《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. 如图,$A$,$B是半径为2的\odot O$上的两点。若$\angle AOB = 120^{\circ}$,$C是\overgroup{AB}$的中点,则四边形$AOBC$的周长为______。

8

答案： 【解析】：
本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系以及等边三角形的判定与性质。
连接$OC$，由$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据弧、弦、圆心角的关系可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，进而得到$\angle AOC = \angle BOC$，又因为$\angle AOB = 120^{\circ}$，所以可求出$\angle AOC$和$\angle BOC$的度数。
再根据$OA = OC = OB = 2$（半径），可判定$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，从而得出$AC = BC = OA = OB = OC = 2$，最后计算四边形$AOBC$的周长。
【答案】：
解：连接$OC$。
∵$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\angle AOC = \angle BOC$。
∵$\angle AOB = 120^{\circ}$，
∴$\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$。
∵$OA = OC = OB = 2$，
∴$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，
∴$AC = BC = OA = OB = OC = 2$。
∴四边形$AOBC$的周长为：$OA + OB + AC + BC = 2 + 2 + 2 + 2 = 8$。
故答案为：$8$。

9. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C为半圆上靠近点A$的三等分点,连接$AC$,$CE \perp AB于点E$,则$\angle ACE$的度数为______。

30°

答案： 解：连接OC。
∵AB是⊙O的直径，C为半圆上靠近点A的三等分点，
∴∠AOC = 1/3 × 180° = 60°。
∵OA = OC，
∴△AOC是等边三角形，∠OAC = 60°。
∵CE⊥AB，
∴∠AEC = 90°，
∴∠ACE = 90° - ∠OAC = 90° - 60° = 30°。
30°

10. 如图,$A$,$B$,$C$,$D为\odot O$上的四点,$AC \perp OD于点E$,且$\overgroup{AB} = 2\overgroup{AD}$。求证：$AB = 2AE$。

答案： 证明：连接OA，设∠AOD=α。
∵AC⊥OD，
∴∠AEO=90°。
在Rt△AEO中，AE=OA·sinα。
∵$\overgroup{AB}=2\overgroup{AD}$，
∴∠AOB=2∠AOD=2α。
∵OA=OB，
∴△AOB为等腰三角形，OA=OB。
过O作OF⊥AB于F，则AF=FB=$\frac{1}{2}$AB，∠AOF=∠BOF=α。
在Rt△AOF中，AF=OA·sinα。
∴AB=2AF=2OA·sinα。
∵AE=OA·sinα，
∴AB=2AE。

11. 如图,在$\odot O$中,$\overgroup{AB} = \overgroup{AC}$,$\angle ACB = 60^{\circ}$。
(1) 求证：$\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC$；
(2) 若$D是\overgroup{AB}$的中点,求证：四边形$OADB$是菱形。

答案： 【解析】：
（1）本题可根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，以及等边三角形的判定与性质来证明$\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC$。
已知在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，可得$\angle AOB = \angle AOC$。
因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，且同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，所以$\angle AOB = 2\angle ACB = 2×60^{\circ} = 120^{\circ}$。
又因为$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，所以$AB = AC$（在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等），且$\angle AOB = \angle AOC = 120^{\circ}$，那么$\angle BOC = 360^{\circ} - \angle AOB - \angle AOC = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 120^{\circ} = 120^{\circ}$。
所以$\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC$。
（2）本题可先根据已知条件得出$OA = OB = AD = BD$，再根据菱形的判定定理来证明四边形$OADB$是菱形。
连接$OD$，因为$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，可得$\angle AOD = \angle BOD = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}×120^{\circ} = 60^{\circ}$。
又因为$OA = OD = OB$（圆的半径都相等），在$\triangle AOD$和$\triangle BOD$中，$OA = OD$，$\angle AOD = 60^{\circ}$，所以$\triangle AOD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$AD = OA = OD$。
同理，在$\triangle BOD$中，$OB = OD$，$\angle BOD = 60^{\circ}$，所以$\triangle BOD$是等边三角形，则$BD = OB = OD$。
因为$OA = OB$，所以$OA = OB = AD = BD$，根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形$OADB$是菱形。
【答案】：
(1) 证明：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，
∴$\angle AOB = \angle AOC$。
∵$\angle ACB = 60^{\circ}$，
∴$\angle AOB = 2\angle ACB = 120^{\circ}$。
∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$，
∴$AB = AC$，$\angle AOB = \angle AOC = 120^{\circ}$。
∴$\angle BOC = 360^{\circ} - \angle AOB - \angle AOC = 120^{\circ}$。
∴$\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC$。
(2) 证明：
连接$OD$。
∵$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$，
∴$\angle AOD = \angle BOD = \frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$。
∵$OA = OD = OB$，
∴$\triangle AOD$和$\triangle BOD$是等边三角形。
∴$AD = OA = OD$，$BD = OB = OD$。
∵$OA = OB$，
∴$OA = OB = AD = BD$。
∴四边形$OADB$是菱形。

12. 如图,在$\odot O$中,$C是\overgroup{ACB}$的中点,$D$,$E分别是OA$,$OB$上的点,且$AD = BE$,弦$CM$,$CN分别过点D$,$E$。求证：
(1) $CD = CE$；
(2) $\overgroup{AM} = \overgroup{BN}$。

答案：
(1)证明：连接OC，
∵C是$\overgroup{ACB}$的中点，
∴$\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，AD=BE，
∴OD=OE，
在△COD和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}OC=OC\\ \angle COD=\angle COE\\ OD=OE\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE；
(2)证明：由
(1)知△COD≌△COE，
∴∠CDO=∠CEO，
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC，
∵∠CDO=∠OAC+∠ACD，∠CEO=∠OBC+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∵C是$\overgroup{ACB}$的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
又
∵∠AOC=2∠ACM，∠BOC=2∠BCN，
∴∠ACM=∠BCN，
∵∠ACD=∠BCE，∠MCD=∠NCE，
∴∠ACM - ∠MCD=∠BCN - ∠NCE，即∠ACD=∠BCE，
∴$\overgroup{AM}=\overgroup{BN}$。