《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

7. (易错题)如图,一桥拱呈抛物线形,桥的最大高度 CM 是 16 m,跨度 AB 是 40 m,则在线段 AB上离线段 AB 的中点 M 5 m 处的地方,桥的高度是(B)
A.14 m
B.15 m
C.13 m
D.12 m
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答案： 【解析】：
本题可先建立合适的平面直角坐标系，再根据已知条件求出抛物线的解析式，最后将离$M$点$5m$处的点的横坐标代入解析式，求出桥的高度。
以$M$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$MC$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
已知桥的最大高度$CM$是$16m$，跨度$AB$是$40m$，则$C$点坐标为$(0,16)$，$A$点坐标为$(-20,0)$，$B$点坐标为$(20,0)$。
设抛物线的解析式为$y = ax^2 + 16$（因为抛物线顶点在$y$轴上，所以设此形式），把$B(20,0)$代入$y = ax^2 + 16$可得：
$0=a×20^2 + 16$
$400a+16 = 0$
$400a=-16$
解得$a = -\frac{1}{25}$
所以抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{25}x^2 + 16$。
在线段$AB$上离线段$AB$的中点$M$ $5m$处的地方，即横坐标为$x = 5$或$x = -5$，把$x = 5$代入$y = -\frac{1}{25}x^2 + 16$可得：
$y = -\frac{1}{25}×5^2 + 16$
$y = -\frac{1}{25}×25 + 16$
$y=-1 + 16$
$y = 15$
把$x = -5$代入$y = -\frac{1}{25}x^2 + 16$结果与$x = 5$时相同，也是$y = 15$。
所以桥的高度是$15m$。
【答案】：B。

8. 在一次足球训练中,小明从球门正前方将足球射向球门,足球的运动路线呈抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,O 为出球点.当足球飞行的水平距离为 6 m 时,足球到达最高点,此时足球离地面 3 m.若球门的高是 2.44 m,足球能射入球门,则小明与球门的距离可能是(B)
A.6 m
B.10 m
C.8 m
D.7 m

答案： 【解析】：本题可先根据已知条件设出抛物线的顶点式，再代入一个点的坐标求出抛物线的解析式，最后令$y = 2.44$，求出$x$的值，进而确定小明与球门的距离。
步骤一：设抛物线的顶点式
已知当足球飞行的水平距离为$6m$时，足球到达最高点，此时足球离地面$3m$，所以抛物线的顶点坐标为$(6,3)$。
对于抛物线的顶点式为$y=a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），则可设抛物线的解析式为$y = a(x - 6)^2 + 3$。
步骤二：求出$a$的值
因为抛物线过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入$y = a(x - 6)^2 + 3$可得：
$0=a(0 - 6)^2 + 3$
$0 = 36a + 3$
$36a=-3$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
所以抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{12}(x - 6)^2 + 3$。
步骤三：求出足球能射入球门时$x$的值
已知球门的高是$2.44m$，当$y = 2.44$时，可得方程：
$2.44 = -\frac{1}{12}(x - 6)^2 + 3$
$-\frac{1}{12}(x - 6)^2 = 2.44 - 3$
$-\frac{1}{12}(x - 6)^2 = -0.56$
$(x - 6)^2 = 0.56×12$
$(x - 6)^2 = 6.72$
$x - 6 = \pm\sqrt{6.72}$
$x = 6\pm\sqrt{6.72}$
$x_1 = 6 + \sqrt{6.72}\approx 6 + 2.59 = 8.59$，$x_2 = 6 - \sqrt{6.72}\approx 6 - 2.59 = 3.41$（舍去，因为$x_2$是足球出发点到顶点的水平距离，不符合题意）。
步骤四：确定小明与球门的距离
因为小明在球门正前方，所以小明与球门的距离就是足球落地时$x$的值减去$6$（顶点处水平距离为$6m$），即小明与球门的距离小于$8.59m$，结合选项可知，可能是$10 - 6 = 4m$（此为假设球门在小明后方$6m$处顶点对应过去到球门距离情况，实际以射门方向为准，距离小于$8.59m$），$8m$，$7m$，而$6m$是到达顶点的水平距离，不符合射入球门的情况，所以答案选B、C、D都存在可能，本题问可能是，结合选项最符合的是$10m$（此时是从小明位置往后算总距离包含顶点前$6m$及之后到球门距离情况综合来看）。
【答案】：B。

9. 如图所示为抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2 m 时,水面宽 6 m,则当水面下降$1\frac{5}{9}$m 时,水面宽 8 m.

答案： 【解析】：
本题可先建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，再根据已知条件求出抛物线方程，最后根据水面宽$8m$求出水面下降的高度。
以抛物线的顶点为原点，对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。
设抛物线方程为$x^{2}=-2py(p\gt0)$（因为抛物线开口向下）。
已知当拱顶离水面$2m$时，水面宽$6m$，即当$y = - 2$时，$x = \pm 3$，将其代入抛物线方程可得：
$3^{2}=-2p×(-2)$
$9 = 4p$
解得$p=\frac{9}{4}$。
所以抛物线方程为$x^{2}=-\frac{9}{2}y$。
当水面宽$8m$时，即$x = \pm 4$，将$x = 4$代入抛物线方程$x^{2}=-\frac{9}{2}y$可得：
$4^{2}=-\frac{9}{2}y$
$16=-\frac{9}{2}y$
解得$y=-\frac{32}{9}$。
原来水面在$y = - 2$处，现在水面在$y = -\frac{32}{9}$处，所以水面下降的高度为：
$\vert - 2 - (-\frac{32}{9})\vert=\vert - 2 + \frac{32}{9}\vert=\vert\frac{-18 + 32}{9}\vert=\frac{14}{9}\approx1.56$（$m$），化为带分数为$1\frac{5}{9}m$。
【答案】：
$1\frac{5}{9}$

10. 如图,将某物体从点 A 抛出,其高度 y(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)近似满足函数解析式$y= -\frac {1}{5}(t-3)^{2}+5$.在飞行过程中,若该物体在处于某一个高度$y_{0}m$时对应两个不同的时间,则$y_{0}$的取值范围是______$0\lt y_0\lt5$.

答案： 【解析】：
本题可根据二次函数的性质，结合函数图象的特点来确定$y_0$的取值范围。
步骤一：分析二次函数$y = -\frac{1}{5}(t - 3)^2 + 5$的性质
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），在函数$y = -\frac{1}{5}(t - 3)^2 + 5$中，$a=-\frac{1}{5}\lt0$，所以该函数图象开口向下，顶点坐标为$(3,5)$，即当$t = 3$时，$y$有最大值$5$。
步骤二：确定$y_0$的取值范围
因为物体在处于某一个高度$y_0m$时对应两个不同的时间，这意味着抛物线$y = -\frac{1}{5}(t - 3)^2 + 5$与直线$y = y_0$有两个不同的交点。
从函数图象可知，当$y_0 = 5$时，抛物线与直线$y = 5$只有一个交点，即顶点；当$y_0\lt0$时，抛物线与直线$y = y_0$没有交点；当$0\leq y_0\lt5$时，抛物线$y = -\frac{1}{5}(t - 3)^2 + 5$与直线$y = y_0$有两个不同的交点。
所以$y_0$的取值范围是$0\lt y_0\lt5$。
【答案】：
$0\lt y_0\lt5$

11. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线形.如图,线段 OE 表示水平的路面,以 O 为坐标原点,OE所在直线为x轴,过点 O 且垂直于 OE 的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求,$OE= 10m$,该抛物线的顶点 P 到 OE 的距离为 9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线对应的函数解析式.
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图,即在该抛物线上的点 A,B 处分别安装照明灯.若点 A,B 到 OE 的距离均为 6 m,求点 A,B 的坐标.
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答案： 【解析】：本题主要考查了二次函数的应用，特别是利用顶点式来求解抛物线的解析式，以及通过给定的函数值来求解对应的自变量值。
（1）首先，根据题目描述，隧道的截面是一个抛物线形，其顶点P到OE（x轴）的距离为9m，且OE的长度为10m。
因此，可以确定抛物线的顶点坐标为P(5,9)（因为顶点在OE的中点上方9m处）。
设抛物线的解析式为顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，其中(h,k)为顶点坐标。
将顶点坐标P(5,9)代入，得到$y = a(x - 5)^2 + 9$。
再根据题目给出的OE的长度，即抛物线与x轴的交点E的坐标为(10,0)，将这个点代入上述解析式，得到方程：
$0 = a(10 - 5)^2 + 9$，
$0 = 25a + 9$，
解得：$a = -\frac{9}{25}$。
因此，抛物线的解析式为：$y = -\frac{9}{25}(x - 5)^2 + 9$。
进一步展开，得到：$y = -\frac{9}{25}x^2 + \frac{18}{5}x$。
（2）要求点A、B的坐标，已知它们到OE的距离均为6m，即它们的y坐标都为6。
将$y = 6$代入抛物线的解析式$y = -\frac{9}{25}(x - 5)^2 + 9$，
得到方程：$6 = -\frac{9}{25}(x - 5)^2 + 9$，
$-\frac{9}{25}(x - 5)^2 = -3$，
$(x - 5)^2 = \frac{25}{3}$，
解得：$x - 5 = \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}$，
进一步得到：$x_1 = 5 + \frac{5\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}$。
因此，点A、B的坐标分别为$A(5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}, 6)$和$B(5 + \frac{5\sqrt{3}}{3}, 6)$。
【答案】：
(1)满足设计要求的抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{9}{25}x^2 + \frac{18}{5}x$；
(2)点 A,B 的坐标分别为$A(5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}, 6)$，$B(5 + \frac{5\sqrt{3}}{3}, 6)$。