《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

8. 已知抛物线$y = ax^2经过点P(2,2)$,将该抛物线向右平移,当它再次经过点$P$时,所得抛物线对应的函数解析式为 (C)
A.$y = \frac{1}{2}x^2$
B.$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2$
C.$y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$
D.$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 2$

答案： 【解析】：
首先，我们需要确定原抛物线的方程。由于抛物线$y = ax^2$经过点$P(2,2)$，我们可以将这个点的坐标代入方程中，得到：
$2 = 4a$，
解这个方程，我们得到$a = \frac{1}{2}$，
所以，原抛物线的方程是$y = \frac{1}{2}x^2$。
接下来，我们需要考虑抛物线向右平移的情况。由于抛物线向右平移，其方程将变为$y = \frac{1}{2}(x - h)^2$的形式，其中$h$是平移的距离。
我们需要找到一个平移距离$h$，使得新的抛物线再次经过点$P(2,2)$。将点$P$的坐标代入平移后的抛物线方程，我们得到：
$2 = \frac{1}{2}(2 - h)^2$，
解这个方程，我们得到两个可能的$h$值：$h = 0$（这个解对应的是原抛物线，所以我们不考虑它）和$h = 4$，
$h = 4$是我们需要的平移距离，所以平移后的抛物线方程是$y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$。
【答案】：C

9. 在二次函数$y = - (x + h)^2$中,当$x ＜ - 3$时,$y随x$的增大而增大；当$x ＞ - 3$时,$y随x$的增大而减小. 当$x = 0$时,$y$的值为 (B)
A.$- 1$
B.$- 9$
C.$1$
D.$9$

答案： 【解析】：
题目考查二次函数$y = a(x - h)^{2}$的图象和性质。
对于函数形式$y = a(x - h)^{2}$，其顶点为$(h, 0)$，对称轴为$x = h$，当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，即在对称轴左侧函数值随着$x$的增大而增大，在对称轴右侧函数值随着$x$的增大而减小。
题目给出当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，所以可以判断出该二次函数的对称轴为$x = -3$，即$h = -3$（因为对称轴$x = h$），并且由于抛物线开口向下，所以$a＜0$，题目中$a=-1$。
所以该二次函数的解析式为$y = - (x + 3)^{2}$。
接下来，我们需要求当$x = 0$时，$y$的值。将$x = 0$代入解析式，即可求出$y$的值。
【答案】：
解：由题意知，该二次函数的对称轴为$x = - 3$，所以$h = - 3$，该二次函数的解析式为$y = - (x + 3)^{2}$，
当$x = 0$时，代入解析式得：
$y = - (0 + 3)^{2} = - 9$
故选B。

10. (易错题)已知二次函数$y = 3(x - 5)^2$,当$x分别取x_1$,$x_2(x_1 \neq x_2)$时,函数值相等,则当$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$时,函数值为______.0

答案： 解：二次函数$y = 3(x - 5)^2$的对称轴为直线$x = 5$。
因为当$x$分别取$x_1$，$x_2(x_1 \neq x_2)$时，函数值相等，所以$x_1$，$x_2$关于对称轴对称，即$\frac{x_1 + x_2}{2} = 5$。
当$x = 5$时，$y = 3(5 - 5)^2 = 0$。
0

11. 将抛物线$y = ax^2$向右平移后所得抛物线的顶点的横坐标为3,且新抛物线经过点$(- 1,- 4)$,则$a$的值为$-\frac{1}{4}$.

答案： 【解析】：
首先，根据二次函数的平移性质，抛物线$y = ax^2$向右平移后，其顶点的横坐标会发生变化。题目给出新抛物线的顶点的横坐标为3，因此新抛物线的解析式可以表示为$y = a(x - 3)^2$。
接着，题目给出新抛物线经过点$(-1, -4)$，我们可以将这个点的坐标代入新抛物线的解析式，得到一个关于$a$的方程。
即，将$x = -1, y = -4$代入$y = a(x - 3)^2$，得到：
$-4 = a(-1 - 3)^2$，
$-4 = a(16)$，
$a = -\frac{1}{4}$，
所以，$a$的值为$-\frac{1}{4}$。
【答案】：
$-\frac{1}{4}$。

12. 已知抛物线$y = a(x - h)^2的对称轴为直线x = - 2$,且过点$(1,- 3)$.
(1) 求该抛物线对应的函数解析式.
(2) 该抛物线是由抛物线$y = ax^2$经过怎样的平移得到的?
(3) 当$x$在什么范围内时,$y随x$的增大而减小? 当$x$取何值时,函数有最大(或最小)值?

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的图像和性质，包括对称轴，平移，单调性和最值。
(1) 已知抛物线的对称轴为$x = -2$，因此$h = -2$。所以抛物线方程可以表示为$y = a(x + 2)^2$。接下来，我们使用给定的点$(1, -3)$来确定$a$的值。将点代入方程，我们得到$-3 = a(1 + 2)^2$，即$-3 = 9a$，解得$a = -\frac{1}{3}$。因此，抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2$。
(2) 对于抛物线$y = ax^2$，其顶点在原点。而抛物线$y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2$的顶点为$(-2, 0)$。因此，原抛物线需要向左平移2个单位以得到新的抛物线。
(3) 由于$a = -\frac{1}{3} ＜ 0$，抛物线开口向下。因此，当$x$值大于对称轴$x = -2$时，$y$值随$x$的增大而减小。同时，因为抛物线开口向下，所以函数在对称轴$x = -2$处取得最大值，即当$x = -2$时，$y$有最大值0。
【答案】：
(1) 解：该抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2$。
(2) 解：该抛物线是由抛物线$y = -\frac{1}{3}x^2$向左平移2个单位得到的。
(3) 解：当$x ＞ -2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x = -2$时，函数有最大值0。

13. (数形结合思想)如图,二次函数$y = (x + 2)^2的图象与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,连接$AB$.
(1) 求点$A$,$B$的坐标.
(2) 求$\triangle AOB$的面积.
(3) 在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点$P$,使得以$P$,$A$,$O$,$B$为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
]

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算以及平行四边形的判定。
（1）要求点$A$、$B$的坐标，需要分别令$y = 0$和$x = 0$，代入二次函数解析式求解。
（2）已知$A$、$O$、$B$三点坐标，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可求出$\triangle AOB$的面积。
（3）先求出二次函数对称轴，再分三种情况讨论，根据平行四边形的性质求出点$P$的坐标。
【答案】：
解：（1）当$y = 0$时，$(x + 2)^2 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = - 2$，
所以点$A$的坐标为$( - 2,0)$。
当$x = 0$时，$y = (0 + 2)^2 = 4$，
所以点$B$的坐标为$(0,4)$。
（2）因为$A(-2,0)$，$O(0,0)$，$B(0,4)$，
所以$OA = 2$，$OB = 4$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4 = 4$。
（3）存在。
二次函数$y = (x + 2)^2$的对称轴为直线$x = - 2$。
设点$P$的坐标为$( - 2,m)$。
①当$AB$为平行四边形的边时，$AP$平行且等于$OB$，
因为$A(-2,0)$，$B(0,4)$，$P(-2,m)$，
所以$AP$的长度为$\vert m - 0\vert=\vert m\vert$，$OB = 4$，
则$\vert m\vert = 4$，
解得$m = \pm 4$。
当$m = 4$时，$P(-2,4)$；当$m = - 4$时，$P(-2,-4)$。
②当$AB$为平行四边形的对角线时，$AP$与$OB$互相平分，
因为$AP$中点坐标为$(\frac{-2 - 2}{2},\frac{0 + m}{2})$，即$( - 2,\frac{m}{2})$，$OB$中点坐标为$(0,2)$，
所以$\frac{m}{2}=2$，
解得$m = 4$，此时$P(-2,4)$（与①中重复，舍去）。
综上，点$P$的坐标为$( - 2,4)$或$( - 2, - 4)$。