《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 将二次函数$y = 2x^{2}-8x - 1化成y = a(x - h)^{2}+k$的形式,结果为 (C)
A.$y = 2(x - 2)^{2}-1$
B.$y = 2(x - 4)^{2}+32$
C.$y = 2(x - 2)^{2}-9$
D.$y = 2(x - 4)^{2}-33$

答案： 解：$y=2x^2 - 8x - 1$
$=2(x^2 - 4x) - 1$
$=2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$
$=2[(x - 2)^2 - 4] - 1$
$=2(x - 2)^2 - 8 - 1$
$=2(x - 2)^2 - 9$
故选C.

2. (教材P38探究变式)关于二次函数$y = -x^{2}+4x + 3$,下列说法正确的是 (D)
A.函数图象的开口向上
B.函数图象的顶点坐标为$(2,3)$
C.当$x ＜ 2$时,$y随x$的增大而减小
D.函数的最大值为$7$

答案： 【解析】：
首先，我们分析二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的开口方向。对于函数$y = -x^{2} + 4x + 3$，因为$a = -1 ＜ 0$，所以函数图象的开口方向是向下。
接着，我们找出函数的顶点坐标。二次函数的顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。将$a = -1, b = 4, c = 3$代入公式，得到顶点坐标为$(2, 7)$。
然后，我们分析函数的单调性。由于函数图象开口向下，对称轴为$x = 2$，所以当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而减小。
最后，我们找出函数的最大值。由于函数图象开口向下，所以函数的最大值就是顶点的$y$坐标，即$7$。
【答案】：
D

3. (2023·崇川期中)若函数$y = x^{2}+3x + c的图象过点A(-1,y_{1})$,$B(2,y_{2})$,$C(-3,y_{3})$,则下列说法正确的是 (A)
A.$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
B.$y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$
C.$y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$
D.$y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$

答案： 【解析】：
首先，给定的函数是 $y = x^{2} + 3x + c$，这是一个开口向上的二次函数，因为二次项系数 $a = 1 ＞ 0$。
二次函数的对称轴是 $x = -\frac{b}{2a}$。将 $a = 1$ 和 $b = 3$ 代入，得到对称轴为 $x = -\frac{3}{2}$。
接下来，分析三个点 $A(-1, y_{1})$，$B(2, y_{2})$，$C(-3, y_{3})$ 在函数图像上的位置。
点A(-1, $y_{1}$) 的横坐标 -1 距离对称轴 $x = -\frac{3}{2}$ 的距离是 $\frac{1}{2}$。
点B(2, $y_{2}$) 的横坐标 2 距离对称轴 $x = -\frac{3}{2}$ 的距离是 $\frac{7}{2}$。
点C(-3, $y_{3}$) 的横坐标 -3 距离对称轴 $x = -\frac{3}{2}$ 的距离是 $\frac{3}{2}$。
由于函数是开口向上的，距离对称轴越远，函数值越大。
因此，有 $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$。
【答案】：
A.$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$。

4. 已知二次函数$y = -x^{2}+2x + 1$,当$x ＜ $1时,$y随x$的增大而增大,当$x ＞ $1时,$y随x$的增大而减小.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的单调性。
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
当$a \lt 0$时，函数开口向下，即在对称轴左侧函数单调递增，在对称轴右侧函数单调递减。
对于给定的函数$y = -x^{2} + 2x + 1$，有$a = -1, b = 2$，所以对称轴为$x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$。
因为$a \lt 0$，所以当$x \lt 1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x \gt 1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
1；1

5. 将抛物线$y = x^{2}-2x + 3$先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线的顶点坐标是$(3, 5)$.

答案： 【解析】：
首先，给定的抛物线方程是 $y = x^{2} - 2x + 3$。
为了更容易找到其顶点，我们可以将其转换为顶点式。
$y = x^{2} - 2x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$，
这样，原抛物线的顶点坐标就是 $(1, 2)$。
根据题目要求，抛物线先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度。
因此，新的顶点坐标会是 $(1+2, 2+3) = (3, 5)$。
【答案】：
$(3, 5)$。

6. (教材P39练习变式)写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y = 2x^{2}+4x$； (2)$y = -2x^{2}-3x$；
(3)$y = -3x^{2}+6x - 7$； (4)$y = \frac{1}{2}x^{2}-4x + 5$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，包括开口方向、对称轴和顶点坐标的确定。
对于一般形式的二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$，其开口方向由系数 $a$ 决定，对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a}\right)$。
(1) 对于 $y = 2x^{2} + 4x$，系数 $a = 2 ＞ 0$，所以开口方向向上。对称轴为 $x = -\frac{4}{2 × 2} = -1$。顶点坐标为 $(-1, -2)$（通过代入 $x = -1$ 到原方程计算 $y$ 值得到）。
(2) 对于 $y = -2x^{2} - 3x$，系数 $a = -2 ＜ 0$，所以开口方向向下。对称轴为 $x = -\frac{-3}{2 × (-2)} = -\frac{3}{4}$。顶点坐标为 $\left(-\frac{3}{4}, \frac{9}{8}\right)$（通过代入 $x = -\frac{3}{4}$ 到原方程，并化简计算 $y$ 值得到，$y=-2×\left(-\frac{3}{4}\right)^2-3×\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{8}$）。
(3) 对于 $y = -3x^{2} + 6x - 7$，系数 $a = -3 ＜ 0$，所以开口方向向下。对称轴为 $x = -\frac{6}{2 × (-3)} = 1$。顶点坐标为 $(1, -4)$（通过代入 $x = 1$ 到原方程，并化简计算 $y$ 值得到，$y=-3×1^2+6×1-7=-4$）。
(4) 对于 $y = \frac{1}{2}x^{2} - 4x + 5$，系数 $a = \frac{1}{2} ＞ 0$，所以开口方向向上。对称轴为 $x = -\frac{-4}{2 × \frac{1}{2}} = 4 × \frac{1}{1} = 4 × 1 = 4 ÷ (2×\frac{1}{2})= 4$（或者写作 $x = 4$）。顶点坐标为 $(4, -3)$（通过代入 $x = 4$ 到原方程，并化简计算 $y$ 值得到，$y=\frac{1}{2}×4^2-4×4+5=-3$）。
【答案】：
(1) 开口方向向上，对称轴为 $x = -1$，顶点坐标为 $(-1, -2)$。
(2) 开口方向向下，对称轴为 $x = -\frac{3}{4}$，顶点坐标为 $\left(-\frac{3}{4}, \frac{9}{8}\right)$。
(3) 开口方向向下，对称轴为 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, -4)$。
(4) 开口方向向上，对称轴为 $x = 4$，顶点坐标为 $(4, -3)$。

7. 已知二次函数$y = x^{2}+4x + 3$.
(1)求该二次函数的最小值；
(2)若点$(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})$在该二次函数的图象上,且$-2 ＜ x_{1} ＜ x_{2}$,试比较$y_{1}$,$y_{2}$的大小.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，包括二次函数的最小值以及二次函数单调性的判断。
(1)对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。将给定的函数$y = x^{2} + 4x + 3$代入，可以得到顶点坐标为$(-2, -1)$。由于$a = 1 ＞ 0$，所以该二次函数开口向上，因此函数的最小值就是顶点的$y$坐标，即$-1$。
(2)由于二次函数的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -2$，且函数开口向上，所以在对称轴的右侧，即$x ＞ -2$时，函数是单调递增的。因此，当$-2 ＜ x_{1} ＜ x_{2}$时，有$y_{1} ＜ y_{2}$。
【答案】：
(1)该二次函数的最小值为$-1$。
(2)由于$-2 ＜ x_{1} ＜ x_{2}$，且二次函数开口向上，对称轴为$x = -2$，所以在$-2 ＜ x_{1} ＜ x_{2}$的区间内，函数是单调递增的。因此，$y_{1} ＜ y_{2}$。