《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

1. 如图,$\odot O$的半径为5,直线$EF经过\odot O上一点P$(点$E$,$F在点P$的两侧),则下列条件能判定直线$EF与\odot O$相切的是(D)

A.$OP= 5$
B.$OE= OF$
C.点$O到直线EF$的距离是4
D.$OP\perp EF$

答案： 【解析】：本题主要考查切线的判定定理。
切线的判定定理为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A选项，$OP = 5$，只能说明$OP$的长度等于圆的半径，但仅知道半径长度，不能判定直线$EF$与$\odot O$相切，因为直线$EF$不一定垂直于$OP$，所以A选项错误。
B选项，$OE = OF$，只能说明点$O$到点$E$和点$F$的距离相等，这与直线$EF$和圆$\odot O$是否相切没有直接关系，所以B选项错误。
C选项，点$O$到直线$EF$的距离是$4$，因为$4\lt 5$（圆的半径），说明直线$EF$与圆相交，而不是相切，所以C选项错误。
D选项，$OP\perp EF$，且$OP$是$\odot O$的半径，$P$为半径$OP$的外端，满足切线的判定定理，所以可以判定直线$EF$与$\odot O$相切，D选项正确。
【答案】：D。

2. (2024·山西)如图,在$\triangle ABC$中,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若$\angle AOD= 80^{\circ },$则$\angle C$的度数为(D)

A.$30^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$50^{\circ }$

答案： 1. 首先求$\angle B$的度数：
因为$OB = OD$，根据等腰三角形的性质$\angle B=\angle ODB$。
又因为$\angle AOD$是$\triangle BOD$的外角，根据三角形外角性质$\angle AOD=\angle B + \angle ODB$（$\angle AOD = 80^{\circ}$）。
由于$\angle B=\angle ODB$，所以$\angle B=\frac{1}{2}\angle AOD$。
把$\angle AOD = 80^{\circ}$代入可得$\angle B = 40^{\circ}$。
2. 然后求$\angle C$的度数：
因为$AC$是$\odot O$的切线，$AB$是$\odot O$的直径，根据切线的性质可知$AB\perp AC$，即$\angle BAC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle C+\angle BAC = 180^{\circ}$。
已知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle BAC-\angle B$。
把$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$代入可得$\angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
所以$\angle C$的度数为$50^{\circ}$，答案是D。

3. (2024·崇川期中)如图,$CD是\odot O$的切线,切点是$D$,直线$CO交\odot O于点A$,$B$,连接$AD$,$\angle A= 21^{\circ }$,则$\angle C$的度数是(B)

A.$42^{\circ }$
B.$48^{\circ }$
C.$49^{\circ }$
D.$50^{\circ }$

答案： 证明：连接OD。
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，即∠ODC=90°。
∵OA=OD，∠A=21°，
∴∠ODA=∠A=21°。
∵∠DOC是△AOD的外角，
∴∠DOC=∠A+∠ODA=21°+21°=42°。
在Rt△ODC中，∠C=90°-∠DOC=90°-42°=48°。
答案：B。

4. (教材P98练习第1题变式)(2024·浙江)如图,$AB是\odot O$的直径,$AC与\odot O$相切,切点为$A$,连接$BC$.若$\angle C= 50^{\circ }$,则$\angle B$的度数为______.

40°

答案： 证明：
∵AC与⊙O相切，切点为A，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-90°-50°=40°．
40°

5. (2023·邵阳)如图,AD是$\odot O$的直径,AB是$\odot O$的弦,BC与$\odot O$相切于点B,连接OB.若$\angle ABC= 65^{\circ },$则$\angle BOD$的度数为______.

50°

答案： 证明：
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠ABO=∠OBC - ∠ABC=90° - 65°=25°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=25°，
∴∠BOD=2∠OAB=50°。
50°

6. (教材P98例1变式)(2024·如皋期末)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ }$,$CD平分\angle ACB$,交$AB于点D$,以点$D$为圆心,$DB为半径作\odot D$,交边$AB于另一点E$.
(1)求证：直线$AC与\odot D$相切；
(2)若$AC= 5$,$BC= 3$,求$AE$的长.

答案： 【解析】：
(1) 要证明直线$AC$与$\odot D$相切，我们需要证明圆心$D$到直线$AC$的距离等于圆的半径。
由于$CD$平分$\angle ACB$，且$\angle ABC = 90^{\circ}$，根据角平分线的性质，我们可以得出$D$到$AC$的距离等于$D$到$BC$的距离，即等于圆的半径$DB$。因此，直线$AC$与$\odot D$相切。
(2)要求$AE$的长，我们可以利用切线的性质，通过构建直角三角形来求解。
首先，过点$D$作$DF \perp AC$于点$F$，由于$CD$平分$\angle ACB$，且$DB \perp BC$，$DF \perp AC$，根据角平分线的性质，我们可以得出$DF = DB$。
又因为$DF$是$\odot D$的半径，所以$DF$等于圆的半径，即$DF = DE = DB$。
接着，我们可以利用勾股定理求出$AB$的长度。
在直角三角形$ABC$中，有$AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$。
然后，我们设$DB = DE = DF = x$，则$AD = 4 - x$。
在直角三角形$ADF$中，根据勾股定理，我们有$(4 - x)^{2} = x^{2} + 2^{2}$，
展开并整理得：
$16 - 8x + x^{2} = x^{2} + 4$，
进一步整理得：
$8x = 12$，
解得：$x = \frac{3}{2}$。
最后，我们可以求出$AE$的长度，即$AE = AB - BE = 4 - 2 × \frac{3}{2} = 4 - 3 × \frac{2}{2} = 1$。
【答案】：
(1)证明：
由于$CD$平分$\angle ACB$，且$\angle ABC = 90^{\circ}$，$D$在$AB$上，
所以$D$到$AC$的距离等于$D$到$BC$的距离，即等于圆的半径$DB$，
所以直线$AC$与$\odot D$相切。
(2)过点$D$作$DF \perp AC$于点$F$，
由于$CD$平分$\angle ACB$，且$DB \perp BC$，$DF \perp AC$，
所以$DF = DB$，
在直角三角形$ABC$中，$AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = 4$，
设$DB = DE = DF = x$，则$AD = 4 - x$，
在直角三角形$ADF$中，$(4 - x)^{2} = x^{2} + 2^{2}$，
解得：$x = \frac{3}{2}$，
所以$AE = AB - BE = 4 - 2 × \frac{3}{2} = 1$。

7. (易错题)(2023·眉山)如图,直线$AB与\odot O相切于点B$,连接$OA$,交$\odot O于点C$,$BD// OA交\odot O于点D$,连接$CD$.若$\angle OCD= 25^{\circ }$,则$\angle A$的度数为(C)

A.$25^{\circ }$
B.$35^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

答案： 【解析】：本题考查切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理。
连接$OB$，
$\because AB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore \angle OBA=90^\circ$（切线的性质）。
$\because OC=OD$（圆的半径相等），
$\therefore \angle ODC=\angle OCD=25^\circ$（等腰三角形的性质）。
$\because BD// OA$，
$\therefore \angle A=\angle BDO=25^\circ+\angle ODC=25^\circ+25^\circ=50^\circ-\angle DOC$（平行线的性质及三角形外角性质）。
在$\triangle OCD$中，$\angle DOC=180^\circ-\angle OCD-\angle ODC=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ$（三角形内角和定理）。
$\therefore \angle A=\frac{1}{2}×(180^\circ-130^\circ)=40^\circ$。
【答案】：C。