《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (教材 P51 探究 3 变式)某涵洞的截面是抛物线形,放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数解析式为$y= -\frac {1}{4}x^{2}$.当涵洞水面宽 AB 为 16 m 时,涵洞顶点 O 到水面的距离为(C)
A.6 m
B.12 m
C.16 m
D.24 m
]

答案： 解：
∵抛物线解析式为$y = -\frac{1}{4}x^{2}$，其对称轴为$y$轴，水面宽$AB = 16m$，
∴点$A$与点$B$关于$y$轴对称，点$A$的横坐标为$-8$，点$B$的横坐标为$8$。
当$x = 8$时，$y=-\frac{1}{4}×8^{2}=-16$，
∴点$B$的坐标为$(8,-16)$，
∴涵洞顶点$O$到水面的距离为$0 - (-16)=16m$。
答案：C

2. 某广场有一喷水池,水从地面喷出.如图,以出水点为原点,水平地面为x轴,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线$y= -x^{2}+4x$的一部分,则水喷出的最大高度是(A)
A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m

答案： 【解析】：
本题考查了抛物线的顶点坐标的求法及其实际应用。
对于抛物线$y = ax^{2} + bx + c$，其顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，将此横坐标代入抛物线方程可求得纵坐标。
在抛物线$y = -x^{2} + 4x$中，$a = -1$，$b = 4$，$c = 0$。
根据顶点横坐标公式$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)} = 2$。
将$x = 2$代入抛物线方程$y = -x^{2} + 4x$，可得$y = -2^{2} + 4× 2 = -4 + 8 = 4$。
所以抛物线的顶点坐标为$(2,4)$，因为抛物线开口向下，顶点处的纵坐标就是水喷出的最大高度，即$4m$。
【答案】：
A

3. 小刚在练习投篮,如图,篮球脱手后的运动轨迹近似为抛物线$y= -0.2x^{2}+x+2.25$的一部分,篮圈 C 高 3.05 m,小刚投篮时出手高度 OB 为 2.25 m. 若要使篮球刚好投进篮圈 C,则投篮时小刚离篮圈中心的水平距离为(B)
A.1 m
B.4 m
C.1 m 或 4 m
D.5 m

答案： 【解析】：本题可先根据篮圈的高度建立方程，求出篮球到达篮圈高度时对应的$x$值，再结合实际情况确定投篮时小刚离篮圈中心的水平距离。
已知篮球脱手后的运动轨迹近似为抛物线$y = -0.2x^{2}+x + 2.25$，篮圈$C$高$3.05m$，当篮球刚好投进篮圈时，$y = 3.05$，代入抛物线方程可得：
$3.05=-0.2x^{2}+x + 2.25$
移项化为一元二次方程的一般形式：
$0.2x^{2}-x + 0.8 = 0$
两边同时乘以$10$去小数得：
$2x^{2}-10x + 8 = 0$
两边同时除以$2$化简得：
$x^{2}-5x + 4 = 0$
因式分解为$(x - 1)(x - 4)=0$
则$x - 1 = 0$或$x - 4 = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$。
因为$x$表示投篮时小刚离篮圈中心的水平距离，$x = 1$时表示篮球刚出手不久达到$3.05m$高度，不符合投篮实际情况，应舍去，所以取$x = 4$。
【答案】：B

4. 校运动会上,九年级的同学们进行了投掷实心球比赛.我们发现,实心球在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线,建立如图所示的平面直角坐标系.已知某同学投掷实心球时,实心球飞行的高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的函数关系为$y= -\frac {1}{12}x^{2}+\frac {2}{3}x+\frac {5}{3}$,则该同学此次投掷实心球的成绩是______m.

10

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的应用，特别是如何通过给定的二次函数关系式来求解实际问题。
题目给出了实心球飞行的高度$y$与水平距离$x$之间的函数关系为：$y= -\frac {1}{12}x^{2}+\frac {2}{3}x+\frac {5}{3}$，
要求该同学此次投掷实心球的成绩，即求当$y=0$时$x$的值。
将$y=0$代入函数关系式，得到方程：
$-\frac {1}{12}x^{2}+\frac {2}{3}x+\frac {5}{3}=0$，
接下来，我们需要解这个一元二次方程。
首先，将方程两边同时乘以-12，得到：
$x^{2}-8x-20=0$，
然后，利用求根公式或因式分解法求解这个方程。
这里我们使用求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
其中，$a=1$，$b=-8$，$c=-20$。
代入求根公式，得到：
$x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4×1×(-20)}}{2×1}$
$=\frac{8\pm\sqrt{64+80}}{2}$
$=\frac{8\pm\sqrt{144}}{2}$
$=\frac{8\pm12}{2}$
解得：$x_{1}=10$，$x_{2}=-2$。
由于水平距离不能为负，所以$x_{2}=-2$不符合实际情况，舍去。
因此，该同学此次投掷实心球的成绩是$x_{1}=10m$。
【答案】：
10

5. (教材 P52 习题 22.3 第 3 题变式)(2024·海安期中)汽车刹车后行驶的距离 s(单位:m)关于行驶的时间 t(单位:s)的函数解析式为$s= 15t-6t^{2}$,则汽车刹车后到停下来前进了______m.
9.375

答案： 解：$s=15t-6t^{2}=-6t^{2}+15t$，
$a=-6$，$b=15$，
当$t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{15}{2×(-6)}=\dfrac{5}{4}$时，
$s$取得最大值，
$s_{\text{max}}=-6×\left(\dfrac{5}{4}\right)^{2}+15×\dfrac{5}{4}=-6×\dfrac{25}{16}+\dfrac{75}{4}=-\dfrac{75}{8}+\dfrac{150}{8}=\dfrac{75}{8}=9.375$。
故答案为：$9.375$

6. (2024·通州期中)如图①,单孔拱桥的形状近似抛物线形,建立如图②所示的平面直角坐标系,在正常水位时,水面宽度 AB 为 12 m,拱桥的最高点 C 到水面 AB 的距离为 6 m.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)由于上游水库泄洪,水面宽度变为 10 m,求水面上升的高度.
]

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，需要根据已知条件求出抛物线的函数解析式，再利用解析式求解水面上升的高度。
（1）求抛物线对应的函数解析式
步骤一：确定抛物线的顶点式
已知抛物线的顶点为$C(0,6)$，所以设抛物线对应的函数解析式为$y = ax^2 + 6$（$a\neq0$）。
步骤二：代入点坐标求$a$的值
因为水面宽度$AB$为$12m$，所以$A$点坐标为$(-6,0)$，把$A(-6,0)$代入$y = ax^2 + 6$中，可得：
$0 = a×(-6)^2 + 6$
$0 = 36a + 6$
$36a = -6$
解得$a = -\frac{1}{6}$。
步骤三：写出抛物线的函数解析式
把$a = -\frac{1}{6}$代入$y = ax^2 + 6$，得到抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{6}x^2 + 6$。
（2）求水面上升的高度
步骤一：设水面宽度变为$10m$时水面与抛物线交点的坐标
设水面宽度变为$10m$时，水面与抛物线交于$D$、$E$两点，此时$D$、$E$两点的横坐标分别为$-5$和$5$，设$D$点坐标为$(-5,y_1)$。
步骤二：代入$x$的值求$y_1$
把$x = -5$代入$y = -\frac{1}{6}x^2 + 6$中，可得：
$y_1 = -\frac{1}{6}×(-5)^2 + 6$
$y_1 = -\frac{25}{6} + 6$
$y_1 = \frac{11}{6}$
步骤三：计算水面上升的高度
正常水位时水面高度为$0$，现在水面高度为$\frac{11}{6}$，所以水面上升的高度为$\frac{11}{6}m$。
【答案】：
(1)抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{6}x^2 + 6$；
(2)水面上升的高度为$\frac{11}{6}m$。