《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·长沙)如图,在$\odot O$中,弦$AB的长为8$,圆心$O到AB的距离OE = 4$,则$\odot O$的半径为(B)
A.$4$
B.$4\sqrt{2}$
C.$5$
D.$5\sqrt{2}$

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理和勾股定理来求解圆的半径。
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知$OE\perp AB$，$OE$是圆心$O$到弦$AB$的距离，弦$AB$的长为$8$，由垂径定理可得$AE=\frac{1}{2}AB$，所以$AE=\frac{1}{2}×8 = 4$。
又已知圆心$O$到$AB$的距离$OE = 4$，在$Rt\triangle OAE$中，$OA$为圆的半径，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$OA=\sqrt{AE^{2}+OE^{2}}$。
将$AE = 4$，$OE = 4$代入上式，即可求出$OA$的值，也就是圆的半径。
【答案】：解：
∵$OE\perp AB$，$AB = 8$
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4$
在$Rt\triangle OAE$中，$OE = 4$，根据勾股定理可得：
$OA=\sqrt{AE^{2}+OE^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{16 + 16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
即$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}$。
所以本题答案选B。

2. (2023·宜昌)如图,$OA$,$OB$,$OC都是\odot O$的半径,$AC$,$OB交于点D$.若$AD = CD = 8$,$OD = 6$,则$BD$的长为(B)

A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
]

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理的推论得出$OD$垂直平分$AC$，再利用勾股定理求出半径$OA$（或$OC$）的长度，最后在$Rt\triangle OBD$中求出$BD$的长度。
已知$AC$，$OB$交于点$D$，$AD = CD = 8$，$OD = 6$，根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，可知$OB$垂直平分$AC$，即$\angle ODA = \angle ODC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle OAD$中，$AD = 8$，$OD = 6$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得：
$OA=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
因为$OA = OB = 10$（同圆的半径相等），$OD = 6$，所以$BD = OB - OD = 10 - 6 = 4$。
【答案】：B。

3. 往水平放置的半径为$13\mathrm{cm}$的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示.若水面宽度$AB = 24\mathrm{cm}$,则水的最大深度为(B)
A.$5\mathrm{cm}$
B.$8\mathrm{cm}$
C.$10\mathrm{cm}$
D.$12\mathrm{cm}$
]

答案： 【解析】：本题可先根据圆的性质求出圆心到水面的距离，再结合水的最大深度的定义求出其值。
连接圆心$O$与弦$AB$的中点$D$，根据垂径定理可知$OD\perp AB$，且$D$为$AB$中点，已知$AB = 24cm$，则$AD=\frac{1}{2}AB = 12cm$。
已知圆的半径$OA = 13cm$，在$Rt\triangle OAD$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可求出$OD$的长度。
水的最大深度为$CD$的长度，而$CD = OC - OD$，其中$OC$为圆的半径，由此可计算出水的最大深度。
【答案】：连接$OA$，过点$O$作$OD\perp AB$交$AB$于点$D$，
$\because OD\perp AB$，$AB = 24cm$，
$\therefore AD = BD = 12cm$，
又$\because OA = 13cm$，
$\therefore$在$Rt\triangle AOD$中，$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5cm$，
$\therefore CD = OC - OD = 13 - 5 = 8cm$。
故选B。

4. (2023·通州期中)已知$\odot O的半径为5\mathrm{cm}$,圆心$O到弦AB的距离为3\mathrm{cm}$,则弦$AB$的长为8$\mathrm{cm}$.

答案： 【解析】：
本题考查了垂径定理的应用，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
同时也考察了勾股定理的应用，因为在直角三角形中，已知直角边和斜边，可以求另一直角边。
根据垂径定理，过圆心$O$作$OC \perp AB$于点$C$，则$AC = BC = \frac{1}{2}AB$，且$OC$就是圆心$O$到弦$AB$的距离。
在直角三角形$OAC$中，已知$OA = 5\mathrm{cm}$（圆的半径）和$OC = 3\mathrm{cm}$（圆心到弦的距离），利用勾股定理求$AC$。
$AC = \sqrt{OA^{2} - OC^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$，
所以，弦$AB$的长度为$2 × AC = 2 × 4 = 8\mathrm{cm}$。
【答案】：
$8\mathrm{cm}$

5. (教材 P83 练习第 1 题变式)如图,$AB为\odot O$的弦,半径$OD\perp AB于点C$.若$AB = 8$,$CD = 2$,则$\odot O$的半径为______5.

答案： 【解析】：本题主要考查了垂径定理的应用。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$AC=CB$，
因为$AB=8$，
所以，$AC=CB=4$，
设半径为$r$，则$OC=r-2$，
在$Rt \bigtriangleup ACO$ 中，利用勾股定理可得，
$r^2=(r-2)^2+4^2$。
解得，$r=5$。
【答案】：$5$

6. (新考向·数学文化)(2024·海安期中)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其大意如下:如图,现有圆柱形木材埋在墙壁里,不知道木材的大小,用锯子去锯该木材,测得深度$CD为1$寸,锯道$AB的长为1$尺($1尺 = 10$寸),则该木材的半径为______寸.
]
 

13

答案： 【解析】：
本题可根据垂径定理和勾股定理来求解圆的半径。
设圆心为$O$，过$O$作$OC\perp AB$于点$C$，连接$OA$。
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，所以$AC = \frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 1$尺$ = 10$寸，则$AC=\frac{1}{2}×10 = 5$寸。
设圆的半径为$r$寸，因为$CD = 1$寸，所以$OC=(r - 1)$寸。
在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$，即$r^{2}=5^{2}+(r - 1)^{2}$。
展开式子可得$r^{2}=25+r^{2}-2r + 1$，
移项化简可得$2r = 26$，解得$r = 13$。
所以该木材的半径为$13$寸。
【答案】：
$13$

8. (易错题)已知$\odot O的半径为13\mathrm{cm}$,弦$AB = 24\mathrm{cm}$,弦$CD = 10\mathrm{cm}$,$AB// CD$,则$AB和CD$之间的距离为(C)
A.$17\mathrm{cm}$
B.$7\mathrm{cm}$
C.$17\mathrm{cm}或7\mathrm{cm}$
D.$8\mathrm{cm}或11\mathrm{cm}$

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：AB和CD在圆心O的同侧
过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
AE = AB/2 = 12cm，CF = CD/2 = 5cm。
在Rt△AOE中，OE = √(OA² - AE²) = √(13² - 12²) = 5cm。
在Rt△COF中，OF = √(OC² - CF²) = √(13² - 5²) = 12cm。
AB和CD之间的距离EF = OF - OE = 12 - 5 = 7cm。
情况二：AB和CD在圆心O的两侧
同理，OE = 5cm，OF = 12cm。
AB和CD之间的距离EF = OF + OE = 12 + 5 = 17cm。
综上，AB和CD之间的距离为17cm或7cm。
答案：C