《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

10. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例如：已知$x$可取任何实数,试求二次三项式$x^{2}+2x + 3$的最小值.
解：$x^{2}+2x + 3 = x^{2}+2x + 1 + 2= (x + 1)^{2}+2$,
$\because无论x$取何实数,都有$(x + 1)^{2}\geqslant0$,
$\therefore(x + 1)^{2}+2\geqslant2$,即$x^{2}+2x + 3的最小值为2$.
试利用配方法解决下列问题：
(1)直接写出$x^{2}-6x + 12$的最小值____3；
(2)比较代数式$3x^{2}-x + 2与2x^{2}+3x - 6$的大小,并说明理由；
$3x^{2} - x + 2 ＞ 2x^{2} + 3x - 6$，理由如下：$(3x^{2} - x + 2) - (2x^{2} + 3x - 6) = x^{2} - 4x + 8 = (x - 2)^{2} + 4$，由于$(x - 2)^{2} \geqslant 0$，所以$(x - 2)^{2} + 4 ＞ 0$，因此$3x^{2} - x + 2 ＞ 2x^{2} + 3x - 6$。
(3)如图,在四边形$ABCD$中,$AC\perp BD$. 若$AC + BD = 10$,求四边形$ABCD$面积的最大值.
四边形$ABCD$面积的最大值为$12.5$。

答案： 【解析】：
(1) 对于 $x^{2} - 6x + 12$，我们可以将其配方为 $(x - 3)^{2} + 3$。
由于 $(x - 3)^{2} \geqslant 0$，所以 $(x - 3)^{2} + 3 \geqslant 3$。
因此，$x^{2} - 6x + 12$ 的最小值为 $3$。
(2) 考虑代数式 $3x^{2} - x + 2$ 与 $2x^{2} + 3x - 6$ 的差：
$(3x^{2} - x + 2) - (2x^{2} + 3x - 6) = x^{2} - 4x + 8 = (x - 2)^{2} + 4$
由于 $(x - 2)^{2} \geqslant 0$，所以 $(x - 2)^{2} + 4 ＞ 0$。
因此，$3x^{2} - x + 2 ＞ 2x^{2} + 3x - 6$。
(3) 设 $AC = a$，$BD = b$，四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$。
由于 $AC \perp BD$，所以 $S = \frac{1}{2}ab$。
又因为 $a + b = 10$，我们可以利用基本不等式 $ab \leqslant \left( \frac{a + b}{2} \right)^{2}$。
所以，$S = \frac{1}{2}ab \leqslant \frac{1}{2} \left( \frac{a + b}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2} × 25 = 12.5$。
当且仅当 $a = b = 5$ 时，等号成立。
因此，四边形 $ABCD$ 面积的最大值为 $12.5$。
【答案】：
(1) $3$
(2) $3x^{2} - x + 2 ＞ 2x^{2} + 3x - 6$
(3) 四边形 $ABCD$ 面积的最大值为 $12.5$

11. 若$W = 5x^{2}-4xy + y^{2}-2y + 8x + 3$($x$、$y$为实数),则$W$的最小值为____-2.

答案： 解：$W = 5x^{2} - 4xy + y^{2} - 2y + 8x + 3$
将含$x$的项合并：$5x^{2} + (-4y + 8)x + (y^{2} - 2y + 3)$
把上式看作关于$x$的二次函数，配方：
$5\left[x^{2} + \frac{-4y + 8}{5}x\right] + y^{2} - 2y + 3$
$=5\left[x^{2} + \frac{4(2 - y)}{5}x + \left(\frac{2(2 - y)}{5}\right)^{2} - \left(\frac{2(2 - y)}{5}\right)^{2}\right] + y^{2} - 2y + 3$
$=5\left(x + \frac{2(2 - y)}{5}\right)^{2} - 5× \frac{4(2 - y)^{2}}{25} + y^{2} - 2y + 3$
$=5\left(x + \frac{4 - 2y}{5}\right)^{2} - \frac{4(4 - 4y + y^{2})}{5} + y^{2} - 2y + 3$
展开并化简常数项：
$=5\left(x + \frac{4 - 2y}{5}\right)^{2} + \frac{-16 + 16y - 4y^{2} + 5y^{2} - 10y + 15}{5}$
$=5\left(x + \frac{4 - 2y}{5}\right)^{2} + \frac{y^{2} + 6y - 1}{5}$
对含$y$的二次式配方：
$\frac{1}{5}(y^{2} + 6y + 9 - 9 - 1) = \frac{1}{5}[(y + 3)^{2} - 10]$
则$W = 5\left(x + \frac{4 - 2y}{5}\right)^{2} + \frac{1}{5}(y + 3)^{2} - 2$
当$x + \frac{4 - 2y}{5} = 0$且$y + 3 = 0$时，$W$取最小值。
由$y + 3 = 0$得$y = -3$，代入$x + \frac{4 - 2×(-3)}{5} = 0$，解得$x = -2$
此时$W_{\text{min}} = -2$
$-2$

12. 课堂上,老师提出了下面的问题：
已知$3a＞b＞0$,$M= \frac{a}{b}$,$N= \frac{a + 1}{b + 3}$,试比较$M与N$的大小.
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较$x^{2}+1与2x - 1$的大小.
小华：$\because(x^{2}+1)-(2x - 1)= x^{2}+1 - 2x + 1= (x - 1)^{2}+1＞0$,
$\therefore x^{2}+1＞2x - 1$.
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
……
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.
解：$M - N = \frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 3}$
$= \frac{a(b + 3) - b(a + 1)}{b(b + 3)}$
$= \frac{ab + 3a - ab - b}{b(b + 3)}$
$= \frac{3a - b}{b(b + 3)}$
因为$3a ＞ b ＞ 0$，所以$3a - b ＞ 0$，$b ＞ 0$，$b + 3 ＞ 0$，
所以$M - N ＞ 0$，即$M ＞ N$。
(2)比较大小：$\frac{23}{68}$____$\frac{22}{65}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
＞

答案：
(1)解：$M - N = \frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 3}$
$= \frac{a(b + 3) - b(a + 1)}{b(b + 3)}$
$= \frac{ab + 3a - ab - b}{b(b + 3)}$
$= \frac{3a - b}{b(b + 3)}$
因为$3a ＞ b ＞ 0$，所以$3a - b ＞ 0$，$b ＞ 0$，$b + 3 ＞ 0$，
所以$M - N ＞ 0$，即$M ＞ N$。
(2)$＞$

13. 配方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题. 我们定义：一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$($a$、$b$是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.
【解决问题】
(1)已知$10$是“完美数”,请将它写成$a^{2}+b^{2}$($a$、$b$是整数)的形式$10 = 1^{2} + 3^{2}$；
(2)已知$x^{2}+y^{2}-2x + 6y + 10 = 0$,则$x + y = $$-2$；
【探究问题】
(3)已知$S = x^{2}+9y^{2}+4x - 12y + k$($x$、$y$是整数,$k$是常数),要使$S$为“完美数”,试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由；
解：$S = x^{2} + 9y^{2} + 4x - 12y + k$
$= x^{2} + 4x + 4 + 9y^{2} - 12y + 4 + k - 8$
$= (x + 2)^{2} + (3y - 2)^{2} + k - 8$
要使$S$为“完美数”，令$k - 8 = 0$，则$k = 8$
此时$S = (x + 2)^{2} + (3y - 2)^{2}$，$\because x$、$y$是整数，$\therefore x + 2$、$3y - 2$是整数，$S$为“完美数”，故$k = 8$（答案不唯一）
【拓展结论】
(4)已知实数$x$、$y满足-x^{2}+\frac{7}{3}x + y - 2 = 0$,求$5x - 3y$的最值.
解：由$-x^{2} + \frac{7}{3}x + y - 2 = 0$得$y = x^{2} - \frac{7}{3}x + 2$
$5x - 3y = 5x - 3(x^{2} - \frac{7}{3}x + 2)$
$= 5x - 3x^{2} + 7x - 6$
$= -3x^{2} + 12x - 6$
$= -3(x^{2} - 4x + 4) + 12 - 6$
$= -3(x - 2)^{2} + 6$
$\because -3(x - 2)^{2} \leq 0$
$\therefore 5x - 3y$的最大值为$6$，无最小值

答案：
(1) $10 = 1^{2} + 3^{2}$
(2) 解：$x^{2} + y^{2} - 2x + 6y + 10 = 0$
$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} + 6y + 9 = 0$
$(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 0$
$\because (x - 1)^{2} \geq 0$，$(y + 3)^{2} \geq 0$
$\therefore x - 1 = 0$，$y + 3 = 0$
$\therefore x = 1$，$y = -3$
$\therefore x + y = 1 + (-3) = -2$
(3) 解：$S = x^{2} + 9y^{2} + 4x - 12y + k$
$= x^{2} + 4x + 4 + 9y^{2} - 12y + 4 + k - 8$
$= (x + 2)^{2} + (3y - 2)^{2} + k - 8$
要使$S$为“完美数”，令$k - 8 = 0$，则$k = 8$
此时$S = (x + 2)^{2} + (3y - 2)^{2}$，$\because x$、$y$是整数，$\therefore x + 2$、$3y - 2$是整数，$S$为“完美数”，故$k = 8$（答案不唯一）
(4) 解：由$-x^{2} + \frac{7}{3}x + y - 2 = 0$得$y = x^{2} - \frac{7}{3}x + 2$
$5x - 3y = 5x - 3(x^{2} - \frac{7}{3}x + 2)$
$= 5x - 3x^{2} + 7x - 6$
$= -3x^{2} + 12x - 6$
$= -3(x^{2} - 4x + 4) + 12 - 6$
$= -3(x - 2)^{2} + 6$
$\because -3(x - 2)^{2} \leq 0$
$\therefore 5x - 3y$的最大值为$6$，无最小值