《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·无锡)如图, 在$\triangle ABC$中,$∠B= 80^{\circ },∠C= 65^{\circ }$,将$\triangle ABC$绕点 A 逆时针旋转得到$\triangle AB'C'$.当$AB'$落在 AC 上时,$∠BAC'$的度数为 (B)

A.$65^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$80^{\circ }$
D.$85^{\circ }$

答案： 【解析】：本题可先根据三角形内角和定理求出$\angle BAC$的度数，再根据旋转的性质得到$\angle B'AC'$的度数，最后通过角的运算求出$\angle BAC'$的度数。
步骤一：求$\angle BAC$的度数
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle B = 80^{\circ}$，$\angle C = 65^{\circ}$，则$\angle BAC$的度数为：
$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-80^{\circ}-65^{\circ}=35^{\circ}$
步骤二：根据旋转的性质求$\angle B'AC'$的度数
因为$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$\triangle AB'C'$，根据旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，所以$\angle B'AC' = \angle BAC = 35^{\circ}$。
步骤三：求$\angle BAC'$的度数
由于$AB'$落在$AC$上，此时$\angle BAB'$就是旋转角，且$\angle BAB' = \angle CAC'$，又因为$\angle BAC = 35^{\circ}$，$\angle B'AC' = 35^{\circ}$，所以$\angle BAC'=\angle BAB'+\angle B'AC'=\angle BAC + \angle B'AC'=35^{\circ}+35^{\circ}=70^{\circ}$。
【答案】：B

2. (2023·枣庄)银杏是著名的活化石植物,其叶有细长的叶柄,呈扇形.如图所示为一片银杏叶标本,若叶片上点 B,C 的坐标分别为$(-3,2),(4,3)$,则将银杏叶绕原点顺时针旋转$90^{\circ }$后,叶柄上点 A 的对应点的坐标为____(-3,2).

答案： 解：由图可知，点A的坐标为(-2,-3)。
将点A(-2,-3)绕原点顺时针旋转90°，根据旋转规律，对应点坐标为(-3,2)。
答案：(-3,2)

3. 如图①,O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点,分别延长 OD,OC 至点 G,E,使$OG= 2OD$,$OE= 2OC$,再以 OG,OE 为邻边作正方形 OEFG,连接 AG,DE.
(1) 求证:$DE⊥AG$.
(2) 如图②,正方形 ABCD 固定,将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转得到正方形$OE'F'G'$,旋转角为$α(0^{\circ }＜α＜360^{\circ })$.
① 在旋转过程中,当$∠OAG'$是直角时,求α的度数;
② 若正方形 ABCD 的边长为 2,在旋转过程中,求$AF'$长的最大值和此时α的度数(直接写出结果,不必说明理由).

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，O为对角线交点，
∴OA=OD=OC，AC⊥BD，∠AOD=∠COD=90°。
∵OG=2OD，OE=2OC，
∴OG=OE，∠AOG=∠DOE=90°+90°=180°。
在△AOG和△DOE中，
OA=OD，∠AOG=∠DOE，OG=OE，
∴△AOG≌△DOE(SAS)，
∴∠OAG=∠ODE。
设AG与DE交于点H，
∵∠OAG+∠AGO=90°，
∴∠ODE+∠AGO=90°，
∴∠DHO=90°，即DE⊥AG。
(2)①解：
∵OG'=2OD=2OA，
∴OG'=2OA。
当∠OAG'=90°时，
在Rt△OAG'中，sin∠AG'O=OA/OG'=1/2，
∴∠AG'O=30°，
∴∠AOG'=60°。
∵∠AOD=90°，
∴α=∠DOG'=∠AOD-∠AOG'=30°或α=360°-30°=330°。
②AF'长的最大值为√2+2√2=3√2，此时α=225°。
答案：
(1)见解析；
(2)①30°或330°；②最大值3√2，α=225°。

4. (2024·通州期末)下列四个交通标志图案中,是中心对称图形的为 (A)

答案： 【解析】：本题可根据中心对称图形的定义来逐一判断选项中的图形是否为中心对称图形。
中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ }$，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
选项A：
将该图形绕着其中心旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形完全重合，满足中心对称图形的定义，所以该图形是中心对称图形。
选项B：
把该图形绕着任意一点旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形不能重合，不满足中心对称图形的定义，所以该图形不是中心对称图形。
选项C：
将该图形绕着任意一点旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形不能重合，不满足中心对称图形的定义，所以该图形不是中心对称图形。
选项D：
把该图形绕着任意一点旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形不能重合，不满足中心对称图形的定义，所以该图形不是中心对称图形。
【答案】：A