《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

9. 若方程 $25x^{2}-(k - 1)x + 1 = 0$ 的左边可以写成一个完全平方式,则实数 $k$ 的值为(A)
A.$-9$ 或 $11$
B.$-7$ 或 $8$
C.$-8$ 或 $9$
D.$-6$ 或 $7$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的配方法以及完全平方公式的应用。
首先，我们观察方程$25x^{2} - (k - 1)x + 1 = 0$，可以看出，这是一个一元二次方程，且$a=25$，$b=-(k-1)$，$c=1$。
题目要求方程左边可以写成一个完全平方式，即可以表示为$(ax+b)^{2}$的形式。
我们知道，完全平方公式为$a^2 \pm 2ab + b^2=(a\pm b)^2$，
在这里，$a^2$对应$25x^2$，即$a=5x$；$b^2$对应$1$，即$b=1$或$b=-1$。
那么，中间的项$-(k - 1)x$应该等于$\pm 2ab$，即$\pm 2 × 5x × 1 = \pm 10x$。
因此，我们有$-(k - 1)x = \pm 10x$，
即$-(k - 1) = \pm 10$，
解这个方程，我们得到$k - 1 = -10$或$k - 1 = 10$，
进一步解得$k = -9$或$k = 11$。
【答案】：
A. $-9$ 或 $11$

10. 若将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+6x + c = 0$ 配方后,得到方程 $(x + 3)^{2}= 2c$,则 $c$ 的值为3。

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的配方方法。
首先，我们有原方程 $x^{2} + 6x + c = 0$。
为了配方，我们需要将常数项移到等式的另一边，得到 $x^{2} + 6x = -c$。
接下来，为了完成配方，我们在等式两边同时加上 $3^2 = 9$（因为一次项系数的一半是 3，其平方是 9），得到
$x^{2} + 6x + 9 = 9 - c$
这可以写为 $(x + 3)^{2} = 9 - c$。
但题目给出 $(x + 3)^{2} = 2c$，因此我们可以设置等式 $9 - c = 2c$。
解这个等式，我们得到 $c = 3$。
【答案】：
$c = 3$

11. (易错题)用配方法解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-mx = 1$,可将原方程配方成 $(x - 3)^{2}= n$,则 $m + n$ 的值是______16。

答案： 【解析】：
首先，我们有原方程 $x^{2} - mx = 1$。
为了将其配方，我们需要找到一个数，使得 $x^{2} - mx$ 可以表示为一个完全平方的形式。
考虑 $(x - \frac{m}{2})^{2}$，展开后得到 $x^{2} - mx + \frac{m^{2}}{4}$。
与原方程对比，我们可以得到：
$x^{2} - mx + \frac{m^{2}}{4} - \frac{m^{2}}{4} = 1$
即：
$(x - \frac{m}{2})^{2} = 1 + \frac{m^{2}}{4}$
但题目给出 $(x - 3)^{2} = n$，通过对比，我们可以得到：
$\frac{m}{2} = 3$
$1 + \frac{m^{2}}{4} = n$
从第一个方程，我们得到 $m = 6$。
将 $m = 6$ 代入第二个方程，得到：
$n = 1 + \frac{6^{2}}{4} = 1 + 9 = 10$
所以，$m + n = 6 + 10 = 16$。
【答案】：
$16$

12. 若对任意的实数 $x$,代数式 $x^{2}+2x - p$ 的值恒为正数,则实数 $p$ 的取值范围是$p ＜ -1$。

答案： 解：$x^{2}+2x - p$
$=x^{2}+2x+1 - 1 - p$
$=(x+1)^{2}-(p+1)$
因为$(x+1)^{2} \geq 0$，要使代数式的值恒为正数，
则$-(p+1) ＞ 0$，
解得$p ＜ -1$。
故实数$p$的取值范围是$p ＜ -1$。

13. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时,一般先要把二次项系数化为 1,再进行配方。其实不把二次项系数化为 1,也可以配方解出方程。
解方程：$2x^{2}-2\sqrt{2}x - 3 = 0$。
解：$\because 2x^{2}-2\sqrt{2}x = 3$,即 $(\sqrt{2}x)^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 3 + 1$,$\therefore (\sqrt{2}x - 1)^{2}= 4$,即 $\sqrt{2}x - 1= \pm 2$,解得 $x_{1}= -\frac{\sqrt{2}}{2}$,$x_{2}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
根据你的理解,用两种不同的配方法解方程：$5x^{2}-2\sqrt{15}x = 2$。

答案： 方法一：将二次项系数化为1后配方
解：方程两边同除以5，得
$x^{2}-\frac{2\sqrt{15}}{5}x=\frac{2}{5}$
配方，得
$x^{2}-\frac{2\sqrt{15}}{5}x+\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^{2}$
即
$\left(x-\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\frac{15}{25}=\frac{10}{25}+\frac{15}{25}=\frac{25}{25}=1$
开平方，得
$x-\frac{\sqrt{15}}{5}=\pm1$
解得
$x_{1}=1+\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{5+\sqrt{15}}{5}$，$x_{2}=-1+\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{-5+\sqrt{15}}{5}$
方法二：不将二次项系数化为1，直接配方
解：原方程可化为
$(\sqrt{5}x)^{2}-2\sqrt{15}x=2$
配方，得
$(\sqrt{5}x)^{2}-2\sqrt{15}x+(\sqrt{3})^{2}=2+(\sqrt{3})^{2}$
即
$(\sqrt{5}x-\sqrt{3})^{2}=2+3=5$
开平方，得
$\sqrt{5}x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{5}$
解得
$\sqrt{5}x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$或$\sqrt{5}x=\sqrt{3}-\sqrt{5}$
$x_{1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{15}+5}{5}=\frac{5+\sqrt{15}}{5}$，
$x_{2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{15}-5}{5}=\frac{-5+\sqrt{15}}{5}$
综上，方程的解为$x_{1}=\frac{5+\sqrt{15}}{5}$，$x_{2}=\frac{-5+\sqrt{15}}{5}$。

14. (新考向·代数推理)阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值。例如：求代数式 $x^{2}-10x + 30$ 的最小值,方法如下。
$\because x^{2}-10x + 30 = x^{2}-10x + 25 + 5= (x^{2}-10x + 25)+5= (x - 5)^{2}+5$,由 $(x - 5)^{2}\geqslant 0$,得 $(x - 5)^{2}+5\geqslant 5$,$\therefore$ 代数式 $x^{2}-10x + 30$ 的最小值是 5。
根据上述材料,求：
(1) 代数式 $a^{2}+2a + 2025$ 的最小值；
(2) 代数式 $-x^{2}+2x + 2024$ 的最大值；
(3) 代数式 $2x^{2}+4x - 6$ 的最小值。

答案： 【解析】：
本题主要考察配方法的应用，通过配方法将二次三项式转化为完全平方的形式，从而方便求解最大值或最小值。
(1) 对于代数式 $a^{2}+2a + 2025$，
我们可以将其转化为完全平方的形式：
$a^{2}+2a + 2025 = a^{2}+2a + 1 + 2024 = (a + 1)^{2} + 2024$
由于 $(a + 1)^{2} \geqslant 0$，所以 $(a + 1)^{2} + 2024 \geqslant 2024$，
因此，代数式 $a^{2}+2a + 2025$ 的最小值是 2024。
(2) 对于代数式 $-x^{2}+2x + 2024$，
我们可以将其转化为：
$-x^{2}+2x + 2024 = -x^{2}+2x - 1 + 2025 = -(x - 1)^{2} + 2025$
由于 $-(x - 1)^{2} \leqslant 0$，所以 $-(x - 1)^{2} + 2025 \leqslant 2025$，
因此，代数式 $-x^{2}+2x + 2024$ 的最大值是 2025。
(3) 对于代数式 $2x^{2}+4x - 6$，
我们可以将其转化为：
$2x^{2}+4x - 6 = 2x^{2}+4x + 2 - 8 = 2(x + 1)^{2} - 8$
由于 $2(x + 1)^{2} \geqslant 0$，所以 $2(x + 1)^{2} - 8 \geqslant -8$，
因此，代数式 $2x^{2}+4x - 6$ 的最小值是 -8。
【答案】：
(1) 2024
(2) 2025
(3) -8