值.

答案： 【解析】：
(1) 要证明无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根，我们需要利用一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$。
在本题中，$a = 1, b = 2m + 1, c = 2m$，所以$\Delta = (2m + 1)^{2} - 4 × 1 × 2m = 4m^{2} + 4m + 1 - 8m = 4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2}$。
由于平方数总是非负的，所以$(2m - 1)^{2} \geq 0$，即$\Delta \geq 0$。
因此，无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根。
(2) 已知此方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有$x_{1} + x_{2} = - (2m + 1)$和$x_{1}x_{2} = 2m$。
然后，利用平方差公式，我们可以将$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$转化为$(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}$，即$(- 2m - 1)^{2} - 2 × 2m = 13$。
化简后，我们得到$4m^{2} + 4m + 1 - 4m = 13$，即$4m^{2} = 12$，解得$m^{2} = 3$，所以$m = \pm \sqrt{3}$。
【答案】：
(1) 证明：$\Delta = (2m + 1)^{2} - 4 × 1 × 2m = (2m - 1)^{2}$，
∵ $(2m - 1)^{2} \geq 0$，
∴ 无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根。
(2) 解：
∵ $x_{1} + x_{2} = - (2m + 1)$，$x_{1}x_{2} = 2m$，
∴ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = (- 2m - 1)^{2} - 2 × 2m = 13$，
整理得：$4m^{2} + 4m + 1 - 4m - 12 = 0$，
即 $4m^{2} = 12$，
解得 $m = \pm \sqrt{3}$。

7. (2023·南充)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x-3m^{2}+m= 0$.
(1) 求证:无论m为何值,该方程总有实数根;
(2) 若$x_{1},x_{2}$是该方程的两个实数根,且$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}= -\frac {5}{2}$,求m的值.

答案： 【解析】：
(1) 要证明无论m为何值,该方程总有实数根, 可以通过判别式$\Delta$来判断。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。若$\Delta \geq 0$，则方程有实数根。将给定的方程系数代入判别式，可得：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4\cdot1\cdot(-3m^2+m) = (2m-1)^2 + 12m^2 - 4m = 4m^2 - 4m + 1 + 12m^2 - 4m = 16m^2 - 8m + 1 = (4m-1)^2$
由于平方的结果总是非负的，所以$(4m-1)^2 \geq 0$，即$\Delta \geq 0$。因此，无论m为何值，方程总有实数根。
(2) 对于$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}= -\frac {5}{2}$，可以先将其转化为$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = -\frac{5}{2}$。再利用完全平方公式，将其转化为$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = -\frac{5}{2}$。根据一元二次方程的根与系数关系，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2m-1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -3m^2 + m$。代入上述等式，得到：
$\frac{(2m-1)^2 - 2(-3m^2 + m)}{-3m^2 + m} = -\frac{5}{2}$
化简后得到：
$2(4m^2 - 4m + 1 + 6m^2 - 2m) = -5(-3m^2 + m)$
$2(10m^2 - 6m + 1) = 15m^2 - 5m$
$20m^2 - 12m + 2 = 15m^2 - 5m$
$5m^2 - 7m + 2 = 0$
$(5m - 2)(m - 1) = 0$
解得$m_1 = \frac{2}{5}$，$m_2 = 1$。
由于$x_1x_2 = -3m^2 + m$，需要保证它不等于0，经检验，当$m = \frac{2}{5}$或$m = 1$时，$x_1x_2$均不为0，所以m的值为$\frac{2}{5}$或1。
【答案】：
(1) 证明见解析，无论m为何值,方程总有实数根。
(2) $m = \frac{2}{5}$或$m = 1$。