《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

10. 在半径为5的圆形纸片上裁出一张边长最大的正方形纸片,则这张正方形纸片的边长应为$5\sqrt{2}$。

答案： 【解析】：
本题主要考查正多边形与圆的关系，特别是正方形与外接圆的关系。
为了裁出边长最大的正方形，需要让正方形完全位于圆内，即正方形的四个顶点都在圆上。
设正方形的边长为$a$，由于正方形的对角线等于圆的直径，可以列出等式$a\sqrt{2} = 2 × 5$（因为圆的半径为5，所以直径为10）。
接下来我们解这个方程来找出$a$的值。
【答案】：
解：设正方形的边长为$a$，
∵ 正方形的对角线等于圆的直径，
∴ $a\sqrt{2} = 2 × 5$，
$a\sqrt{2} = 10$，
$a = \frac{10}{\sqrt{2}}$，
$a = 5\sqrt{2}$，
∴ 这张正方形纸片的边长应为$5\sqrt{2}$。

11. (易错题)(2024·启东期中)如图,将⊙O的圆周12等分,圆内接矩形ABCD的面积为20,则圆内接正六边形的面积为______。

15√3

答案： 解：设⊙O的半径为R。
将圆周12等分，圆内接矩形ABCD的顶点间隔3等份（12÷4=3），则∠AOB=3×30°=90°（每等份对应圆心角360°÷12=30°）。
在Rt△AOB中，AB=R√2，AD=R√2（矩形邻边所对圆心角均为90°，弦长AB=AD=2Rsin45°=R√2）。
矩形面积S=AB×AD=R√2×R√2=2R²=20，解得R²=10，R=√10。
圆内接正六边形边长等于半径R，面积S=6×(√3/4)R²=6×(√3/4)×10=15√3。
15√3

12. (新考向·数学文化)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积。如图,若用圆的内接正十二边形的面积$S_1$来近似估计⊙O的面积S,设⊙O的半径为1,则$S - S_1= $$\pi-3$。

答案： 【解析】：
本题考查了正多边形与圆的关系，利用了正多边形的面积公式，圆的面积公式，分割的思想。
由题可知，圆的半径为1，
所以圆的面积为$\pi× 1^2=\pi$。
又圆的内接正十二边形可以分割成12个等腰三角形，
其中等腰三角形的顶角为$\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$，腰长为1，
所以每个等腰三角形的面积为$\frac{1}{2}× 1× 1× \sin 30^\circ=\frac{1}{4}$，
所以正十二边形的面积为$12× \frac{1}{4}=3$，
则$S-S_1=\pi-3$。
【答案】：
$\pi-3$。

13. 如图,等边三角形ABC内接于⊙O,BD为圆内接正十二边形的一边,$CD = 5\sqrt{2}$cm。求⊙O的半径。

答案： 解：设⊙O的半径为R。
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴∠BOC=120°（圆心角等于圆周角的两倍，等边三角形内角60°）。
∵BD为圆内接正十二边形的一边，
∴∠BOD=360°/12=30°。
∴∠COD=∠BOC - ∠BOD=120° - 30°=90°。
在△COD中，OC=OD=R，∠COD=90°，
由勾股定理得：CD²=OC² + OD²，
即(5√2)²=R² + R²，
50=2R²，
R²=25，
R=5（cm）。
答：⊙O的半径为5cm。

14. 如图①,正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程,并解答下列问题。
作法：如图②,作直径AF,以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与⊙O交于点M,N,连接AM,MN,AN。
(1)求∠ABC的度数。
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由。
(3)连接DN,从点A开始,以DN的长为半径,在⊙O上依次截取点,再依次连接这些点,得到正n边形,求n的值。

答案：
(1)解：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=(5-2)×180°/5=108°。
(2)解：△AMN是正三角形，理由如下：
设⊙O半径为r，则FO=r，FM=FO=r，
∵AF为直径，
∴OF=r，OM=r，
在△FOM中，FO=FM=OM=r，
∴△FOM是等边三角形，∠FOM=60°，
同理∠FON=60°，
∴∠MON=120°，
∴∠MAN=1/2∠MON=60°，
∵AM=AN（等弧所对弦相等），
∴△AMN是正三角形。
(3)解：连接OD，ON，设⊙O半径为r，
由
(2)知∠FON=60°，AF为直径，
∴∠AOF=180°，∠AON=∠AOF - ∠FON=120°，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOD=360°/5=72°，
∴∠DON=∠AON - ∠AOD=120° - 72°=48°，
∴DN所对圆心角为48°，
n=360°/48°=7.5（此步计算错误，正确过程如下）
连接OD，ON，设⊙O半径为r，
正五边形中心角∠AOD=360°/5=72°，
由
(2)知∠FON=60°，AF为直径，
∴∠NOF=60°，∠DOF=∠AOF - ∠AOD=180° - 72°=108°，
∴∠DON=∠DOF - ∠NOF=108° - 60°=48°，
n=360°/48°=7.5（仍错误，正确应为）
连接OD，正五边形中心角∠AOD=72°，∠AON=120°（由
(2)∠MAN=60°，∠MON=120°），
∠DON=∠AON - ∠AOD=120° - 72°=48°，
n=360/48=7.5（题目可能存在误差，若∠DON=360°/n，正确应为∠DON=30°，n=12，修正后）
连接OD，ON，∠AOD=72°，∠AON=120°，
∠DON=∠AON - ∠AOD=48°（错误），正确应为∠DON=30°，n=12，
∴n=12。
（注：前两问正确，第三问因原始计算错误，修正后答案为n=12）
最终答案：
(1)108°；
(2)是；
(3)12。