《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

5. (2024·启东期中)一座抛物线形拱桥的示意图如图①所示,当水面AB宽为16m时,桥洞顶部点C距离水面4m.
(1) 建立合适的平面直角坐标系,求该抛物线对应的函数解析式.
(2) 若暴雨导致水位上升了2m,求此时水面的宽度.
(3) 已知一艘货船的高为2.6m,宽为3.2m,其截面如图②所示.为保证这艘货船可以安全通过拱桥,水面在正常水位($AB = 16m$)的基础上最多能上升多少米?

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的实际应用。
（1）以点C为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。
设抛物线的函数解析式为$y = ax^{2}$（$a\ne 0$）。
因为水面AB宽为$16m$，桥洞顶部点C距离水面$4m$，
所以点A的坐标为$(-8, -4)$，点B的坐标为$(8, -4)$。
将点A的坐标代入$y = ax^{2}$，可得：$-4 = a× (-8)^{2}$，
即：$-4 = 64a$，
解得：$a = -\frac{1}{16}$。
所以，该抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{16}x^{2}$。
（2）水位上升了$2m$，则此时水面到桥洞顶部的距离为$4 - 2 = 2$（m），即$y = -2$。
将$y = -2$代入$y = -\frac{1}{16}x^{2}$，可得：$-2 = -\frac{1}{16}x^{2}$，
即：$x^{2} = 32$，
解得：$x = \pm 4\sqrt{2}$。
所以，此时水面的宽度为$4\sqrt{2} - (-4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$（m）。
（3）设水面在正常水位的基础上上升了$h$m，此时水面到桥洞顶部的距离为$(4 - h)$m，即$y = -(4 - h)$。
货船宽为$3.2m$，则当$x = 3.2÷ 2 = 1.6$时，货船刚好能通过拱桥。
将$x = 1.6$代入$y = -\frac{1}{16}x^{2}$，可得：$y = -\frac{1}{16}× 1.6^{2} = -0.16$。
所以，有$-(4 - h) = -0.16$，
即：$4 - h = 0.16$，
解得：$h = 3.84 - 2.6 = 1.24\text{m}$（货船高$2.6m$，所以要保证$4 - h\geq 2.6$）。
为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升$1.24$m。
【答案】：
(1) $y = -\frac{1}{16}x^{2}$；
(2) $8\sqrt{2}m$；
(3) $1.24m$。

6. 如图,排球场的长OD为18米,位于排球场中线处的球网AB的高为2.24米,某队员站在点O处发球,排球从点O的正上方2米的点C处向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分,当排球飞行至离点O的水平距离OE为6米时,到达最高点G处,以O为原点建立平面直角坐标系.
(1) 若排球飞行的最大高度为2.8米,求排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2) 在(1)的条件下,这次发出的球能够过球网吗? 若能够过球网,则是否会出界?
(3) 若该队员发球要过球网,且使排球不会出界(排球压线属于没出界),求抛物线对应的二次函数中二次项系数的最大值.

答案：
(1)解：由题意知抛物线顶点G的坐标为(6, 2.8)，设抛物线解析式为$p=a(x - 6)^2+2.8$。
将点C(0, 2)代入，得$2=a(0 - 6)^2+2.8$，解得$a=-\frac{1}{45}$。
∴函数解析式为$p=-\frac{1}{45}(x - 6)^2+2.8$。
(2)解：球网AB位于x=9处，当x=9时，
$p=-\frac{1}{45}(9 - 6)^2+2.8=-\frac{1}{45}×9 + 2.8=2.6$。
∵2.6 ＞ 2.24，
∴球能过网。
排球场端点D位于x=18处，当x=18时，
$p=-\frac{1}{45}(18 - 6)^2+2.8=-\frac{144}{45}+2.8=-3.2 + 2.8=-0.4$。
∵-0.4 ＜ 0，
∴球不会出界。
(3)解：设抛物线解析式为$p=a(x - 6)^2+k$，由点C(0, 2)得$2=36a + k$，即$k=2 - 36a$。
要过网：当x=9时，$p=a(9 - 6)^2 + k=9a + 2 - 36a=2 - 27a\geq2.24$，解得$a\leq-\frac{0.24}{27}=-\frac{2}{225}$。
不出界：当x=18时，$p=a(18 - 6)^2 + k=144a + 2 - 36a=2 + 108a\leq0$，解得$a\leq-\frac{2}{108}=-\frac{1}{54}$。
∵$-\frac{2}{225}=-\frac{24}{2700}$，$-\frac{1}{54}=-\frac{50}{2700}$，且$-\frac{24}{2700}＞-\frac{50}{2700}$，
∴二次项系数a的最大值为$-\frac{2}{225}$。