《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. (2024·滨州)将抛物线$y= -x^{2}$先向右平移1个单位长度,再向上平移$2$个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为__(1,2)__.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数图像的平移性质。
对于函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$。
对于给定的函数$y = -x^2$，其顶点坐标为(0,0)。
根据平移规律：左加右减，上加下减。
抛物线向右平移1个单位长度，即x的每一个取值都减少1，相当于将x替换为$x-1$；
向上平移2个单位长度，即在原函数值上加2。
所以平移后的抛物线方程为：
$y = -(x-1)^2 + 2$
根据二次函数的性质，对于函数$y = a(x-h)^2 + k$，其顶点为(h,k)。
所以平移后的抛物线顶点坐标为(1,2)。
【答案】：
(1,2)

9. 二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线$x= -1$,则这个二次函数的解析式为 (D)
A.$y= -x^{2}+2x+3$
B.$y= x^{2}+2x+3$
C.$y= -x^{2}+2x-3$
D.$y= -x^{2}-2x+3$

答案： 【解析】：本题可根据二次函数的对称轴公式以及函数图象上的点来求解二次函数的解析式。
二次函数的一般式为$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），已知对称轴是直线$x = -1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$。
观察图象可知函数过点$(-3,0)$，$(0,3)$，将点代入一般式结合对称轴公式求解$a$、$b$、$c$的值。
由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$可得$b = 2a$。
把点$(-3,0)$，$(0,3)$和$b = 2a$代入$y = ax^2 + bx + c$中：
把$(0,3)$代入$y = ax^2 + bx + c$可得$c = 3$。
把$(-3,0)$，$c = 3$，$b = 2a$代入$y = ax^2 + bx + c$得：
$9a - 3b + 3 = 0$，将$b = 2a$代入$9a - 3b + 3 = 0$中，得到$9a - 3×2a + 3 = 0$，
即$9a - 6a + 3 = 0$，$3a + 3 = 0$，解得$a = -1$。
因为$b = 2a$，$a = -1$，所以$b = -2$。
所以二次函数的解析式为$y = -x^2 - 2x + 3$。
【答案】：D。

10. (2023·如皋期中)在二次函数$y= ax^{2}+bx+c$中,$x与y$的部分对应值如下表:
| $x$ | …$$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $-11$ | $-5$ | $-1$ | $1$ | $1$ | …$$ |
根据表中信息,可得一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0的一个根x_{1}$的取值范围是 (C)
A.$-3＜x_{1}＜-2$
B.$-2＜x_{1}＜-1$
C.$-1＜x_{1}＜0$
D.$0＜x_{1}＜1$

答案： 【解析】：
首先，我们观察给定的表格数据，特别是$y$的值。
当$x = -1$时，$y = -1$（负数）；
当$x = 0$时，$y = 1$（正数）。
由于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的连续性，当$x$从$-1$增加到$0$时，$y$的值从负数变为正数，说明在这个区间内，函数图像必然穿过了$x$轴，即存在至少一个$x_1$使得$y = 0$。
因此，我们可以确定一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$的一个根$x_1$必定在$-1$和$0$之间。
【答案】：
C. $-1＜x_{1}＜0$。

11. (2023·海门期中)如图,抛物线$y= ax^{2}与直线y= bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,9),B(1,1)$,则关于$x的方程ax^{2}-bx-c= 0$的根为 (D)

A.$x_{1}= -1,x_{2}= 3$
B.$x_{1}= 9,x_{2}= -3$
C.$x_{1}= 1,x_{2}= 9$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= -3$

答案： 解：因为抛物线$y = ax^2$与直线$y = bx + c$的交点坐标为$A(-3,9)$，$B(1,1)$，所以方程$ax^2 = bx + c$的根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
方程$ax^2 - bx - c = 0$可由$ax^2 = bx + c$移项得到，因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的根与$ax^2 = bx + c$的根相同，即$x_1=-3$，$x_2=1$。
答案：D

12. (2023·海安期中)若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0可以写成a(x+2)(x-5)= 0$的形式,则抛物线$y= a(x-1)^{2}+bx+c-b的对称轴是直线x= $$\frac{5}{2}$.

答案： 解：由题意知，一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$可化为$a(x+2)(x-5)=0$，展开得$ax^{2}-3ax-10a=0$，所以$b=-3a$，$c=-10a$。
将$b=-3a$，$c=-10a$代入抛物线$y=a(x-1)^{2}+bx+c-b$，得：
$\begin{aligned}y&=a(x^{2}-2x + 1) + (-3a)x + (-10a) - (-3a)\\&=ax^{2}-2ax + a - 3ax - 10a + 3a\\&=ax^{2}-5ax - 6a\end{aligned}$
对于抛物线$y=ax^{2}-5ax - 6a$，其对称轴为直线$x=-\frac{-5a}{2a}=\frac{5}{2}$。
答案：$\frac{5}{2}$

13. (2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为$60$米的栅栏,一边借助房屋的外墙围成一个矩形菜园.已知房屋外墙长$40$米,则可围成的菜园的最大面积是450平方米.

答案： 【解析】：
本题考查二次函数实际应用问题，涉及到矩形的面积公式以及二次函数的最值求解。
设垂直于墙的一边长为$x$米，因为栅栏总长为$60$米，一边借助房屋外墙，所以平行于墙的一边长为$(60 - 2x)$米。
由于墙长$40$米，所以平行于墙的边长$60 - 2x\leqslant40$，同时$x\gt0$，$60 - 2x\gt0$，可据此列出不等式组$\begin{cases}60 - 2x\leqslant40\\x\gt0\\60 - 2x\gt0\end{cases}$，解不等式$60 - 2x\leqslant40$可得$x\geqslant10$，解不等式$60 - 2x\gt0$可得$x\lt30$，所以$x$的取值范围是$10\leqslant x\lt30$。
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可得矩形菜园面积$S = x(60 - 2x)=-2x^{2}+60x$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下，在$x = -\frac{b}{2a}$处取得最大值$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
在函数$S = -2x^{2}+60x$中，$a = -2$，$b = 60$，$c = 0$，因为$a = -2\lt0$，所以函数图象开口向下，$x = -\frac{60}{2×(-2)} = 15$在$10\leqslant x\lt30$范围内。
将$x = 15$代入$S = -2x^{2}+60x$可得$S = -2×15^{2}+60×15 = -450 + 900 = 450$（平方米）。
【答案】：
$450$

14. 某超市经销一种商品,在销售过程中,发现经销这种商品一周获得的利润$y$(单位:元)与每件销售价$x$(单位:元)之间满足$y= -2x^{2}+80x+2024$.由于某种原因,每件销售价$x$(单位:元)满足$15≤x≤19$,则该超市经销这种商品一周可获得的最大利润是______元.
2822

答案： 解：对于二次函数$y = -2x^2 + 80x + 2024$，其中$a=-2$，$b=80$，$c=2024$。
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)} = 20$。
又因为$15≤x≤19$，此区间在对称轴$x=20$的左侧，而抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大。
所以当$x=19$时，$y$取得最大值。
将$x=19$代入函数得：
$y=-2×19^2 + 80×19 + 2024$
$=-2×361 + 1520 + 2024$
$=-722 + 1520 + 2024$
$=798 + 2024$
$=2822$
故该超市经销这种商品一周可获得的最大利润是$2822$元。
答案：$2822$

15. 如图①所示为一款稳定的抛物线形落地灯,防滑螺母$C$为抛物线支架的最高点,灯罩$D距离地面1.86m$,灯柱$AB$及支架的相关数据如图②所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,求茶几到灯柱的距离$AE$.

答案： 解：以点A为原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意得：A(0,0)，B(0,1.5)，C(1.5,1.5+2.5)=(1.5,4)，D(x,1.86)，其中AE=x。
设抛物线解析式为y=a(x-1.5)²+4，将B(0,1.5)代入得：
1.5=a(0-1.5)²+4
1.5=2.25a+4
2.25a=-2.5
a=-2.5/2.25=-10/9
∴抛物线解析式为y=-10/9(x-1.5)²+4
当y=1.86时，
1.86=-10/9(x-1.5)²+4
-10/9(x-1.5)²=1.86-4=-2.14
(x-1.5)²=(-2.14)×(-9/10)=1.926
x-1.5=±√1.926≈±1.388
x=1.5±1.388
∵D在C右侧，x＞1.5，
∴x=1.5+1.388≈2.89(m)
答：茶几到灯柱的距离AE约为2.89m。