《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. 已知$\odot O$的半径为4,点O到直线m的距离为d.若直线m与$\odot O$的公共点的个数为2,则d的值可取 (D)
A.5
B.4.5
C.4
D.0

答案： 【解析】：
本题主要考察直线与圆的位置关系。根据直线与圆的位置关系，若直线与圆有两个公共点，则直线与圆相交。此时，圆心到直线的距离d应小于圆的半径。
已知圆的半径为4，所以我们需要找到一个小于4的d值。
A选项：$d=5＞4$，所以直线与圆相离，不符合题意。
B选项：$d=4.5＞4$，所以直线与圆相离，不符合题意。
C选项：$d=4$，此时直线与圆相切，只有一个公共点，不符合题意。
D选项：$d=0$，显然$d＜4$，所以直线与圆相交，有两个公共点，符合题意。
【答案】：
D

9. 已知同一平面内有$\odot O$和点A,B.如果$\odot O$的半径为6cm,线段OA的长为10cm,线段OB的长为6cm,那么直线AB与$\odot O$的位置关系为 (D)
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切

答案： 【解析】：
本题主要考察直线与圆的位置关系。
首先，根据题目描述，知道圆$O$的半径$r$为$6cm$，点$O$到点$A$的距离$OA$为$10cm$，点$O$到点$B$的距离$OB$为$6cm$。
当$OB$垂直于直线$AB$时：
由于$OB$等于圆的半径，即$6cm$，此时圆心$O$到直线$AB$的距离$d$就是$OB$，即$d=6cm$。
由于$d=r$，根据直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。
当$OB$不垂直于直线$AB$时：
此时，圆心$O$到直线$AB$的距离$d$会小于$OB$，即$d＜6cm$。
由于$d＜r$，根据直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交。
综合以上两种情况，直线$AB$与圆$O$的位置关系可以是相交或相切。
【答案】：D. 相交或相切。

10. 已知$\odot O$的半径为R,点O到直线l的距离为d,且R,d是关于x的方程$x^{2}-4x+m= 0$的两个实数根.当直线l与$\odot O$相切时,m的值为______4.

答案： 【解析】：
本题考查直线与圆的位置关系，以及一元二次方程的根的判别式。
由于直线$l$与圆$\odot O$相切，根据直线与圆的位置关系，我们知道圆心O到直线l的距离d等于圆的半径R。
又因为R和d是方程$x^{2} - 4x + m = 0$的两个实数根，根据一元二次方程的根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$。
将方程的系数代入判别式，得到：
$\Delta = (-4)^{2} - 4 × 1 × m = 16 - 4m = 0$。
解这个方程，得到$m = 4$。
【答案】：
$m = 4$。

11. 如图,直线$a⊥b$,垂足为H,点P在直线b上,$PH= 4cm$,O为直线b上一动点.如果以1cm为半径的$\odot O$与直线a相切,那么线段OP的长为______3cm或5cm.

答案： 【解析】：
本题考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆相切利用性质得出$OH$的长度为圆的半径，再利用垂线的性质，即点$H$为$OP$的中点，进而可求出$OP$的长度。
因为直线$a\perp b$，垂足为$H$，$\odot O$与直线$a$相切，切点与圆心的连线为半径，所以$OH$为半径，即$OH=1cm$。
又因为点$P$在直线$b$上，$PH=4cm$，且$H$为$OP$在直线$b$上的垂足，所以$OP=OH+PH$（$O$，$H$，$P$在同一条直线上），或者$OP=PH-OH$（$O$在$H$，$P$之间）。
当$O$在$PH$之间时，$OP=PH-OH=4-1=3cm$；
当$O$在$H$点左侧时，$OP=PH+OH=4+1=5cm$。
【答案】：
$OP=5cm$或$3cm$。

12. (易错题)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 3,BC= 4$.若以点C为圆心,r为半径画$\odot C$,请根据下列条件,求半径r的值或取值范围.
(1) $\odot C$与斜边AB有1个公共点;
(2) $\odot C$与斜边AB有2个公共点;
(3) $\odot C$与斜边AB没有公共点.

答案： 【解析】：本题主要考查直线与圆的位置关系，可通过比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小关系来确定。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$（$CD$为$C$到$AB$的距离），可得$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
（1）当$\odot C$与斜边$AB$有$1$个公共点时，分两种情况：
情况一：$\odot C$与$AB$相切，此时圆心$C$到$AB$的距离$d$等于半径$r$，即$r = \frac{12}{5}$。
情况二：$\odot C$与$AB$相交，且只有一个交点在$AB$的延长线上（或反向延长线上），此时$3\lt r\leqslant4$。
（2）当$\odot C$与斜边$AB$有$2$个公共点时，圆心$C$到$AB$的距离$d$小于半径$r$，且$r$要小于$AC$和$BC$中的较大值，即$\frac{12}{5}\lt r\leqslant3$。
（3）当$\odot C$与斜边$AB$没有公共点时，分两种情况：
情况一：$\odot C$在$AB$的下方，此时$r\lt\frac{12}{5}$。
情况二：$\odot C$包含$\triangle ABC$，此时$r\gt4$。
【答案】：
(1) $r = \frac{12}{5}$或$3\lt r\leqslant4$；
(2) $\frac{12}{5}\lt r\leqslant3$；
(3) $r\lt\frac{12}{5}$或$r\gt4$。

13. 如图,P为正比例函数$y= \frac {3}{2}x$的图象上一动点,$\odot P$的半径是2.5,设点P的坐标为$(x,y)$.
(1) 当$\odot P与直线x= 2$相切时,求点P的坐标;
(2) 请直接写出当$\odot P与直线x= 2$相交、相离时,x的取值范围.

答案： 【解析】：
本题考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，据此可求出点$P$的坐标；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径，进而求出$x$的取值范围。
(1)已知点$P$在正比例函数$y = \frac{3}{2}x$的图象上，所以设点$P$的坐标为$(x,\frac{3}{2}x)$。
因为$\odot P$与直线$x = 2$相切，所以点$P$到直线$x = 2$的距离等于圆的半径$2.5$。
点$P(x,\frac{3}{2}x)$到直线$x = 2$的距离为$\vert x - 2\vert$，则$\vert x - 2\vert = 2.5$。
当$x - 2 = 2.5$时，$x = 2 + 2.5 = 4.5$，此时$y = \frac{3}{2} × 4.5 = 6.75$，点$P$的坐标为$(4.5,6.75)$。
当$x - 2 = -2.5$时，$x = 2 - 2.5 = -0.5$，此时$y = \frac{3}{2} × (-0.5) = -0.75$，点$P$的坐标为$(-0.5,-0.75)$。
(2)由
(1)可知，当$\odot P$与直线$x = 2$相切时，$x = 4.5$或$x = -0.5$。
当$\odot P$与直线$x = 2$相交时，点$P$到直线$x = 2$的距离小于圆的半径$2.5$，即$\vert x - 2\vert \lt 2.5$，解不等式可得$-0.5 \lt x \lt 4.5$。
当$\odot P$与直线$x = 2$相离时，点$P$到直线$x = 2$的距离大于圆的半径$2.5$，即$\vert x - 2\vert \gt 2.5$，解不等式可得$x \lt -0.5$或$x \gt 4.5$。
【答案】：
(1)点$P$的坐标为$(4.5,6.75)$或$(-0.5,-0.75)$。
(2)当$\odot P$与直线$x = 2$相交时，$-0.5 \lt x \lt 4.5$；当$\odot P$与直线$x = 2$相离时，$x \lt -0.5$或$x \gt 4.5$。