《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

23. 某商场购进一批进价为每件$16$元的日用品,按每件$20$元的价格销售,每月能卖$360$件.经调查发现,每件的售价每提高$1$元,月销售量就减少$30$件.设每件的售价为$x元(20≤x≤28)$,每月销售该日用品获得的利润为$W$元.
(1) 若按每件$25$元的价格销售,则每月能卖______件.210
(2) 求$W与x$之间的函数解析式.$W = -30x^2 + 1440x - 15360$
(3) 当售价定为每件多少元时,才能使每月销售该日用品获得的利润最大? 最大利润是多少?当售价定为每件24元时，每月销售该日用品获得的利润最大，最大利润是1920元。

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的建立和求解最大值问题。
(1) 主要考察简单的算术运算，通过给定的销售价格和销售量之间的关系来求解。
(2) 需要根据题目描述建立利润$W$与售价$x$之间的函数关系。
(3) 则是通过求解二次函数的最大值来找出最优售价。
【答案】：
(1) 解：
当售价为$25$元时，根据题目中的关系，销售量会减少$(25-20) × 30 = 150$件，
所以销售量为$360 - 150 = 210$件。
故答案为$210$件。
(2) 解：
利润$W$由售价$x$和销售量决定，销售量与售价的关系为$360 - 30(x - 20)$，
则$W = (x - 16)[360 - 30(x - 20)]$
$= (x - 16)(360 - 30x + 600)$
$= (x - 16)(960 - 30x)$
$= -30x^2 + 1440x - 15360$
所以，$W$与$x$之间的函数解析式为$W = -30x^2 + 1440x - 15360$。
(3) 解：
利润函数为$W = -30x^2 + 1440x - 15360$，这是一个开口向下的二次函数，
根据二次函数的性质，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1440}{2(-30)} = 24$时，$W$取得最大值，
$W_{\text{最大值}} = -30(24^2) + 1440(24) - 15360 = 1920$，
因为$20 \leq x \leq 28$，且$24$在这个范围内，
所以当售价定为每件$24$元时，每月销售该日用品获得的利润最大，最大利润是$1920$元。

24. (2023·海安期末)已知直线$y= -x+c(c＞0)与x$轴、$y轴分别交于A,B$两点,抛物线$y= ax^{2}+bx+c过点A$,与$x轴的另一个交点为C$.
(1) 若$c= 3$,点$C的坐标为(1,0)$,求抛物线对应的函数解析式.
(2) 若$b= -4$,探究线段$OB,OC$之间的数量关系,并说明理由.
(3) 点$D的坐标为(-c,0)$,以$AD为一边在x轴上方作正方形ADEF$.若抛物线$y= ax^{2}+bx+c的顶点在正方形ADEF$的边上,求$b$的值.

答案：
(1)解：当$c = 3$时，直线$y=-x + 3$与$x$轴交于$A$点，令$y = 0$，则$0=-x+3$，解得$x = 3$，$\therefore A(3,0)$。
抛物线$y=ax^{2}+bx + 3$过$A(3,0)$和$C(1,0)$，设抛物线解析式为$y=a(x - 3)(x - 1)$，展开得$y=a(x^{2}-4x + 3)=ax^{2}-4ax+3a$。
对比系数得$3a=3$，$\therefore a = 1$，$\therefore$抛物线解析式为$y=x^{2}-4x + 3$。
(2)解：$OB=OC$。理由如下：
直线$y=-x + c$与$y$轴交于$B$点，令$x = 0$，则$y=c$，$\therefore B(0,c)$，$OB = c$。
抛物线$y=ax^{2}-4x + c$过$A$点，由
(1)知$A(c,0)$，代入抛物线得$0=ac^{2}-4c + c$，即$ac^{2}-3c=0$，$c(ac - 3)=0$。
$\because c＞0$，$\therefore ac=3$，$a=\frac{3}{c}$，抛物线解析式为$y=\frac{3}{c}x^{2}-4x + c$。
令$y = 0$，则$\frac{3}{c}x^{2}-4x + c=0$，两边乘$c$得$3x^{2}-4cx + c^{2}=0$，解得$x=\frac{4c\pm\sqrt{16c^{2}-12c^{2}}}{6}=\frac{4c\pm2c}{6}$。
$\therefore x_{1}=c$（$A$点），$x_{2}=\frac{c}{3}$，$\therefore C(\frac{c}{3},0)$，$OC=\frac{c}{3}$？？？此处修正：
由韦达定理，$x_{A}+x_{C}=\frac{4}{a}$，$x_{A}=c$，$a=\frac{3}{c}$，$\frac{4}{a}=\frac{4c}{3}$，$\therefore x_{C}=\frac{4c}{3}-c=\frac{c}{3}$，$OC=\frac{c}{3}$？？？矛盾，重新计算：
正确解法：$3x^{2}-4cx + c^{2}=0$，因式分解$(3x - c)(x - c)=0$，$\therefore x = c$或$x=\frac{c}{3}$，$\therefore C(\frac{c}{3},0)$，$OC=\frac{c}{3}$，而$OB = c$，$\therefore OB=3OC$。
(3)解：$D(-c,0)$，$A(c,0)$，$\therefore AD = c-(-c)=2c$，正方形$ADEF$在$x$轴上方，$E(c,2c)$，$F(-c,2c)$。
抛物线$y=ax^{2}+bx + c$顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，过$A(c,0)$得$ac^{2}+bc + c=0$，$c＞0$，$\therefore ac + b+1=0$，$a=-\frac{b + 1}{c}$。
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2×(-\frac{b + 1}{c})}=\frac{bc}{2(b + 1)}$，纵坐标$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×(-\frac{b + 1}{c})× c - b^{2}}{4×(-\frac{b + 1}{c})}=\frac{-4(b + 1)-b^{2}}{-\frac{4(b + 1)}{c}}=\frac{c(b^{2}+4b + 4)}{4(b + 1)}=\frac{c(b + 2)^{2}}{4(b + 1)}$。
分两种情况：
①顶点在$AD$上方的边$EF$上（$y = 2c$）：$\frac{c(b + 2)^{2}}{4(b + 1)}=2c$，$(b + 2)^{2}=8(b + 1)$，$b^{2}+4b + 4=8b + 8$，$b^{2}-4b - 4=0$，解得$b=2\pm2\sqrt{2}$。
顶点在$EF$上时，横坐标$-c\leq x\leq c$，$b=-2 + 2\sqrt{2}$时，$x=\frac{bc}{2(b + 1)}$符合；$b=-2 - 2\sqrt{2}$（舍，$b + 1＜0$）。
②顶点在$DE$或$AF$上（$x=-c$或$x = c$）：
若$x=-c$，则$\frac{bc}{2(b + 1)}=-c$，$\frac{b}{2(b + 1)}=-1$，$b=-2(b + 1)$，$b=-\frac{2}{3}$；
若$x = c$，则$\frac{bc}{2(b + 1)}=c$，$\frac{b}{2(b + 1)}=1$，$b=2(b + 1)$，$b=-2$。
综上，$b=-\frac{2}{3}$或$b=-2$或$b=2 + 2\sqrt{2}$。
答案：
(1)$y=x^{2}-4x +3$；
(2)$OB=3OC$；
(3)$b=-\frac{2}{3}$或$-2$或$2 + 2\sqrt{2}$。